2023高考數(shù)學(xué)屆解三角形題型匯總

2023屆高考數(shù)學(xué)解三角形圖形類問題

【方法技巧與總結(jié)】

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相

似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以

將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加

直觀化.

【題型歸納目錄】

題型一:妙用兩次正弦定理

題型二:兩角使用余弦定理

題型三:張角定理與等面積法

題型四:角平分線問題

題型五：中線問題

題型六:高問題

題型七:重心性質(zhì)及其應(yīng)用

題型八:外心及外接圓問題

題型九:兩邊夾問題

題型十：內(nèi)心及內(nèi)切圓問題

【典例例題】

題型一:妙用兩次正弦定理

例1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在①.，②-.梁，③2S=-V3BA-BC

cosC2a-rcsin±>—sinCa-rc

三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.

在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且，作力BJ_AD,使得四邊形ABCD滿足

^ACD=^-,AD=V3,求8。的取值范圍.

O

例2.（2020?北京?北師大二附中高三期中）如圖，四邊形ABCD中ZBAC=90\NABC=30。，AD±

CD,設(shè)2ACD=8.

⑴若AABC面積是AACD面積的4倍，求sin2%

（2）若N4DB=￡，求tan”.

例3.（江蘇省南京市寧海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題）在△ABC中，內(nèi)角48。的對

邊分別為a,b,c,4=150°,點。在邊上,滿足。。=2B。,且.//,+sin/C"）=J_

bc2a

（1）求證：AD=^-a；

o

⑵求cosZADC.

例4(廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題)如圖，已知△4RC內(nèi)有一點P,滿足

Z.PAB=乙PBC=ZPCA=a.

(1)證明：PBsinABC=ABsina.

(2)若N45C=90。，AB=I,求PC.

例5.(2022?全國?高三專題練習(xí))如圖,在梯形ABCD中，4B〃CD,48=2,CD=5,NABC=爺.

o

(1)若4。=2。,求梯形/BCD的面積;

⑵若4。_L60,求tan/ABD.

例6.(2022?河南安陽?模擬預(yù)測(理))如圖，在平面四邊形

中,DC=2AD=4咯ABAD=y,NBDC=專.

(1)若cosAABD=力，求AABD的面積；

O

(2)若NC=NADC,求BC.

例7.(2019?安徽省懷遠(yuǎn)第一中學(xué)高三階段練習(xí)(理))A4BC的內(nèi)角的對邊分別為a,b,c,設(shè)(sin力

+sinB+sinC)?(sinX+sinB—sinC)=2sinAsinB.

⑴求C；

(2)若。為BC邊上的點，M為AO上的點，CD=1,￡CAB=/MB。=ZZ)MB.求AM.

例8.(2022.山東煙臺?一模)如圖，四邊形ABCD中，AB2+BC2+AB-BC^AC2.

(1)若AB=3BC=3,求ZVLBC的面積；

⑦若CD=6BC,/。在。=30。，ZBCD=120。,求乙4cB的值.

例9.(2022?全國?高三專題練習(xí))在①AB=2AD,②sin/ACB=2sin乙4co，③5^8。=2s△八⑺這三個

條件中任選一個，補充在下面問題中，并解答.

已知在四邊形ABCD中，ZABC+NADC=兀，BC=CD=2,且.

(1)證明：tanZ.ABC=3tanNBA。；

(2)若AC=3,求四邊形ABCD的面積.

例m(2022.福建.廈門一中高一階段練習(xí))在平面四邊形ABCD中,NABC=

j,ZADC=f,BC=4.

⑴若△ABC的面積為3代，求4。；

(2)若在。=，Z.BAC=ADAC,求tunZDAC.

例1L(2022?湖北武漢?模擬預(yù)測)如圖,在平面四邊形ABCD中，ZBCZ?=y,AB=1,乙43。=普.

⑴當(dāng)BC=您，CD=V7時，求△47。的面積;

(2)當(dāng)ZADC=5，4。=2時，求cosZACD.

題型二:兩角使用余弦定理

例11(2022.湖北.襄陽四中模擬預(yù)測)在△ABC中，內(nèi)角力，3,。的對邊分別為a,3c,角4的平分線

AO交邊于點D

(1)證明：嘿=景，AD2=4B?力

⑵若45=1,4=茅，求。0DC的最小值.

例以（2022.湖北武漢.二模）如圖，/\力8。內(nèi)一點尸滿足/:>/，。。,47=叱=2.

(1)若AB=n,PC=2,求sin/ACP的值;

⑵若AB=V5,sinZACP=4,求4P的長.

例14（2022?江蘇?泗陽縣實驗高級中學(xué)高一階段練習(xí)）如圖，在凸四邊形ABC。中，已知AB=4D=4,

BC=6.

⑴若/月。B=5，C=號，求cos/BOC的值；

（2）若CD=2,四邊形ABCD的面積為4,求cos（A+C）的值.

例15.（2021.全國.高考真題）記△ABC是內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c.已知〃=ac,點。在邊力C

上，BDsmZ.ABC=asinC.

⑴證明：BD=b；

（2）若AO=2DC,求cos/ABC.

例16.（2022?全國?高三專題練習(xí)（理））如圖，在△48。中，。是AC邊上一點，N4BC為鈍角，408。=

90°.

（1）證明：cosNADB+sinO=0；

（2）若AB=2/7,BC=2,再從下面①②中選取一個作為條件，求△ABO的面積.

①sin乙45。=警算；②4C=34D.

14

注:若選擇兩個條件分別解答，則按第一個解答計分.

例17.（2022?重慶?二模）已知A4BC的外心為O,M,N為線段上的兩點，且。恰為中點.

（1）證明：\AM\-|MB|=|AV|?\NC\

⑵若|力O|=QM=1,求各空的最大值.

題型三:張角定理與等面積法

例18.（廣東省2022屆高三三模數(shù)學(xué)試題）已知△45。中，a,Ac分別為內(nèi)角4,5,。的對邊,且2&疝14=

（2b+c）sinB+（2c+b）sinC.

（1）求角A的大?。?/p>

（2）設(shè)點。為上一點，力。是△A3C的角平分線，且4。=2,6=3,求的面積.

例11(2022?湖北武漢?模擬預(yù)測)在△ARC中，設(shè)角A,B,C所對的邊分別為a,b,c,且(c-6)sinC=

(a—b)(sinA+sinB)

⑴求4

⑵若。為BC上的點，4。平分角A,且c=告，求票

例20.(2022?遼寧?高一期中)如圖，在△ABC中，力B=2,3sin2B—2cosB—2=0,且點。在線段反7上.

(1)若/力。。=等，求AO的長；

⑵若BD=2DC,$叱空=42,求AA5D的面積.

smZ.gCAD

例21(2022?江蘇?華羅庚中學(xué)三模)在入48。中，已知4B=4,4C=5,cosB=申.

(1)求sin4的值；

(2)若4D是NA4C的角平分線，求4。的長.

例22(2022?山東淄博?三模)已知函數(shù)/(力)=VSsincoxcoscox—cos2o)x4--y(w>0),其圖像上相鄰的最高

點和最低點間的距離為.+亨.

(1)求函數(shù)/3)的解析式；

(2)記△ABC的內(nèi)角ABC的對邊分別為a,b,c,a=4,bc=12,/(Z)=l.若角A的平分線4。交

3。于。，求4D的長.

例23(2022?黑龍江?哈爾濱三中高三階段練習(xí)(理))在△ABC中，角力，B,。的對邊分別是a,b,c,且

2bcosC=2a+c.

(1)求角B的大?。?/p>

⑵若b=2/，O為AC邊上的一點，BO=1,且，求A4BC的面積.

①6。是的平分線;②。為線段的中點.(從①，②兩個條件中任選一個，補充在上面的橫線

上并作答).

題型四,角平分線問題

例24(2022?北京?首都師范大學(xué)附屬中學(xué)三模)已知△48。的內(nèi)角48C的對邊分別為a,6,c,且

V3sin(-j1-+B)+sin(-^-—B)=0.

(1)求ZB的值；

(2)給出以下三個條件：

條件①："一〃+—3c=0；條件②a=3；條件③S*=耳工.這三個條件中僅有兩個正確,請選

出正確的條件并回答下面的問題：

⑴求sin4的值；

(誦)求/ABC的角平分線BD的長.

例25(2022?江蘇?南京師大附中模擬預(yù)測)在△ABC中，內(nèi)角C所對的邊長分別為a,b,c,且滿足

2c_.,tan2

T-tanB'

(1)求角A;

⑵角的內(nèi)角平分線交BC于點M,若a=4V7,4M=3J5,求sin/4WC.

例26(2022.北京八十中模擬預(yù)測)在中，V3sin(fi+~)=—cos(B+5).

(1)求B的值；

(2)給出以下三個條件:①a?—b2+c2+3c=o；②a=《，b=l；③5"火=岑2,若這三個條件中

僅有兩個正確,請選出正確的條件并回答下面問題：

⑴求sin/的值；

(洲求/ABC的角平分線BD的長.

例27(2022.河南.模擬預(yù)測(理))如圖，在中，。為邊6C的中點，/4CB的平分線分別交

4。于E,b兩點.

(1)證明：sinZABC-smZCAD=sinAACB-sinZB^D；

⑵若/B4C=MsinNABC=4,AD=^，求DE.

B

D

例28（2022.廣東佛山?三模）設(shè)△43。的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,已知bsinA+V3acosB=

0,乙4BC的平分線交AC于點。，且BO=2.

⑴求孫

（2）若a=3,求b.

例29（2022?山東濰坊?模擬預(yù)測）已知△4BC的內(nèi)角A、B、C的對邊分別為a、b、c,且△ABC的面積為

V3（a2+b2—c2）

4

⑴求NC;

⑵若乙4=年，/。的角平分線CE與邊A3相交于點E,延長CE至點。，使得

CE=DE或cos4ADB.

題型五:中線問題

例30（2022?廣東佛山?高三期末）△力中，內(nèi)角4,B,。所對的邊分別為a,b,c,且acosC=（26-c）

cosA.

（1）求角4的大?。?/p>

⑵若&=2,5。邊上的中線AD=0,求△ABC的面積.

例31(2022.全國.模擬預(yù)測)在△ABC中.sin4cos(A-

⑴求角4

(2)若47=8,點。是線段的中點，￡>￡_14C于點E,且。E==3,求CE的長.

例32(2022?海南?？?二模)在AABC中，角4,8。的對邊分別為a,b,c,已知B=告，b=[a.

JD

(1)求sin4

⑵若Q=5,月8邊的中點為。，求CD

例33(2022?山東?煙臺二中模擬預(yù)測)設(shè)△ABC的內(nèi)角。的對邊分別為a,b,c,且

bcosC+V5csinZ?_1

a+c?

(1)求角6的大小；

⑵設(shè)分別為邊AB,的中點，已知△BCD的周長為3+心,且卷=乂板,若c<5a,求a.

例34(2022.新疆克拉瑪依.三模(理))在△力BC中，a,b,c分別為三個內(nèi)角4,。的對邊，若2<?=

(a2+c2-b2)(l-^g).

'cosB)

(1)求角c；

⑵若c=2?U,sinA=W^，。為47的中點，求的長度.

例35(2()22?湖北.模擬預(yù)測)記448。的內(nèi)角力,3,。的對邊分別為氏6,°,若62+02—&2=2而如1。.

(1)求角人

(2)若46=3一,力。=3,點P在線段上，且CP=4CBQ是線段47中點，AP與交于點

O

M,求cos/AMB.

例36(2()22?陜西?交大附中模擬預(yù)測(理))設(shè)也力口。的內(nèi)角4,口，。所對邊的長分別為明匕，<:,且&=

bcosC+^-csinB.

o

⑴求B；

(2)若。=1,。=3,4?的中點為。,求如的長.

題型六:高問題

例37（2022?河南?平頂山市第一高級中學(xué)模擬預(yù)測（理））在△ABC中，角4,3,。所對的邊分別為a,b,

（1）求角4的大小；

⑵若c=8,&4BC的面積為475,求邊上的高.

例38（2022?江蘇?南京市江寧高級中學(xué)模擬預(yù)測）從①A為銳角且sinB-cost?=；②匕=

2asin（C+專）這兩個條件中任選一個，填入橫線上并完成解答.在三角形ABC中，已知角4,3,C

的對邊分別為a,b,c,.

（1）求角4;

⑵若b=卒c且BC邊上的高AD為24，求CD的長.

例39(2022?北京房山?二模)在△ABC中，acosB+^-b=c,b=2.

⑴求乙4;

(2)再從下列三個條件中選擇一個作為已知，使△4BC存在且唯一確定，求邊上的高.

條件①：cosB=—1"；條件②：sinB=條件③：△ABC的面積為，.

注:如果選擇的條件不符合要求，第(2)問得0分;如果選擇多個符合要求的條件分別解答，按第一個

解答計分.

例40(2022?山東青島?一模)在△ABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且(sinB-sinC)2=sinM

—sinBsinC-

(1)求角A；

(2)若6=5,BC邊上的高為當(dāng)N,求邊c.

例41(2022.福建.模擬預(yù)測)已知△ABC的內(nèi)角A,B,。的對邊分別為a,b,c,2c-b=2acosB.

(1)求角A;

(2)若空sinB+(c-4)COSB=，7,b-c=2,求3。邊上的高.

黑型七鼻心ms及其應(yīng)用

例42(2022.湖北省仙桃中學(xué)模擬預(yù)測)如圖，在△ABC中，已知2,47=2/，^BAC=30°,BC邊

上的中線AM與NABC的角平分線BN相交于點P.

(l)NMPN的余弦值.

(2)求四邊形PMCN的面積.

例43(2022?全國?高三專題練習(xí))G是4ABC的重心,a,b,c分別是角的對邊,若20aAX+156GB

+12c交=6,則cosA=()

A.0B.春C.v-D.1

55

例44（2022?全國?高三專題練習(xí)）已知4ABC的內(nèi)角4,6,。的對邊分別為a,b,c,且acosB+V3asinB

=。+1"=1,點3是4/6。的重心,且43=厚,則4>13。的面積為（）

o

A.乎B.V3C.3D.2V3

例45（2022?全國?模擬預(yù)測）在AABC中，內(nèi)角A,6,。所對的邊分別為a,b,c,若ZVIBC的外接圓的面

積為兀，（b—c）sinB+2sin2C=asin4.

⑴求力；

⑵4。是角？1的平分線，若BD=3OC,△ABC的重心為G,求4G的長.

題型八，外心及外接圈問題

例46（2022?全國?高三專題練習(xí)）設(shè)O為△4BC的外心，若而=而+2而，則sin/氏4c的值為

例47(2022?江蘇?泰興市第一高級中學(xué)高三階段練習(xí))在△工BC中，4,AC=6,BC=5,點。為

△ABC的外心，若不5=久而+“屈,則/!+“=()

A.B.喜C.2D.白

3579

例48(2022.廣東.模擬預(yù)測)△48。的內(nèi)角4B,C的對邊分別為a,b,c,且a(J^sinB-cos。)=

(c-6)cosA.從下列①②③這三個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.

①。為4ABC的內(nèi)心;②O為的外心;③。為4ABC的重心.

⑴求4

(2)若6=6,c=10,,求△OBC的面積.

注:如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

例49(2022?黑龍江齊齊哈爾?二模(理的內(nèi)角4,5,C的對邊分別為a,b,c,且

a(V3sinJ3—cosC)=(c—6)cosX.從下列①②這兩個條件中選擇一個補充在橫線處，并作答.

①O為△48。的內(nèi)心;②。為△ABC的外心.

注:如果選擇多個條件分別解答，則按第一個解答計分.

⑴求4

(2)若b=3,c=5,，求△OBC的面積.

例50(2022?江蘇省白蒲高級中學(xué)高三階段練習(xí))在△46。中，角4B,。的對邊分別為a,b,c；3b=4c,

coscC=-4?

5

(1)求cos4的值；

(2)若ZVIBC的外心在其外部，a=7,求/XABC外接圓的面積.

例51(2022?遼寧.三模)在△/3C中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知4=告，c=4.

O

(1)若sinB—cosB=#-,求△ABC外接圓的直徑；

(2)若。=求△ABC的周長.

例52(2022.四川.樹德中學(xué)模擬預(yù)測(理))已知的數(shù)/㈤=每in5cc嘮-cos節(jié)+十.

(1)求/(立)的單調(diào)增區(qū)間；

(2)設(shè)△工的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為a,b,c,若/(4)=J,a=g,求△4BC外接圓的面積.

例53（2022?湖南?長郡中學(xué)高三階段練習(xí)）法國著名軍事家拿破侖波拿巴最早提出的一個幾何定理:“以

任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這個三個三角形的外接圓圓心恰為另一個等

邊三角形的頂點”.如圖，在中，內(nèi)角4B,。的對邊分別為a,b,c,已知acos（B—C）=

,

cosX（2V36sinC-a）.以AB,BC,AC為邊向外作三個等邊三角形，其外接圓圓心依次為Q,O2,

O-,.

⑴求4

（2）若a=/,△OQ2Q1的面積為喑，求△ABC的周長.

題型九:兩邊夾問題

例54（2021?雙流區(qū)校級模擬）在△力中，角力，。所對的邊分別為a.,b,c,若cosA+sinA-

2=（）,則包產(chǎn)的值是（）

sinB+cosB

A.2B.V3C.V2D.1

例55（2020?蘇州二模）在AABC中，已知邊a,b,c所對的角分別為4,B,。，若Zsin2+3sin2C=

2sinAsinBsinC,+siirA）則tanA=.

例56（2013-成都模擬）在XABC中，若（cos4+sinA）（cosB+sinB）=2,，則角C=

例57（2018-如皋市二模）在A4BC中，角4、B、C的對邊分別為a,b.,c,設(shè)S是AABC的面積，若〃+

。2=梟2+孽s,則角A的值是一.

JO

題型十:內(nèi)心及內(nèi)切回問題

例58(2022?全國?高三專題練習(xí))△力BC的內(nèi)角4B,C所對的邊分別為a,b,c,a=6,b+12cosB=2c.

(1)求4的大?。?/p>

(2)M為△ABC內(nèi)一點，4Vf的延長線交BC于點，求△ABC的面積.

請在下列三個條件中選擇一個作為已知條件補充在橫線上，使△4BC存在,并解決問題.

①M為△ABC的外心，4A1=4；

②M為ZXABC的垂心，MD=/；

③“為△ABC的內(nèi)心，40=3一.

例59(2022?安徽.蕪湖一中一模(理))已知AABC的內(nèi)角A,。的對邊分別為a,b,c,tanC=

sin二

2—cosA

⑴求《的值；

⑵設(shè)M和N分別是AARC的重心和內(nèi)心，若M/V〃BC且c=2,求a的值.

例60（2022?全國?高三專題練習(xí)）在△ABC中，角A,。的對邊分別為a,b,c,且4為銳角，a=30,

AB-AC=3,再從條件①：bsin且=asinB,條件②：btanA=（2c—b）tanB,這兩個條件中選擇

一個作為已知.求:

⑴角4

（2）ZL4B。的內(nèi)切圓半徑r.

例61（2022?陜西?武功縣普集高級中學(xué)一模（文））在△力中，a,b,c分別是角4,B,。所對的邊，已知

b=4,c=2,且sinC=sinB+sin(A—B).

(1)求角A和邊a的大?。?/p>

(2)求的內(nèi)切圓半徑.

例62例62.（2022.全國.高三專題練習(xí)）如圖，在^ABC中，。是5。上一點，4。平分ABAC.

小七、丁BD_AB

⑴求證：而=而；

⑵若AC=2,。。=1,4。=,道,求△ABC的內(nèi)切圓面積.

例63(2022?陜西?西北工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)模擬預(yù)測(理))在△48。中，a,b,c分另U為角4,。的對邊,

且鳳麗。一/)?

(1)求角4

(2)若△ABC的內(nèi)切圓面積為4兀，求△ABC面積S的最小值.

例64(2022?全國?高三專題練習(xí))已知函數(shù)/(力)=2，^sinccosi+2cos%

(1)求函數(shù)f(x)=2V^sinacos#+2cos2a;的對稱軸;對稱中心;單調(diào)遞增區(qū)間；

(2)在A48C中，a,b,c分別是ABC所對的邊，當(dāng)/G4)=2,Q=2時，求A43C內(nèi)切圓面積的最大

值.

例65(2022.河南南陽.高三期末(理))在△ABC中，J5sinC+cosC=顯叱驍皿。

⑴求人

(2)若△ABC的內(nèi)切圓半徑r=2,求AB+4。的最小值.

例66（2022?陜西?模擬預(yù)測（文））已知△ABC+?，角＞1,6,。所對的邊分別是a,b,c,且a=6,b=

=2C,設(shè)。為4ABe的內(nèi)心,則AAOB的面積為

例67（2022.全國?高三專題練習(xí)）已知點O是ABC的內(nèi)心，若而5=yAB+:而，則cosAC=

)

BD

AX1Q-L-1

A-5。8

解三角形圖形類問題

【方法技巧與總結(jié)】

解決三角形圖形類問題的方法：

方法一：兩次應(yīng)用余弦定理是一種典型的方法，充分利用了三角形的性質(zhì)和正余弦定理的性質(zhì)解題；

方法二：等面積法是一種常用的方法，很多數(shù)學(xué)問題利用等面積法使得問題轉(zhuǎn)化為更為簡單的問題，相

似是三角形中的常用思路；

方法三：正弦定理和余弦定理相結(jié)合是解三角形問題的常用思路；

方法四：構(gòu)造輔助線作出相似三角形，結(jié)合余弦定理和相似三角形是一種確定邊長比例關(guān)系的不錯選

擇；

方法五：平面向量是解決幾何問題的一種重要方法，充分利用平面向量基本定理和向量的運算法則可以

將其與余弦定理充分結(jié)合到一起；

方法六：建立平面直角坐標(biāo)系是解析幾何的思路，利用此方法數(shù)形結(jié)合充分挖掘幾何性質(zhì)使得問題更加

直觀化.

【題型歸納目錄】

題型一:妙用兩次正弦定理

題型二:兩角使用余弦定理

題型三:張角定理與等面積法

題型四:角平分線問題

題型五:中線問題

題型六，高問題

題型七:重心性質(zhì)及其應(yīng)用

題型八:外心及外接圓問題

題型九:兩邊夾問題

題型十，內(nèi)心及內(nèi)切圓問題

【典例例題】

題型一:妙用兩次正弦定理

例1.（2022.全國?高三專題練習(xí)）在①.，②-.滬，③2S=-V3BA-BC

cosC2a-rcsin±>—sinCa-rc

三個條件中任選一個補充在下面的橫線上，并加以解答.

在^ABC中，角A,B,C的對邊分別為a,b,c且，作力BJ_AD,使得四邊形ABCD滿足

^ACD=^,AD=V3,求8。的取值范圍.

O

【答案】@2）.

【解析】根據(jù)題意,選擇①②③求得B=與，設(shè)ZBAC=0，則ACAD=與一仇NCD4=。+強,在

oZ0

AACD中，由正弦定理求得AC=2sin（。+,），在△ABC中，由正弦定理求得可得BC=

*sin（。+點）?sin0=2?gsin（2?-,）+1,結(jié)合0<6<,和三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.

【詳解】

若選①:由仝3=一/一,根據(jù)正弦定理可得空嚕=.蠟，

cosC2a+ccosC2smA+smC。

即2sinylcosB+sinCcosB=—sinBcosC,

即2sinAcosB=—sinBcosC-sinCcosB=—sin(B+C)=—sinA,

可得cos8=—1因為力€（0,兀），所以8=亭,

/o

設(shè)NR4C=0,則NC4D=專-dNCZM=0+專,

ACAD

在△AC。中，由正弦定理得

sinZADCsinZACD

sin+

ADsinZADC心'(^專)

可得力C==2sin(。+專),

sin/ACDsin專

J

ACBC

在△ABC中，由正弦定理得=

sinJBsin。

AC-Sind2sin(—)-sin。

可得=-^sin(l9+y)-sin(9

sinBsi.n紅3

+-ycos^^sin/9=+-1~sin9cosj)

=—^(2V3sin20+2sin9cos0)=-^^2V3x-1s,|_sin2。)

=-^=-(sin2^—V3cos2^)+1=_=^^^sin(29—+1,

V3JJ7

因為OVJV看，可得一看V2。一qV4,

JOOO

當(dāng)2。一年=卷時，即。=卷,可得萃sinq+1=2,

JJOOO

當(dāng)2。一專=一號■時，即夕=0,可得竽sin（—3）+1=0,

所以的取值范圍是（0,2）.

選②：由.刎^=”2，根據(jù)正弦定理可得v5-=空

smB-sinCQ+Cb—cac

可得ar+ac=b~—c2,即a2-he2—b2=—ac,

又由余弦定理，可得cos6=標(biāo)+/一〃=-=_《,

2ac2ac2

因為4G（0,兀）,所以8=與，

o

設(shè)“40=依則“40=專一仇"04=6+專,

ACAD

在△a。。中，由正弦定理得

sinZXPC-sinZXCP）

ADsmAADC/。sin（。+寺）

可得47==2sin（夕+-1-）,

sinZACDsin-^

o

在△板中，由正弦定理得磊=焉,

松sinO_2sin（J+專）-sinJ

可得BC=表sin（6+1）?sin6

27r

sinBsin丁

_4/V3sinJ+-ycos^^sin<9=節(jié)+-^-sin^cos^^

一㈤一2

=—^（2V3sin2^+2sinJcosO）=-4=^f2V3x-~~1s2“十$也2。）

V3Vo乙

=（sin2g-V3cos2^）+1=-*sin（20—+1,

因為0V0V告，可得—告V2?！妗锤妫?/p>

JoJJ

當(dāng)2。一專=等時，即8=3可得畢sin4+l=2,

ooooo

當(dāng)26-專=一專時，即6=0可得竽sin（一《）+l=O

所以BC的取值范圍是（0,2）.

若選③：由2S=—V3BA?可得2x-1-acsinB=—V3accosB,

即sinB=—V3cosB,可得tanB=—V3,

因為＞ie（o,兀），所以B=警,

O

設(shè)"*=夕，則"40=告一仇/8月=0+,

AD

在AACD中，由正弦定理得AC

sinZAPC-sinZACD)

A/3?sin僅+寺)

ADsinAADC

可得4C==2sin僅+,

sinZXCDsin等

o

在中，由正弦定理得磊=篇

用徨ALAC-sinO2、in(9+g)^inf)4.//1,7U\.〃

可得BC=…si%豆…一一藍(lán)序一一一7rsm(9+K)?smJ

+十cosJ)sinJ=-^(-^sin20+}sinOcosO)

=-4^(2V3sin2^+2sin6cosJ)=-i^(2\/3X——等」過+sin2J)

V3V3v2

--ir(sin20—V3cos20)+1=2/sin(22—等)+1,

V3JJ/

因為OV。〈年，可得—年＜26—與〈卷，

OOOO

當(dāng)2。一專=專時，即6=微■，可得挈siq+1=2,

當(dāng)2。一專=—,時，即6=0,可得竽sin（-專）+1=0,

所以BC的取值范圍是（0,2）.

例2.（2020?北京?北師大二附中高三期中）如圖，四邊形4BCD中/歷1。=90°,ABC=30°,AD±

CD,設(shè)乙4c0=9.

⑴若AABC面積是△AC。面積的4倍，求sin2。；

⑵若Z.ADB=尤，求tan"

【答案】⑴sin26=乎⑵tanG=乎

【解析】

（1）設(shè)4。=a,可求=asind3=acos仇由題意S4ABC=4s△4。。,利用三角形

的面積公式即可求解；

（2）在△4?。中，M3CD中，分別應(yīng)用正弦定理，聯(lián)立可得2sin6+0）=3sinJ,利用兩角和的正弦

公式，同角三角函數(shù)基本關(guān)系式即可求解.

【詳解】

⑴設(shè)>1。=Q,則AB=V3afAD=asinO9CD=acos。,由題意SAAJ3c=4S&ACQ,

則-ya-V3a=4--yacos0?asinJ,所以sin29=-^y-.

⑵由正弦定理，l^ABD中，.%4n=?咒nn，即.嚴(yán)小=二垣①

smZBADsmZADBsm(7t-0)ainJL

6

BDBC即BD=

△BCD中,

sin/BCDsin/CDB'sin借+6)

①+②得：2sin傳+6)=3sinJ,化簡得

V5cosJ=2sin6,所以tan6*=

例3.(江蘇省南京市寧海中學(xué)2022屆高三下學(xué)期4月模擬考試數(shù)學(xué)試題)在AABC中，內(nèi)角48。的對

邊分別為a,b,c,A=150°,點。在邊BC上，滿足CD=2BD,且sin/f力。sin/CAD=

o+c2a

(1)求證：AD=4a；

(2)求cosZADC.

【答案】(1)證明見解析

⑵普

【解析】

(1)分別在△48。和AACD中利用正弦定理表示出sinZBAD,smZDAC,，代入已知等式化簡整理

即可得到結(jié)果；

(2)根據(jù)Z.ADB=—NADC,在△A5O和△八。3利用余弦定理可整理得到〃b2c"；在A/1BC

中，利用余弦定理可得c=Ab，進(jìn)而得到a=46,代入cosZADC中即可求得結(jié)果.

(1)

C…D=2BD,：.CD=~2^a,BD=1

oo

在AABD中，由正弦定理得：sinABAD==管招；

嗎—ojkiy

在XACD中，由正弦定理得：sin/D4C=再裝、=空駕g

-nsinB_sinC_sinA_1

乂F-—-T"—―"F'

.sinN84。,sinNC4。_asinB,2asinC_a1,2a1__3_

?'hc—3b-AD3c-AD-iAD'2a3AD'^a_2a

即94D=3a,AD=^-a.

o

⑵

BD2+AD--AB2__2a2—9c2

在△ABD中,由余弦定理得：cos^ADB=

2BD-AD2a2

5a2—9b)

在4ACD中，由余弦定理得：cos^ADC

2AD-CD~7aT

???^ADB+￡ADC=180=，二^ADB=一4ADC,

即2/-9c'=_3ar-9lr，整理可得：&2_〃=2c2；

2a4相

在△48。中，由余弦定理得：cosA=，+<-a2=一套，

Zbc2

貝!J—^―=—^r—c=V36,a2—b2=6b2,H|Ja=V7b；

2bc2b2

222

_5a—9b235b-9b=13

cosAADC2-

4Q228bl4,

例4.（廣東省2022屆高三二模數(shù)學(xué)試題）如圖，已知△43C內(nèi)有一點P,滿足4PAB=4PBC=APCA

=a.C

(1)證明：PBsinABC=ABsina.

（2）若NABC=90。，相二^^二匕求尸。.

【答案】（1）證明見解析

⑵PC=4^

【解析】

AB

⑴由正弦定理得黑,即P3sin//PB=ABsina,即要證明sinAABC=sinZAFB

sinZAPB

即可，由此利用三角形內(nèi)角和證明可得結(jié)論;

⑵由題意求得尸B=sina,繼而求得PC=掇sina,在△R4B中利用余弦定理求得sina=普,即可

求得答案.

⑴

證明:

在中，由正弦定理得照AB

smZ.APB'

即PBsinNAPB=ABsina,

要證明PBsin/74BC=ABsina,只需證明sinZABC=sinZAPB,

在AABP中，AAPB=兀一(a+NABP),

在AABC中，AABC=a+NABP,

所以NAPB=7r-NABC,

所以sin/4PB=sin（兀-ZABC）=sinZABC,

所以PBsinNABC=ABsina.

⑵

由（1）知PBsinN4BC=4Bsina,又因為/4BC=90',AB=1,

所以PB=sina,

由已知得△ABC為等腰直角三角形，所以NBC4=/C4B=?

則ZBCP=1—a,

所以在△尸BC中，NBPC=L（卷一a）-a=苧，

由正弦定理得sinxBPC=sinZRBC'

即十戶，

sin與sina

即PC=Vasina.

由余弦定理得sin2a+sina）?—2sinasina）cos學(xué)=1,

由題意知sina>0,

故解得sina=咯，

5

所以。。=耍.

例5.(2022.全國.高三專題練習(xí))如圖,在梯形ABCD中，A5〃CO,=2,CD=5,ZABC=%.

o

(1)若AC=26,求梯形ABCD的面積；

(2)若力C_LBD,求tan/4BD/\/\

【答案】(1)76；(2)tan乙4/0=2]./\\

【解析】。C

⑴A4RC中，利用含/4BC的余弦定理表達(dá)式建立6C的方程，求出RC而得△4SC面積，再利用面

積關(guān)系求△4DC的面積得解；

(2)由題設(shè)中角的信息用乙4m表示出△ARC與相。。中的相關(guān)角，再在這兩個三角形中利用正弦

定理建立兩個方程,聯(lián)立整理得tan乙4BO的方程，解之即得.

【詳解】

⑴設(shè)以在△46。中，由余弦定理AC2=AB2+BC--2AB?BCcosZABC^：

28=22+x2—2?2,x?cos與，即爐+2?！?4=0,而/>0,解得化=4,

O

所以BC=4，則4ABC的面積5&融=^AB-BC-sinAABC=4?2?4?空=273,

梯形ABCD中，力B〃CD,△ABC與△ADC等高，且CD=°斐，

所以△ADC