圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程

圓的標(biāo)準(zhǔn)方程1、情境設(shè)置：在直角坐標(biāo)系中，確立直線的基本因素是什么圓作為平面幾何中的基本圖形，確立它的因素又是什么呢什么叫圓在平面直角坐標(biāo)系中，任何一條直線都可用一個(gè)二元一次方程來表示，那么，原能否也可用一個(gè)方程來表示呢假如能，這個(gè)方程又有什么特色呢研究研究：2、研究研究：確立圓的基本條件為圓心和半徑，設(shè)圓的圓心坐標(biāo)為A(a,b)，半徑為r。（此中a、b、r都是常數(shù)，r>0）設(shè)M(x,y)為這個(gè)圓上隨意一點(diǎn)，那么點(diǎn)M知足的條件是（指引學(xué)生自己列出）P={M||MA|=r},由兩點(diǎn)間的距離公式讓學(xué)生寫出點(diǎn)M合適的條件(xa)2(yb)2r①化簡(jiǎn)可得：(xa)2(yb)2r2②64A2M-55-2-4指引學(xué)生自己證明(xa)2(yb)2r2為圓的方程，得出結(jié)論。方程②就是圓心為A(a,b),半徑為r的圓的方程，我們把它叫做圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。3、知識(shí)應(yīng)用與解題研究例（1）：寫出圓心為A(2,3)半徑長(zhǎng)等于5的圓的方程，并判斷點(diǎn)M1(5,7),M2(5,1)能否在這個(gè)圓上。剖析研究：能夠從計(jì)算點(diǎn)到圓心的距離下手。研究：點(diǎn)M(x0,y0)與圓(xa)2(yb)2r2的關(guān)系的判斷方法：（1）(x0a)2(y0b)2>r2，點(diǎn)在圓外（2）(x0a)2(y0b)2=r2，點(diǎn)在圓上（3）(x0a)2(y0b)2<r2，點(diǎn)在圓內(nèi)例（2）：ABC的三個(gè)極點(diǎn)的坐標(biāo)是A(5,1),B(7,3),C(2,8),求它的外接圓的方程師生共同剖析：從圓的標(biāo)準(zhǔn)方程(xa)2(yb)2r2可知，要確立圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，可用待定系數(shù)法確立a、b、r三個(gè)參數(shù).（學(xué)生自己運(yùn)算解決）例(3):已知圓心為C的圓l:xy10經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,2),且圓心在l:xy10上,求圓心為C的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.師生共同剖析：如圖確立一個(gè)圓只需確立圓心地點(diǎn)與半徑大小.圓心為C的圓經(jīng)過點(diǎn)A(1,1)和B(2,2),因?yàn)閳A心C與A,B兩點(diǎn)的距離相等，所以圓心C在險(xiǎn)段AB的垂直均分線m上，又圓心

C在直線

l上，所以圓心

C是直線

l與直線

m的交點(diǎn)，半徑長(zhǎng)等于

CA

或CB

。（教師板書解題過程）4l2A-55m-2BC-4-6總結(jié)概括：（教師啟迪，學(xué)生自己比較、概括）比較例（2）、例(3)可得出VABC外接圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的兩種求法：①、依據(jù)題設(shè)條件，列出對(duì)于a、b、r的方程組，解方程組獲得a、b、r得值，寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.依據(jù)確立圓的因素，以及題設(shè)條件，分別求出圓心坐標(biāo)和半徑大小，而后再寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程.講堂練習(xí)：課本p127第1、3、4題4.提煉小結(jié)：1、圓的標(biāo)準(zhǔn)方程。2、點(diǎn)與圓的地點(diǎn)關(guān)系的判斷方法。3、依據(jù)已知條件求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的方法。圓的一般方程教課環(huán)節(jié)

教課內(nèi)容師生互動(dòng)設(shè)計(jì)企圖課題引入觀點(diǎn)形成與深化

問題：求過三點(diǎn)A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)的圓的方程.利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程解決此問題明顯有些麻煩，得用直線的知識(shí)解決又有其簡(jiǎn)單的限制性，那么這個(gè)問題有沒有其余的解決方法呢帶著這個(gè)問題我們來共同研究圓的方程的另一種形式——圓的一般方程.請(qǐng)同學(xué)們寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：(x–a)2+(y–b)2=r2，圓心(a，b)，半徑r.把圓的標(biāo)準(zhǔn)方程睜開，并整理：x2+y2–2ax–2by+a2+b2–r2=0.取D=–2a，E=–2b，F(xiàn)=a2+b2–r2得x2+y2+Dx+Ey+F=0①這個(gè)方程是圓的方程.反過來給出一個(gè)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的方程，它表示的曲線必定是圓嗎把x2+y2+Dx+Ey+F=0配方得(xD)2(yE)2D2E24F②(配224方過程由學(xué)生去達(dá)成)這個(gè)方程能否是表示圓（1）當(dāng)D2+E2–4F＞0時(shí)，方程②表示以(DE)為圓心，,221D2E24F為半徑的圓；22）當(dāng)D2+E2–4F=0時(shí)，方程只有實(shí)數(shù)解xD,yE，即只表示一22個(gè)點(diǎn)(D,E)；23）當(dāng)D2+E2–4F＜0時(shí)，方程沒有實(shí)數(shù)解，因此它不表示任何圖形.綜上所述，方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線不必定是圓.只有當(dāng)D2+E2–4F＞0時(shí)，它表示的曲線才是圓，我們把形如x2+y2+Dx+

設(shè)疑激趣讓學(xué)生帶著問題進(jìn)行思慮導(dǎo)入課題.整個(gè)研究過程由學(xué)生完經(jīng)過成，教師只做指引，得出圓的學(xué)生對(duì)圓一般方程后再啟迪學(xué)生概括.的一般方圓的一般方程的特色：程的研究，（1）①x2和y2的系數(shù)相使學(xué)生親同，不等于0.身領(lǐng)會(huì)圓②沒有xy這樣的二次的一般方項(xiàng).程的特色，（2）圓的一般方程中有及二元二三個(gè)特定的系數(shù)D、E、F，因次方程表此只需求出這三個(gè)系數(shù)，圓的示圓所滿方程就確立了.足的條件.3）與圓的標(biāo)準(zhǔn)方程對(duì)比較，它是一種特別的二元二次方程，代數(shù)特色明顯，圓的標(biāo)準(zhǔn)方程則指出了圓心坐標(biāo)與半徑大小，幾何特色較明顯.+y2+Ey+F=0的表示圓的方程稱為圓的一般方程.例1判斷以下二元二次方程能否表示圓的方程假如是，懇求出圓的圓心及半徑.1）4x2+4y2–4x+12y+9=02）4x2+4y2–4x+12y+11=0分析：（1）將原方程變成x2+y29–x+3y+=049D=–1，E=3，F(xiàn)=4.∵D2+E2–4F=1＞0∴此方程表示圓，圓心（1，），半2徑r=1.2（2）將原方程化為22x+y–x+3y+=0=–1，E=3，F(xiàn)=.D2+E2–4F=–1＜0∴此方程不表示圓.應(yīng)用例2求過三點(diǎn)A(0，0)，B(1，1)，舉例C(4，2)的圓的方程，并求這個(gè)圓的半徑長(zhǎng)和圓心坐標(biāo).剖析：據(jù)已知條件，很難直接寫出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，而圓的一般方程則需確立三個(gè)系數(shù)，而條件恰給出三點(diǎn)坐標(biāo)，不如試著先寫出圓的一般方程.解：設(shè)所求的圓的方程為：x2Dx+Ey+F=0A(0，0)，B(1，1)，C(4，2)在圓上，所以它們的坐標(biāo)是方程的解.把它們的坐標(biāo)代入上邊的方程，能夠獲得對(duì)于D、E、F的三元一次方程組：

學(xué)生自己剖析研究解決經(jīng)過門路：①用配方法將其變形化例題解說成圓的標(biāo)準(zhǔn)形式.②運(yùn)用圓的使學(xué)生理一般方程的判斷方法求解.但解圓的一是，要注意對(duì)于（1）4x2+4y2般方程的–4x+12y+9=0來說，這里的代數(shù)特色D=–1，E=3，而不是D=–4，及與標(biāo)準(zhǔn)E=12，F(xiàn)=9.方程的相互轉(zhuǎn)變更進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生探索發(fā)現(xiàn)及剖析解決問題的能力.例2講完后學(xué)生議論溝通，概括得出使用待定系數(shù)法的一般步驟：1．依據(jù)題設(shè)，選擇標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.2．依據(jù)條件列出對(duì)于a、b、r或D、E、F的方程組；3．解出a、b、r或D、E、F，代入標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程.F0即DEF204D2EF200解此方程組，可得：D=–8，E=6，F(xiàn)=0∴所求圓的方程為：x2+y2–8x+6y=0r1D2E24F5；2D4,F3.22得圓心坐標(biāo)為(4，–3).或?qū)2+y2–8x+6y=0左側(cè)配方化為圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，(x–4)2+(y+3)2=25，進(jìn)而求出圓的半徑r=5，圓心坐標(biāo)為(4，–3).例3已知線段AB的端點(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)，端點(diǎn)A在圓上(x+1)2+y2=4運(yùn)動(dòng)，求線段AB的中點(diǎn)M的軌跡方程.解：設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)是(x，y)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(x0，y0)因?yàn)辄c(diǎn)B的坐標(biāo)是(4，3)且M是線段AB中要點(diǎn)，所以x04y03x,y，①22于是有x0=2x–4，y0=2y–3因?yàn)辄c(diǎn)A在圓(x+1)2+y2=4上運(yùn)動(dòng)，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)知足方程(x+1)2+y20202=4②=4，即(x+1)+y把①代入②，得(2x–4+1)2+(2y–3)2=4，整理得3)2(y321(x)22所以，點(diǎn)M的軌跡是認(rèn)為圓心，半徑長(zhǎng)為1的圓.yMBA

教師和學(xué)生一同剖析解題思路，再由教師板書.剖析：如圖點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)惹起點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)，而點(diǎn)A在已知圓上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)A的坐標(biāo)知足方程(x+1)2+y2=4.成立點(diǎn)M與點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系，就能夠成立點(diǎn)M的坐標(biāo)知足的條件，求出點(diǎn)M的軌跡方程.Ox講堂練習(xí)：講堂練習(xí)P130第1、2、3題.1．圓的一般方程的特色2．與標(biāo)準(zhǔn)方程的互化概括3．用待定系數(shù)法求圓的方程4．求與圓相關(guān)的點(diǎn)的軌跡教師和學(xué)生共同總結(jié)總結(jié)

讓學(xué)生更進(jìn)一步（回首）領(lǐng)會(huì)知識(shí)的形成、發(fā)展、完美的過程.圓的標(biāo)準(zhǔn)方程一、基礎(chǔ)過關(guān)1．(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心與半徑分別為()A．(－1,2)，2B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4D．(1，－2)，42．點(diǎn)P(m2,5)與圓x2＋y2＝24的地點(diǎn)關(guān)系是()A．在圓內(nèi)B．在圓外C．在圓上D．不確立3．圓的一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)是(2,0)，(2，－2)，則此圓的方程是()A．(x－2)2＋(y－1)2＝1B．(x－2)2＋(y＋1)2＝1C．(x＋2)2＋(y－1)2＝1D．(x＋2)2＋(y＋1)2＝14．圓(x－1)2＋y2＝1的圓心到直線y＝33x的距離為()C．15．圓O的方程為(x－3)2＋(y－4)2＝25，點(diǎn)(2,3)到圓上的最大距離為________．6．圓(x－3)2＋(y＋1)2＝1對(duì)于直線x＋2y－3＝0對(duì)稱的圓的方程是________________．7．求知足以下條件的圓的方程：(1)經(jīng)過點(diǎn)P(5,1)，圓心為點(diǎn)C(8，－3)；(2)經(jīng)過點(diǎn)P(4,2)，Q(－6，－2)，且圓心在y軸上．8．求經(jīng)過A(6,5)，B(0,1)兩點(diǎn)，而且圓心在直線3x＋10y＋9＝0上的圓的方程．二、能力提高9．方程y＝9－x2表示的曲線是()A．一條射線B．一個(gè)圓C．兩條射線D．半個(gè)圓10．若直線y＝ax＋b經(jīng)過第一、二、四象限，則圓(x＋a)2＋(y＋b)2＝1的圓心位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D(zhuǎn)．第四象限11．假如直線l將圓(x－1)2＋(y－2)2＝5均分且不經(jīng)過第四象限，那么l的斜率的取值范圍是________．12．平面直角坐標(biāo)系中有A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)，D(－1,2)四點(diǎn)，這四點(diǎn)可否在同一個(gè)圓上為什么三、研究與拓展13．已知點(diǎn)A(－2，－2)，B(－2,6)，C(4，－2)，點(diǎn)P在圓x2＋y2＝4上運(yùn)動(dòng)，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最值．答案1．A4．A5．5＋232＋y－52＝17．解(1)圓的半徑r＝|CP|＝5－82＋1＋32＝5，圓心為點(diǎn)C(8，－3)，∴圓的方程為(x－8)2＋(y＋3)2＝25.(2)設(shè)所求圓的方程是x2＋(y－b)2＝r2.∵點(diǎn)P、Q在所求圓上，依題意有16＋2－b22，r2＝145，＝r436＋2＋b2＝r2，?5b＝－2.∴所求圓的方程是145x2＋y＋22＝4.8．解由題意知線段AB的垂直均分線方程為3x＋2y－15＝0，3x＋2y－15＝0，∴由，3x＋10y＋9＝0x＝7，解得y＝－3.∴圓心C(7，－3)，半徑r＝|AC|＝65.∴所求圓的方程為(x－7)2＋(y＋3)2＝65.9．D11．[0,2]12．解能．設(shè)過A(0,1)，B(2,1)，C(3,4)的圓的方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2.將A，B，C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入有a2＋1－b2＝r2，2－a2＋1－b2＝r2，3－a2＋4－b2＝r2，a＝1，解得b＝3，r＝5.∴圓的方程為(x－1)2＋(y－3)2＝5.將D(－1,2)代入上式圓的方程，得(－1－1)2＋(2－3)2＝4＋1＝5，即D點(diǎn)坐標(biāo)合適此圓的方程．故A，B，C，D四點(diǎn)在同一圓上．13．解設(shè)P(x，y)，則x2＋y2＝4.|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＝(x＋2)2＋(y＋2)2＋(x＋2)2＋(y－6)2＋(x－4)2＋(y＋2)2＝3(x2＋y2)4y＋68＝80－4y.∵－2≤y≤2，∴72≤|PA|2＋|PB|2＋|PC|2≤88.即|PA|2＋|PB|2＋|PC|2的最大值為88，最小值為72.圓的一般方程一、基礎(chǔ)過關(guān)1．方程x2＋y2－x＋y＋m＝0表示一個(gè)圓，則m的取值范圍是()11A．m≤2B．m＜C．m＜2D．m≤222．設(shè)A，B為直線y＝x與圓x2＋y2＝1的兩個(gè)交點(diǎn)，則|AB|等于()A．1D．23．M(3,0)是圓x2＋y2－8x－2y＋10＝0內(nèi)一點(diǎn)，過M點(diǎn)最長(zhǎng)的弦所在的直線方程是()A．x＋y－3＝0B．x－y－3＝0C．2x－y－6＝0D．2x＋y－6＝04．已知圓x2＋y2－2ax－2y＋(a－1)2＝0(0<a<1)，則原點(diǎn)O在()A．圓內(nèi)B．圓外C．圓上D．圓上或圓外5．假如圓的方程為x2＋y2＋kx＋2y＋k2＝0，那么當(dāng)圓面積最大時(shí)，圓心坐標(biāo)為________．6．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實(shí)數(shù))上隨意一點(diǎn)對(duì)于直線l：x－y＋2＝0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上，則a＝________.7．已知圓的方程為x2＋y2－6x－6y＋14＝0，求過點(diǎn)A(－3，－5)的直線交圓的弦PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程．8．求經(jīng)過兩點(diǎn)A(4,2)、B(－1,3)，且在兩坐標(biāo)軸上的四個(gè)截距之和為2的圓的方程．二、能力提高9．若圓M在x軸與y軸上截得的弦長(zhǎng)總相等，則圓心M的軌跡方程是()A．x－y＝0B．x＋y＝0C．x2＋y2＝0D．x2－y2＝010．過點(diǎn)P(1,1)的直線，將圓形地區(qū){(x，y)|x2＋y2≤4}分為兩部分，使得這兩部分的面積之差最大，則該直線的方程為()A．x＋y－2＝0

B．y－1＝0C．x－y＝0

D．x＋3y－4＝011．已知圓的方程為

x2＋y2－6x－8y＝0，設(shè)該圓過點(diǎn)

(3,5)的最長(zhǎng)弦和最短弦分別為

AC和BD，則四邊形

ABCD的面積為

________．12．求一個(gè)動(dòng)點(diǎn)

P在圓

x2＋y2＝1上挪動(dòng)時(shí)，它與定點(diǎn)

A(3,0)連線的中點(diǎn)

M的軌跡方程．三、研究與拓展13．已知一圓過

P(4，－2)、

Q(－1,3)兩點(diǎn)，且在

y軸上截得的線段長(zhǎng)為

43，求圓的方程．答案1．B3．B4．B5．(0，－1)6．－27．解設(shè)所求軌跡上任一點(diǎn)M(x，y)，圓的方程可化為(x－3)2＋(y－3)24.圓心C(3,3)．CM⊥AM，∴kCM·kAM＝－1，y－3y＋5即·＝－1，x－3x＋3即x2＋(y＋1)2＝25.∴所求軌跡方程為x2＋(y＋1)2＝25(已知圓內(nèi)的部分)．8．解設(shè)圓的