集合知識點歸納及知識題

***集合 〕元素與集合的關(guān)系：屬于〕和不屬于〕 〕集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性集合與元素 〕集合的分類：按集合中元素的個數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集 〕集合的表示方法：列舉法、描述法〔自然語言描述、特征性質(zhì)描述〕、圖示法、區(qū)間法 子集：xA xA

1中有n2n(2n-1)個。 注關(guān)系

AB,C,假設AB，且BC那么AC.

3、空集是任何集合的〔真〕子集。 集合

AA〔

則A是B的真子集。 0 0 集合相等AAB AB 定義：ABx/xA且xB

交集

AAAABBAB,ABABABAABx/xx 并集

AAAABBABABABABB 運算

Card(AB)Card(A)Card(B)-Card(AB)

定義：CAx/xU且xAA U 補集性質(zhì)C)A

， U U

U U U U U

C(AB)(CA)(CB)U U U一、集合有關(guān)概念集合的含義集合的中元素的三個特性：元素確實定性如：世界上最高的山HAPPY{H,A,P,Y}元素的無序性:如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一個集合3．元素與集合的關(guān)系——〔不〕屬于關(guān)系A、B、C…表示a、b、c…表示aAaA,記作a∈A;AaAaA;4.集合的表示方法：列舉法與描述法。的方法a,b,c,d適用：一般元素較少的有限集合用列舉法表示格式：{x|x例如：{xR|x-3>2}或{x|x-3>2}留意：常用數(shù)集及其記法：非負整數(shù)集〔即自然數(shù)集〕記作：N={0,1,2,3，…}正整數(shù)集 N*或N+={1,2,3，…}Z3，-2，-1，0,1,2,3，…}QR有時，集合還用語言描述法和Venn圖法表例如如：語言描述法：{不是直角三角形的三角形}Venn圖:(1含有有限個元素的集合(2含有無限個元素的集合(3不含任何元素的集合例：{x∈R|x2=－5｝1.“包含”關(guān)系—子集x∈Ax∈B，ABAB〔BA〕一集合。②符號∈與的區(qū)分反之:集合A,或集合B,記作AB或BA2．“相等”關(guān)系：A=B定義：假設AB 同時BA那么A=B實例：設 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素一樣則兩集合相等”ABBA)ABx∈BxABBA)性質(zhì)①任何一個集合是它本身的子集。AA②假設ABBC,那么AC③假設AB 同時BA那么A=B不含任何元素的集合叫做空集，記為Φ規(guī)定:空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。n2n個子集，2n-1個真子集三、集合的運算運算 交 集 并 集 補 集類型定 由全部屬于A且屬于B的義 元素所組成的集合,叫做B交記作A〔讀

由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合，叫做A,B的并

設S是一個集合，A是S的一個子集，由S中全部不屬于A的元素組成的集合，叫做S中子集A的補集〔或余集〕記作CA，即S｛x|xA，且xB｝．

‘A并B’〕，即AB CA={x|xS,xA}S={x|xA，或xB})．S韋A B A B SA圖示圖圖示圖12AA=AAA=A(CuA) (CuB)=Cu(AB)性AΦ=ΦAΦ=A(CuA) (CuB)=Cu(AB)質(zhì)AB=BAABAAB=BAABＡA(CuA)=U A (CuA)=Φ．ABBABBAB﹤＝﹥AB=AAB﹤＝﹥AB=B第一章：集合與函數(shù)的概念第一課時：集合集合的含義與表示集合的含義：我們一般把爭論對象統(tǒng)稱為元素，把一些元素組成的總體叫做集合，簡稱集。通常用大寫字母A、B、C等表示集合，用小寫字母a、b、c等表示元素，元素與集合之間的關(guān)系是屬于和不屬于。元素a屬于集合A，記做a∈A，反之，元素a不屬于集合A，記做aA。集合中的元素的特征：①確定性：如世界上最高的山；HAPPY{H,A,P,Y}；③無序性：如集合{a、b、c}和集合{b、a、c}是同一個集合。集合的表示方法：①列舉法；②描述法；③Venn圖；④用數(shù)軸表示集合。常用數(shù)集及記法有常用數(shù)集及記法有非負整數(shù)集〔即自然數(shù)集〕N正整數(shù)集N+或N*整數(shù)集Z有理數(shù)集Q實數(shù)集R集合的分類：①依據(jù)集合中元素的個數(shù)可分為有限集、無限集和空集。②依據(jù)集合中元素的屬性可分為數(shù)集、點集、序數(shù)對等。本節(jié)精講：即對任何一個對象，要么在這組之中，要么不在，二者必居其一，假設這組對象是確定的，那么，這組對象就能夠組成一個集合。例：看下面幾個例子，推斷每個例子中的對象能否組成一個集合。大于等于1，且小于等于100的全部整數(shù)；方程x2=4平面內(nèi)全部的直角三角形；正方形的全體；∏的近似值的全體；平面集合中全部的難證明的題；著名的數(shù)學家；平面直角坐標系中x軸上方的全部點。解：練習：考察以下各組對象能否組成一個集合，假設能組成集合，請指出集合中的元素，假設不能，請說明理由：平面直角坐標系內(nèi)x軸上方的一些點；平面直角坐標系內(nèi)以原點為圓心，以1為半徑的園內(nèi)的全部的點；一元二次方程x2+bx-1=0的根；平面內(nèi)兩邊之和小于第三邊的三角形〔5〕 x2,x2+1,x2+2；〔6〕 y=x,y=x+1,y=ax2+bx+c(a≠0)；〔7〕 2x2+3x-8=0,x2-4=0,x2-9=0；〔8〕 華書店中意思的小說全體。二．有關(guān)元素與集合的關(guān)系的問題：確定元素與集合之間的關(guān)系，即元素是否在集合中，還要看元素的屬性是否與集合中元素的屬性一樣。例：集合A={y|y=x2+1},集合B={(x,y)|y=x2+1},(A、B中x∈R,y∈R)選項中元素與集合之間的關(guān)系都正確的選項是〔 〕A、2∈A，且2∈B B、〔1,2〕∈A，且〔1,2〕∈BC、2∈A，且〔3,10〕∈B D、〔3,10〕∈A，且2∈B解：C練習：3.1415 Q； ∏ Q； 0 R+； 1 {〔x,y〕|y=2x-3}； -8 Z；三．有關(guān)集合中元素的性質(zhì)的問題：集合中的元素有三共性質(zhì):分別是①確定性②互異性③無序性例：集合A是由元素n2-n，n-11組成的，其中n∈Z，求n解：n是不等于1且不等于2的整數(shù)。練習:集合M={a,a+d,a+2d},N={a,aq,aq2},a≠0,且M與N中的元素完全一樣，求d和q的值。集合A={x，

y,1},B={x2,x+y,0}，假設A=B，則x2023+y2023的值為 ，A=B= .x3. (1)假設-3∈{a-3,2a-1,a2-4}求實數(shù)a的值； (2)假設1m1m

∈{m},求實數(shù)m的值。集合M={2，a,b},N={2a,2,b2}，且M=N,求a,b的值。集合A={x|ax2+2x+1=0,a∈R}，(1)假設A中只有一個元素，求a的值；(2)假設A中至多有一個元素，a四．集合的表示法：三種表示方法練習；用列舉法表示以下集合。方程 x2+y2=2d的解集為 ；x-y=0集合A={y|y=x2-1,|x|≤2,x∈Z}用列舉法表示為 ；B={

8 ∈Z|x∈N}用列舉法表示為 ；1x集合C={x|=|a|+|b|，a，b是非零實數(shù)}用列舉法表示為 ；a b用描述法表示以下集合。大于2的整數(shù)a的集合；1使函數(shù)y= 有意義的實數(shù)x的集合；〔3〕{1、22、32、42、…}用Venn圖法表示以下集合及他們之間的關(guān)系：〔1〕A={四邊形}，B={梯形}，C={平行四邊形}，D={菱形}，E={矩形},F={正方形}；〔2〕某班共30人，其中15人寵愛籃球，10人寵愛兵乓球，8人對這兩項運動都不寵愛，則寵愛籃球但不寵愛乒乓球的人數(shù)為 ，用Venn圖表示為： 。五．有關(guān)集合的分類：六．集合概念的綜合問題：練習1. 1t

，則t的值為 ；設集合A={y|y=x2+ax+1，x∈R},B={(x,y)|y=x2+ax+1,x∈R},試求當參數(shù)a=2時的集合A和B；集合A={x|ax2-3x+2=0,a∈R},求〔1〕假設集合A為空集，則a的取值范圍；〔2〕假設集合A中只有一個元素，求a的值，并寫出集合A；〔3〕假設集合A中至少有一個元素，則a課后作業(yè)：1.推斷以下各組對象能否組成集合：不等式3x20的整數(shù)解的全體；我班中身高較高的同學；直線y2x1上全部的點；101的奇數(shù)。2.用符號或填空：2〔1〕2 N 〔2〕 Q2

〔3〕0

0〔4〕b

〔5〕0 N*〔6〕2

3 xx 113 〔7〕3 xx

n21,nN* 〔8〕

1,1 〔9〕

1,1 x,y yx23.寫出以下集合中的元素〔并用列舉法表示〕：既是素數(shù)又是偶數(shù)的整數(shù)組成的集合大于10而小于20的合數(shù)組成的集合4.用適當?shù)姆椒ū硎荆骸?〕(x＋1)2＝0〔2〕方程組xy1的解集；xy0〔3〕3x－2y＋1＝0不等式2x－1≥0的解集；奇數(shù)集；被5除余1的自然數(shù)組成的集合。5.集合{1，a2a集合間的根本關(guān)系子集：一般地，兩個集合A和B，假設集合A中的任意一個元素都是集合B中的元素，我們就說這兩個集合有包含關(guān)系，稱集合A為集合B的子集，記做AB〔或BA〕,讀作“A包含于B”〔或“B包含A”〕。如右圖示。比方說，集合A={1、2、3}，集合B={1、2、3、4、5}，那么，集合A1、2、3都屬于集合B，所以，集合A為集合B的子集，記做AB〔BA〕。集合相等：假設集合AB且BA時，集合A中的元素與集合B中的元素是一樣的，因此，集合A與集合BA=BAB。A B〔或B A〕也可記作：AB〔或BA〕真子集：假設集合AA B〔或B A〕也可記作：AB〔或BA〕空集：我們把不含任何元素的集合叫做空集，記做，并規(guī)定：空集是任何非空集合的子集〔固然是真子集〕本節(jié)精講：一．集合間的包含與相等的問題:對于集合相等，我們要從以下三個方面入手：①假設集合AB且BA時，則A=B；反之，假設A=B，則集合AB且BA。這就給出了我們證明兩個集合相等的方法，即欲要證明A=BABBA②兩個集合相等，則所含元素完全一樣，與集合中元素的挨次無關(guān)。③要推斷兩個集合是否相等，對于元素較少的有限集合，可以用列舉法將元素列舉出來，看看兩個集合中的元素是否完全一樣；假設是無限集合，則因從“互為子集”兩個方面入手。例：A{x|xa}B{x|2x50}AB，求實數(shù)a的取值范圍.解：練習：1A{x|x2pxq0}B{x|x23x20}AB，求實數(shù)p、q所滿足的條件.2.假設{1,2}{x|x2bxc0}，則〔 〕.A.b3,c2 B.b3,c2C.b2,c3 D.b2,c33.集合P＝｛x|x2＋x－6＝0｝Q＝｛x|ax＋1＝0｝，QP，求a的取值組成的集合A。二．有關(guān)子集以及子集個數(shù)的問題：1：判定以下關(guān)系是否正確≠(1){a}{a} (2){1，2，3}＝{3，2，1} (3){0}≠(4)0∈{0} 〔5〕={0} 〔6〕∈{0}解 依據(jù)子集、真子集以及集合相等的概念知①②③④是正確的，后兩個都是錯誤的．說明：含元素0的集合非空．例2：列舉集合{1，2，3}的全部子集．分析：子集中分別含1，2，3三個元素中的0、1、2或者3個．解：含有0含有1個元素的子集有{1}，{2}，{3}；含有2個元素的子集有{1，2}，{1，3}，{2，3}；含有3個元素的子集有{1，2，3}．共有子集8個．例3：{a、b}A{a、b、c、d},則滿足條件集合A的個數(shù)為 ．分析：A中必含有元素a，b，又A是{a，b，c，d}子集，所以滿足條件的A有：{a，b}，{a，b，c}，{a，b，d}，{a、b、c、d}。解：3例4：設集合A＝{x|x＝5－4a＋a2，a∈R}，B＝{y|y＝4b2＋4b＋2，b∈R}，則以下關(guān)系式中正確的是。是。A．A＝BC．ABB．ABD．AB≠解：A例5：集合A＝{2，4，6，8，9}，B＝{1，2，3，5，8}，又知非空集合C是這樣一個集合：其2后，就變?yōu)锳2后，則變?yōu)锽的一個子集，求集合C．分析:逆向操作：A中元素減2得0，2，4，6，7，則C中元素必在其中；B中元素加2得3，4，5，7，10C中元素必在其中；所以C47．答:C＝{4}或{7}或{4，7}．練習：1{0}∈{0，1，2}②{0}③{0，1，≠2}{1，2，0}④0∈⑤1∈{x|x{1，2}}寫法正確的個數(shù)有A．1個 B.2個 C.3個 D.4個2．集合A={(x，

x

與B={(x，y)|y=x}的關(guān)系是A=BC．AB

B．AB≠D．AB≠3．滿足條件{0，1}M{0，1，2，3，4}的不同集合M是≠A．8個 B.7個 C.6個 D.5個4．設I={0，1，2，3，4，5}，A={0，1，3，5}，B={0},則:①0 A ②{0} B ③CIA CIB④1 CIB⑤ CIA⑥A B5．A={x|x=(2n＋1)π，n∈Z}，B={y|y=(4k±1)π，k∈Z}，那么A與B的關(guān)系為 ．6A={1,3，a},B={1,a2-a+1}AB，求a7．集合A={x∈R|x2＋3x＋3=0}，B={y∈B|y2－5y＋6=0}，APB，求滿足條件的集合P．≠8．集合A={x|x=a2＋1，a∈N}，B={x|x=b2－4b＋5，b∈N}，求證：A=B。課后作業(yè)：A以下命題：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④假設A，則A。其中正確的有〔 〕A、0個 B、1個 C、2個 D、3個(x3.設x,yR,A,y) y3x(x

(x,y) x2

x 2x5

x a1x2a1

BA，求實數(shù)a的取值范圍。集合A1,3,2m1,集合 B3m2B 設集合Ax1x3，Bx xa0，假設A是B的真子集，求實數(shù)a的取值范圍。用適當?shù)姆柼羁眨孩賏 ②0 2 0

2 1 0x x ③ xR x ④

N ⑤ 0 x x2

x ⑥

2,1 x x23x20推斷以下兩個集合之間的關(guān)系： ①A

,4,Bx x是8的約數(shù) ②Ax x3k,kN，Bx x6z,z **③Ax x20m,mN0 0

,Bx x是4與10的公倍數(shù) 設集合值。

Ax x2

4x

，Bx x2

2(a1)xa2

0 以下選項中的M與0 A、MxR x2

，Px x20R，R，B、M(x,y) yx22,xR，R，

P(x,y) xy22,y C、My y

x2

Px yR 11.試寫出滿足條件M的全部集合MD、My y11.試寫出滿足條件M的全部集合M

Px4k2,kZ13.x

12.寫出滿足條件0M12.寫出滿足條件0M的全部集合M

6x集合Aa,ab,aBa,ac,ac2 c, ，假設A=B，求 的值。15.集合A1ax2B

A B a16.設集合16.設集合,B2,a2a34BA，求a的值。

的實數(shù)

的取值范圍。B1.以下命題：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④假設 A，則A1.以下命題：①空集沒有子集；②任何集合至少有兩個子集；③空集是任何集合的真子集；④假設 A，A、0個 B、1個 C、2個 D、3個集合A,,，且A中至少含有一個奇數(shù)，則這樣的集合A有〔 〕A、13個 B、12個 C、11個 D、10個設集合Mx x

k

,kZ，Nx x

k

,kZ，則〔 〕 2 4 4 2 ****A、M=N4.集合AA、M=N4.集合AB、MNCMND、N M3x2,Bx2k1x2k1BAk的取值范圍是 集合Axax22xa0,aR,假設集合A有且僅有2個子集，則a的取值是〔 〕A、1 B、1 C、0，1 D、1，0，1a,bR

ab,a bb ba0, 0, a設 ，集合a

，則 〔 〕 A、1 B、1 C、2 D、2U.U,,,A則C A U9.集合A12,Bxx229.集合A12,Bxx22axb0BBA，求實數(shù)a,b的值。U

A 不等式組2x10的解集為A，UR，試求A及C A3x60 U,12.集合A2x5Bm1x2m1,BA，求實數(shù)m的取值范圍。xZ，求A的非空真子集的個數(shù)。集合的根本運算并集：一般地,由全部屬于集合A或?qū)儆诩螧的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集,記作A∪B,(讀作“A并B”).即A∪B={x|x∈A,或x∈B}。如圖1-3-1所示。A={4,5,6,8},B={3,5,7,8}A∪B.解:A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}UCUAA={x|-1<x<2},B={UCUA}∪{}∪{A交集：一般地,由屬于集合A且屬于集合B的全部元素組成的集合,稱為A與B的交集,記作A∩B,(讀作“ABA∩B={x|x∈A,x∈B1-3-2例如，設A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∩B.解:A∩B.={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}再比方說，華中學開運動會,設A={x|x是華中學高一年級參與百米賽跑的同學}B={x|xA∩B.解:A∩B={x|x是華中學高一年級既參與百米賽跑又參與跳高競賽的同學}.作U.

CA x x U x A記作 { | ,且 }對于一個集合記作 { | ,且 }簡稱為集合A的補集. ，如圖1-3-3所示。例如，設U={x|x是小于9的正整數(shù)},A={1,2,3}，B={3,4,5,6},求CuA,CuB解:依據(jù)題意可知,U={1,2,3,4,5,6,7,8},所以CuA={4,5,6,7,8}；CuB={1,2,7,8}.集合中，一些常用的運算性質(zhì)：(1) AAA;(2)A;(3)ABBA;(4)ABA,ABB;(5)AB則ABA;(6)AAA;(7)AA;(8)ABBA;(9)ACu(A)U;(10)(AB)CA(BC);(11)A(AB);(12)Cu(AB)(CuA)CuB;(13)Cu(AB)(CuA)CuB本節(jié)精講一．有關(guān)兩個集合的并集、交集的問題集合M＝{直線}，N＝{圓}，則M∩N的元素個數(shù)為( )個．( )A．0 B．1 C．2 D．不確定2．(2023·江西理，2)假設集合A＝{x||x|≤1，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，則A∩B＝( A．{x|－1≤x≤1} B．{x|x≥0} C．{x|0≤x≤1} D．?3．(09·山東文)集合A＝{0,2，a}，B＝{1，a2}．假設A∪B＝{0,1,2,4,16}，則a的值為( )A．0 B．1 C．2 D．44．(2023·福建文，1)假設集合A＝{x|1≤x≤3}，B＝{x|x>2}，則A∩B等于( A．{x|2<x≤3} B．{x|x≥1} C．{x|2≤x<3} D．{x|x>2}5．設集合A＝{x|－1≤x＜2}，B＝{x|x＜a}，假設A∩B≠?，則a的取值范圍是( A．a(chǎn)＜2 B．a(chǎn)＞－2 C．a(chǎn)＞－1 D．－1＜a≤26．(08·山東文)滿足M{a1，a2，a3，a4}，且M∩{a1，a2，a3}＝{a1，a2}的集合M的個數(shù)是( )A．1 B．2 C．3 D．4x－1 x－47．(09·全國Ⅱ理)設集合A＝{x|x>3}，B＝x <0 ，則A∩B＝( )x－4 A．? B．(3,4) C．(－2,1) D．(4，＋∞)8．設P、QP＋Q＝{x|x＝a＋b，a∈P，b∈Q}，假設P＝{0,1,2}，Q＝{－1,1,6}，則P＋Q中全部元素的和是( )A．9 B．8 C．27 D．269．集合A＝{x|x＝2k＋1，k∈N*}，B＝{x|x＝k＋3，k∈N}，則A∩B等于( )A．B B．A C．N D．R．當∈A時，假設－?，且＋?，則稱x為AA的全部孤立元素組成的集合稱為A＝的孤星集為M′∪N′＝()A．{0,1,3,4}二、填空題

B．{1,4} C．{1,3} D．{0,3}11．假設集合A＝{2,4，x}，B＝{2，x2}，且A∪B＝{2,4，x}，則x＝ ..13．(膠州三中2023～2023高一期末)設A＝{x|x2－px＋15＝0}，B＝{x|x2＋qx＋r＝0}且A∪B＝{2,3,5}，A∩B＝{3}，則p＝ ；q＝ ；r＝ 三、解答題14A＝{x|a≤x≤a＋3}，B＝{x|x＜－1或x＞5}A∩B＝，求a的取值范圍．A∪B＝B，a的取值范圍又如何？15M＝{