山東省德州市2023年中考數(shù)學試卷(word解析版)

2023年山東省德州市中考數(shù)學試卷一、選擇題〔本大題共12小題，每題3分，共36分〕1．〔3分〕〔2023?衢州〕﹣2的倒數(shù)是〔〕A．﹣ B． C．﹣2 D．2【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義即可求解．【解答】解：﹣2的倒數(shù)是﹣．應選：A．【點評】主要考查倒數(shù)的概念及性質(zhì)．倒數(shù)的定義：假設兩個數(shù)的乘積是1，我們就稱這兩個數(shù)互為倒數(shù)．2．〔3分〕〔2023?德州〕以下列圖形中，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是〔〕【分析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形對各選項分析判斷即可得解．【解答】解：A、不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故本選項錯誤；B、不是軸對稱圖形，也不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；C、是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故本選項錯誤；D、既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形，故本選項正確．應選D．【點評】此題考查了中心對稱圖形與軸對稱圖形的概念．軸對稱圖形的關鍵是覓找對稱軸，圖形兩局部折疊后可重合，中心對稱圖形是要覓找對稱中心，旋轉(zhuǎn)180度后兩局部重合．3．〔3分〕〔2023?德州〕2023年，我市“全面改薄〞和解決大班額工程成績突出，兩項工程累計開工面積達477萬平方米，各項指標均居全省前列，477萬用科學記數(shù)法表示正確的選項是〔〕A．4.77×105 B．47.7×105 C．4.77×106 D．0.477×106【分析】科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點移動的位數(shù)相同．當原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當原數(shù)的絕對值＜1時，n是負數(shù)．【解答】解：477萬用科學記數(shù)法表示4.77×106.應選：C．【點評】此題考查科學記數(shù)法的表示方法．科學記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)，表示時關鍵要正確確定a的值以及n的值．4．〔3分〕〔2023?德州〕如圖，兩個等直徑圓柱構(gòu)成如下列圖的T型管道，那么其俯視圖正確的選項是〔〕【分析】俯視圖是從物體的上面看，所得到的圖形．【解答】解：兩個等直徑圓柱構(gòu)成如下列圖的T型管道的俯視圖是矩形和圓的組合圖，且圓位于矩形的中心位置，應選：B．【點評】此題考查了學生的摸索能力和對幾何體三種視圖的空間想象能力．5．〔3分〕〔2023?德州〕以下運算正確的選項是〔〕A．〔a2〕m=a2mB．〔2a〕3=2a3C．a(chǎn)3?a﹣5=a﹣15D．a(chǎn)3÷a﹣5=a﹣2【分析】根據(jù)整式的運算法那么即可求出答案．【解答】解：〔B〕原式=8a3，故B不正確；〔C〕原式=a﹣2，故C不正確；〔D〕原式=a8，故D不正確；應選〔A〕【點評】此題考查整式的運算，解題的關鍵是熟練運用整式的運算法那么，此題屬于根底題型．6．〔3分〕〔2023?德州〕某專賣店專營某品牌的襯衫，店主對上一周中不同尺碼的襯衫銷售情況統(tǒng)計如下：尺碼3940414243平均每天銷售數(shù)量/件1012201212該店主決定本周進貨時，增加了一些41碼的襯衫，影響該店主決策的統(tǒng)計量是〔〕A．平均數(shù) B．方差 C．眾數(shù) D．中位數(shù)【分析】平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)是描述一組數(shù)據(jù)集中程度的統(tǒng)計量；方差、標準差是描述一組數(shù)據(jù)離散程度的統(tǒng)計量．銷量大的尺碼就是這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)．【解答】解：由于眾數(shù)是數(shù)據(jù)中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，故影響該店主決策的統(tǒng)計量是眾數(shù)．應選：C．【點評】此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．7．〔3分〕〔2023?德州〕以下函數(shù)中，對于任意實數(shù)x1，x2，當x1＞x2時，滿足y1＜y2的是〔〕A．y=﹣3x+2 B．y=2x+1 C．y=2x2+1 D．y=﹣【分析】A、由k=﹣3可得知y隨x值的增大而減??；B、由k=2可得知y隨x值的增大而增大；C、由a=﹣2可得知：當x＜0時，y隨x值的增大而增大，當x＞0時，y隨x值的增大而減??；D、由k=﹣1可得知：當x＜0時，y隨x值的增大而增大，當x＞0時，y隨x值的增大而增大．此題得解．【解答】解：A、y=﹣3x+2中k=﹣3，∴y隨x值的增大而減小，∴A選項符合題意；B、y=2x+1中k=2，∴y隨x值的增大而增大，∴B選項不符合題意；C、y=﹣2x2+1中a=﹣2，∴當x＜0時，y隨x值的增大而增大，當x＞0時，y隨x值的增大而減小，∴C選項不符合題意；D、y=﹣中k=﹣1，∴當x＜0時，y隨x值的增大而增大，當x＞0時，y隨x值的增大而增大，∴D選項不符合題意．應選A．【點評】此題考查了一次函數(shù)的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)一次〔二次、反比例〕函數(shù)的性質(zhì)，逐一分析四個選項中y與x之間的增減性是解題的關鍵．8．〔3分〕〔2023?德州〕不等式組的解集是〔〕A．x≥﹣3 B．﹣3≤x＜4 C．﹣3≤x＜2 D．x＞4【分析】分別求出每一個不等式的解集，根據(jù)口訣：同大取大、同小取小、大小小大中間找、大大小小無解了確定不等式組的解集．【解答】解：解不等式2x+9≥3，得：x≥﹣3，解不等式＞x﹣1，得：x＜4，∴不等式組的解集為﹣3≤x＜4，應選：B．【點評】此題考查的是解一元一次不等式組，正確求出每一個不等式解集是根底，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中間找；大大小小找不到〞的原那么是解答此題的關鍵．9．〔3分〕〔2023?德州〕公式L=L0+KP表示當重力為P時的物體作用在彈簧上時彈簧的長度，L0代表彈簧的初始長度，用厘米〔cm〕表示，K表示單位重力物體作用在彈簧上時彈簧拉伸的長度，用厘米〔cm〕表示．下面給出的四個公式中，說明這是一個短而硬的彈簧的是〔〕A．L=10+0.5P B．L=10+5P C．L=80+0.5P D．L=80+5P【分析】A和B中，L0=10，表示彈簧短；A和C中，K=0.5，表示彈簧硬，由此即可得出結(jié)論．【解答】解：∵10＜80，0.5＜5，∴A和B中，L0=10，表示彈簧短；A和C中，K=0.5，表示彈簧硬，∴A選項表示這是一個短而硬的彈簧．應選A．【點評】此題考查了一次函數(shù)的應用，比較L0和K的值，找出短而硬的彈簧是解題的關鍵．10．〔3分〕〔2023?德州〕某校美術社團為練習素描，他們第一次用120元買了假設干本資料，第二次用240元在同一商家買同樣的資料，這次商家每本優(yōu)惠4元，結(jié)果比上次多買了20本，求第一次買了多少本資料？假設設第一次買了x本資料，列方程正確的選項是〔〕A．﹣=4 B．﹣=4C．﹣=4 D．﹣=4【分析】由設第一次買了x本資料，那么設第二次買了〔x+20〕本資料，由等量關系：第二次比第一次每本優(yōu)惠4元，即可得到方程．【解答】解：設他上月買了x本筆記本，那么這次買了〔x+20〕本，根據(jù)題意得：﹣=4．應選D．【點評】此題考查了由實際問題抽象出分式方程．找到關鍵描述語，找到適宜的等量關系是解決問題的關鍵．11．〔3分〕〔2023?德州〕如圖放置的兩個正方形，大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b〔a＞b〕，M在BC邊上，且BM=b，連接AM，MF，MF交CG于點P，將△ABM繞點A旋轉(zhuǎn)至△ADN，將△MEF繞點F旋轉(zhuǎn)至△NGF，給出以下五個結(jié)論：①∠MAD=∠AND；②CP=b﹣；③△ABM≌△NGF；④S四邊形AMFN=a2+b2；⑤A，M，P，D四點共圓，其中正確的個數(shù)是〔〕A．2 B．3 C．4 D．5【分析】①根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠BAD=∠ADC=∠B=90°，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，等量代換得到∠DAM=∠AND，故①正確；②根據(jù)正方形的性質(zhì)得到PC∥EF，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到CP=b﹣；故②正確；③根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到GN=ME，等量代換得到AB=ME=NG，根據(jù)全等三角形的判定定理得到△ABM≌△NGF；故③正確；④由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到AM=AN，NF=MF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到AM=NF，推出四邊形AMFN是矩形，根據(jù)余角的想知道的∠NAM=90°，推出四邊形AMFN是正方形，于是得到S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確；⑤根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AMP=90°，∠ADP=90°，得到∠ABP+∠ADP=180°，于是推出A，M，P，D四點共圓，故⑤正確．【解答】解：①∵四邊形ABCD是正方形，∴∠BAD=∠ADC=∠B=90°，∴∠BAM+∠DAM=90°，∵將△ABM繞點A旋轉(zhuǎn)至△ADN，∴∠NAD=∠BAM，∠AND=∠AMB，∴∠DAM+∠NAD=∠NAD+∠AND=∠AND+∠NAD=90°，∴∠DAM=∠AND，故①正確；②∵四邊形CEFG是正方形，∴PC∥EF，∴△MPC∽△EMF，∴，∵大正方形ABCD邊長為a，小正方形CEFG邊長為b〔a＞b〕，BM=b，∴EF=b，CM=a﹣b，ME=〔a﹣b〕+b=a，∴，∴CP=b﹣；故②正確；③∵將△MEF繞點F旋轉(zhuǎn)至△NGF，∴GN=ME，∵AB=a，ME=a，∴AB=ME=NG，在△ABM與△NGF中，，∴△ABM≌△NGF；故③正確；④∵將△ABM繞點A旋轉(zhuǎn)至△ADN，∴AM=AN，∵將△MEF繞點F旋轉(zhuǎn)至△NGF，∴NF=MF，∵△ABM≌△NGF，∴AM=NF，∴四邊形AMFN是矩形，∵∠BAM=∠NAD，∴∠BAM+DAM=∠NAD+∠DAN=90°，∴∠NAM=90°，∴四邊形AMFN是正方形，∵在Rt△ABM中，a2+b2=AM2，∴S四邊形AMFN=AM2=a2+b2；故④正確；⑤∵四邊形AMFN是正方形，∴∠AMP=90°，∵∠ADP=90°，∴∠ABP+∠ADP=180°，∴A，M，P，D四點共圓，故⑤正確．應選D．【點評】此題考查了四點共圓，全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正方形的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，勾股定理，正確的理解題意是解題的關鍵．12．〔3分〕〔2023?德州〕觀察以下列圖形，它是把一個三角形分別連接這個三角形三邊的中點，構(gòu)成4個小三角形，挖去中間的一個小三角形〔如圖1〕；對剩下的三個小三角形再分別重復以上做法，…將這種做法繼續(xù)下去〔如圖2，圖3…〕，那么圖6中挖去三角形的個數(shù)為〔〕A．121 B．362 C．364 D．729【分析】根據(jù)題意找出圖形的變化規(guī)律，根據(jù)規(guī)律計算即可．【解答】解：圖1挖去中間的1個小三角形，圖2挖去中間的〔1+3〕個小三角形，圖3挖去中間的〔1+3+32〕個小三角形，…那么圖6挖去中間的〔1+3+32+33+34+35〕個小三角形，即圖6挖去中間的364個小三角形，應選：C．【點評】此題考查的是三角形中位線定理、圖形的變化，掌握圖形的變化規(guī)律是解題的關鍵．二、填空題〔本大題共5小題，每題4分，共20分〕13．〔4分〕〔2023?德州〕計算：﹣=．【分析】原式化簡后，合并即可得到結(jié)果．【解答】解：原式=2﹣=，故答案為：【點評】此題考查了二次根式的加減法，熟練掌握運算法那么是解此題的關鍵．14．〔4分〕〔2023?德州〕如圖是利用直尺和三角板過直線l外一點P作直線l的平行線的方法，其理由是同位角相等，兩直線平行．【分析】過直線外一點作直線的平行線，只有滿足同位角相等，才能得到兩直線平行．【解答】解：由圖形得，有兩個相等的同位角存在，所以依據(jù)：同位角相等，兩直線平行，即可得到所得的直線與直線平行．故答案為：同位角相等，兩直線平行．【點評】此題主要考查了平行線的判定，正確識別“三線八角〞中的同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角是正確答題的關鍵，只有同位角相等、內(nèi)錯角相等、同旁內(nèi)角互補，才能推出兩被截直線平行．15．〔4分〕〔2023?德州〕方程3x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕的解為1或．【分析】移項后分解因式得到〔x﹣1〕〔3x﹣2〕=0，推出方程x﹣1=0，3x﹣2=0，求出方程的解即可．【解答】解：3x〔x﹣1〕=2〔x﹣1〕，移項得：3x〔x﹣1〕﹣2〔x﹣1〕=0，即〔x﹣1〕〔3x﹣2〕=0，∴x﹣1=0，3x﹣2=0，解方程得：x1=1，x2=．故答案為：1或．【點評】此題主要考查對解一元一次方程，等式的性質(zhì)，解一元二次方程等知識點的理解和掌握，能把一元二次方程轉(zhuǎn)化成一元一次方程是解此題的關鍵．16．〔4分〕〔2023?德州〕淘淘和麗麗是非常要好的九年級學生，在5月分進行的物理、化學、生物實驗技能考試中，考試科目要求三選一，并且摘取抽簽方式取得，那么他們兩人都抽到物理實驗的概率是．【分析】先畫樹狀圖展示所有9種等可能的結(jié)果數(shù)，再找出淘淘與麗麗同學同時抽到物理的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解即可．【解答】解：畫樹狀圖為：因為共有9種等可能的結(jié)果數(shù)，其中淘淘與麗麗同學同時抽到物理物的結(jié)果數(shù)為1，所以他們兩人都抽到物理實驗的概率是．故答案為：．【點評】此題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法和樹狀圖法展示所有可能的結(jié)果求出n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，求出概率．17．〔4分〕〔2023?德州〕某景區(qū)修建一棟復古建筑，其窗戶設計如下列圖．圓O的圓心與矩形ABCD對角線的交點重合，且圓與矩形上下兩邊相切〔E為上切點〕，與左右兩邊相交〔F，G為其中兩個交點〕，圖中陰影局部為不透光區(qū)域，其余局部為透光區(qū)域．圓的半徑為1m，根據(jù)設計要求，假設∠EOF=45°，那么此窗戶的透光率〔透光區(qū)域與矩形窗面的面積的比值〕為．【分析】把透光局部看作是兩個直角三角形與四個45°的扇形的組合體，其和就是透光的面積，再計算矩形的面積，相比可得結(jié)果．【解答】解：設⊙O與矩形ABCD的另一個交點為M，連接OM、OG，那么M、O、E共線，由題意得：∠MOG=∠EOF=45°，∴∠FOG=90°，且OF=OG=1，∴S透明區(qū)域=+2××1×1=+1，過O作ON⊥AD于N，∴ON=FG=，∴AB=2ON=2×=，∴S矩形=2×=2，∴==．故答案為：．【點評】此題考查了矩形的性質(zhì)、扇形的面積、直角三角形的面積，將透光局部化分為幾個熟知圖形的面積是關鍵．三、解答題〔本大題共7小題，共64分〕18．〔6分〕〔2023?德州〕先化簡，再求值：÷﹣3，其中a=．【分析】根據(jù)分式的除法和減法可以化簡題目中的式子，然后將a的值代入即可解答此題．【解答】解：÷﹣3==a﹣3，當a=時，原式=．【點評】此題考查分式的化簡求值，解答此題的關鍵是明確分式化簡求值的方法．19．〔8分〕〔2023?德州〕隨著移動終端設備的升級換代，已經(jīng)成為我們生活中不可缺少的一局部，為了解中學生在假期使用的情況〔選項：A．和同學親友談天；B．學習；C．購物；D．游戲；E．其它〕，端午節(jié)后某中學在全校范圍內(nèi)隨機抽取了假設干名學生進行調(diào)查，得到如以下列圖表〔局部信息未給出〕：選項頻數(shù)頻率A10mBn0.2C50.1Dp0.4E50.1根據(jù)以上信息解答以下問題：〔1〕這次被調(diào)查的學生有多少人？〔2〕求表中m，n，p的值，并補全條形統(tǒng)計圖．〔3〕假設該中學約有800名學生，估量全校學生中利用購物或玩游戲的共有多少人？并根據(jù)以上調(diào)查結(jié)果，就中學生如何合理使用給出你的一條建議．【分析】〔1〕根據(jù)C的人數(shù)除以C所占的百分比，可得答案；〔2〕根據(jù)人數(shù)比抽查人數(shù)，所占的百分比乘以抽查人數(shù)，可得答案；〔3〕根據(jù)樣本估量總體，可得答案．【解答】解：〔1〕從C可看出5÷0.1=50人，答：次被調(diào)查的學生有50人；〔2〕m==0.2，n=0.2×50=10，p=0.4×50=20，，〔3〕800×〔0.1+0.4〕=800×0.5=400人，答：全校學生中利用購物或玩游戲的共有400人，可利用學習．【點評】此題考查的是條形統(tǒng)計圖的綜合運用．讀懂統(tǒng)計圖，從統(tǒng)計圖中得到必要的信息是解決問題的關鍵．條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個工程的數(shù)據(jù)．20．〔8分〕〔2023?德州〕如圖，Rt△ABC，∠C=90°，D為BC的中點，以AC為直徑的⊙O交AB于點E．〔1〕求證：DE是⊙O的切線；〔2〕假設AE：EB=1：2，BC=6，求AE的長．【分析】〔1〕求出∠OED=∠BCA=90°，根據(jù)切線的判定得出即可；〔2〕求出△BEC∽△BCA，得出比例式，代入求出即可．【解答】〔1〕證明：連接OE、EC，∵AC是⊙O的直徑，∴∠AEC=∠BEC=90°，∵D為BC的中點，∴ED=DC=BD，∴∠1=∠2，∵OE=OC，∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=∠2+∠4，即∠OED=∠ACB，∵∠ACB=90°，∴∠OED=90°，∴DE是⊙O的切線；〔2〕解：由〔1〕知：∠BEC=90°，∵在Rt△BEC與Rt△BCA中，∠B=∠B，∠BEC=∠BCA，∴△BEC∽△BCA，∴=，∴BC2=BE?BA，∵AE：EB=1：2，設AE=x，那么BE=2x，BA=3x，∵BC=6，∴62=2x?3x，解得：x=，即AE=．【點評】此題考查了切線的判定和相似三角形的性質(zhì)和判定，能求出∠OED=∠BCA和△BEC∽△BCA是解此題的關鍵．21．〔10分〕〔2023?德州〕如下列圖，某公路檢測中心在一事故多發(fā)地段安裝了一個測速儀器，檢測點設在距離公路10m的A處，測得一輛汽車從B處行駛到C處所用時間為0.9秒，∠B=30°，∠C=45°．〔1〕求B，C之間的距離；〔保存根號〕〔2〕如果此地限速為80km/h，那么這輛汽車是否超速？請說明理由．〔參考數(shù)據(jù)：≈1.7，≈1.4〕【分析】〔1〕如圖作AD⊥BC于D．那么AD=10m，汽車CD、BD即可解決問題．〔2〕汽車汽車的速度，即可解決問題，注意統(tǒng)一單位；【解答】解：〔1〕如圖作AD⊥BC于D．那么AD=10m，在Rt△ACD中，∵∠C=45°，∴AD=CD=10m，在Rt△ABD中，∵∠B=30°，∴tan30°=，∴BD=AD=10m，∴BC=BD+DC=〔10+10〕m．〔2〕結(jié)論：這輛汽車超速．理由：∵BC=10+1027m，∴汽車速度==30m/s=108km/h，∵108＞80，∴這輛汽車超速．【點評】此題考查解直角三角形的應用，銳角三角函數(shù)、速度、時間、路程之間的關系等知識，解題的關鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，屬于中考常考題型．22．〔10分〕〔2023?德州〕隨著新農(nóng)村的建設和舊城的改造，我們的家園越來越美麗，小明家附近廣場中央新修了個圓形噴水池，在水池中心豎直安裝了一根高為2米的噴水管，它噴出的拋物線形水柱在與水池中心的水平距離為1米處到達最高，水柱落地處離池中心3米．〔1〕請你建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼?，并求出水柱拋物線的函數(shù)解析式；〔2〕求出水柱的最大高度的多少？【分析】〔1〕以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設拋物線的解析式為y=a〔x﹣1〕2+h，代入〔0，2〕和〔3，0〕得出方程組，解方程組即可，〔2〕求出當x=1時，y=即可．【解答】解：〔1〕如下列圖：以水管與地面交點為原點，原點與水柱落地點所在直線為x軸，水管所在直線為y軸，建立平面直角坐標系，設拋物線的解析式為：y=a〔x﹣1〕2+h，代入〔0，2〕和〔3，0〕得：，解得：，∴拋物線的解析式為：y=﹣〔x﹣1〕2+；即y=﹣x2+x+2〔0≤x≤3〕；〔2〕y=﹣x2+x+2〔0≤x≤3〕，當x=1時，y=，即水柱的最大高度為m．【點評】此題考查了二次函數(shù)在實際生活中的運用，重點是二次函數(shù)解析式的求法，利用頂點式求出解析式是解題關鍵．23．〔10分〕〔2023?德州〕如圖1，在矩形紙片ABCD中，AB=3cm，AD=5cm，折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，過點E作EF∥AB交PQ于F，連接BF．〔1〕求證：四邊形BFEP為菱形；〔2〕當點E在AD邊上移動時，折痕的端點P、Q也隨之移動；①當點Q與點C重合時〔如圖2〕，求菱形BFEP的邊長；②假設限定P、Q分別在邊BA、BC上移動，求出點E在邊AD上移動的最大距離．【分析】〔1〕由折疊的性質(zhì)得出PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，由平行線的性質(zhì)得出∠BPF=∠EFP，證出∠EPF=∠EFP，得出EP=EF，因此BP=BF=EF=EP，即可得出結(jié)論；〔2〕①由矩形的性質(zhì)得出BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，由對稱的性質(zhì)得出CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，由勾股定理求出DE=4cm，得出AE=AD﹣DE=1cm；在Rt△APE中，由勾股定理得出方程，解方程得出EP=cm即可；②當點Q與點C重合時，點E離點A最近，由①知，此時AE=1cm；當點P與點A重合時，點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，即可得出答案．【解答】〔1〕證明：∵折疊紙片使B點落在邊AD上的E處，折痕為PQ，∴點B與點E關于PQ對稱，∴PB=PE，BF=EF，∠BPF=∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF=∠EFP，∴∠EPF=∠EFP，∴EP=EF，∴BP=BF=EF=EP，∴四邊形BFEP為菱形；〔2〕解：①∵四邊形ABCD是矩形，∴BC=AD=5cm，CD=AB=3cm，∠A=∠D=90°，∵點B與點E關于PQ對稱，∴CE=BC=5cm，在Rt△CDE中，DE==4cm，∴AE=AD﹣DE=5cm﹣4cm=1cm；在Rt△APE中，AE=1，AP=3﹣PB=3﹣PE，∴EP2=12+〔3﹣EP〕2，解得：EP=cm，∴菱形BFEP的邊長為cm；②當點Q與點C重合時，如圖2：點E離點A最近，由①知，此時AE=1cm；當點P與點A重合時，如圖3所示：點E離點A最遠，此時四邊形ABQE為正方形，AE=AB=3cm，∴點E在邊AD上移動的最大距離為2cm．【點評】此題是四邊形綜合題目，考查了矩形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)、菱形的判定、平行線的性質(zhì)、等腰三角形的判定、勾股定理、正方形的性質(zhì)等知識；此題綜合性強，有一定難度．24．〔12分〕〔2023?德州〕有這樣一個問題：探究同一平面直角坐標系中系數(shù)互為倒數(shù)的正、反比例函數(shù)y=x與y=〔k≠0〕的圖象性質(zhì)．小明根據(jù)學習函數(shù)的體會，對函數(shù)y=x與y=，當k＞0時的圖象性質(zhì)進行了探究．下面是小明的探究過程：〔1〕如下列圖，設函數(shù)y=x與y=圖象的交點為A，B，A點的坐標為〔﹣k，﹣1〕，那么B點的坐標為〔k，1〕；〔2〕假設點P為第一象限內(nèi)雙曲線上不同于點B的任意一點．①設直線PA交x軸于點M，直線PB交x軸于點N．求證：PM=PN．證明過程如下，設P〔m，〕，直線PA的解析式為y=ax+b〔a≠0〕．那么，解得﹣1∴