2023屆高考數(shù)學(xué)專項練習(xí)圓錐曲線大題含答案

2023屆高考數(shù)學(xué)專項練習(xí)圓錐曲線大題含答案

第一講、軌跡方程問題

一、直接翻譯法

直接法是將動點滿足的幾何條件或等量關(guān)系直接坐標(biāo)化，列出等式化簡即得動點軌跡方程，

步驟如下：

（1）設(shè)求點的軌跡方程為PQ,y）：

（2）由已知條件建立關(guān)于的方程；

（3）化簡整理。

例1（阿波羅尼斯圓）已知直角坐標(biāo)平面上點Q（2,0）和圓。：—+靖=1,動點“到圓C

的切線長與的比等于常數(shù)4（1>0）（如圖），求動點M的軌跡方程，說明它表

示什么曲線.

解:如右圖，設(shè)MN切于圓N,則動點M組成的集合P={M\\MN\^A\MQ\}-,

式中/1>0,因為圓的半徑|ON|=1,所以一QN「=一1

設(shè)點M的坐標(biāo)為（①,9），則y/x2+y2-l=A/Q—2y+/整理得

（小一1）（砂+始）—+（1+4矛）=0經(jīng)檢驗,坐標(biāo)適合這個方程的點M的點

都屬于這個集合。故這個方程為所求軌跡方程。

當(dāng)41時,方程化簡為片魯，他表示一條直線,該直線與。軸垂直且交于點信,0）;

當(dāng)以1時，方程化為（x-居T+.=/甘笑它表示圓，圓心（興口0）

\X—17xX—17

J1+3*

半徑為

M2-i|

例2設(shè)。為坐標(biāo)原點，動點M在橢圓C：今+娟=1上，過”做劣軸的垂線，垂足為N,

點P滿足而=y/2NM，求點P的軌跡方程；

解:設(shè)由題意可得NQ0,0）,設(shè)PQM，由點P滿足麗=方麗？可得；

（多一新,？）=J5（0,y）,可得;r-Zo=O,y=J^/o,即有處）=7,%=+代入方程

V2

2

專+才=1,可得/+才=2,軌跡為圓

二、定義法

分析動點的軌跡滿足某種曲線的定義，再求出該曲線的相關(guān)參量，從而得到軌跡方程.步驟

如下：

（1）畫圖尋找兒何關(guān)系

（2）根據(jù)曲線的定義寫出軌跡方程

例1已知動圓P過定點4(-3,0),且在定圓B：Q-3)2+靖=64的內(nèi)部與其相內(nèi)切，求

動圓圓心P的軌跡方程.

解:設(shè)動圓P和定圓B切于點M.動點P到定點A(-3,0)和定圓圓心B(3,0)距離

之和恰好等于定圓半徑，即|PA|+|PB|=|PM|+|PB|=|BM|=8/

點P的軌跡是以A,B為兩焦點，半長軸為4的橢圓，b==eA

.?.點P的軌跡是居+早=1V

例2設(shè)圓C與兩圓(/+通產(chǎn)+姬二久(c—遍)2+靖=4中的一個內(nèi)切，另一個外切.求

。的圓心軌跡心的方程.

解:兩圓半徑均為2,兩圓圓心”(—胡,0),尸2(禽,0);由題意得；

|C員HCEI=4=2aV歷用|=26=2c,可知圓心C的軌跡是以原點為中心，/

焦點在多軸上，且實軸為4,焦距為2底的雙曲線，所以a=2,c=%,/=—(j2=i

???軌跡L的方程為手一爐=1'

三、相關(guān)點法

據(jù)相關(guān)點所滿足的方程，通過轉(zhuǎn)換而求動點的軌跡方程，步驟如下：

(1)設(shè)求軌跡的點為P(c,y),相關(guān)點為QQ。,%);

(2)根據(jù)點的產(chǎn)生過程，找到(rr,y)與(xo,y0)的關(guān)系，并將布，站用/和y表示；

(3)將(缺,%)代入相關(guān)點的曲線，化簡即得所求軌跡方程。

例1如圖所示，已知P(4,0)是圓/+姬=36內(nèi)的一點，A、B是圓上兩動點，且滿足

=90°,求矩形APBQ的頂點Q的軌跡方程

解:設(shè)AB,PQ的中點均為凡設(shè)R的坐標(biāo)為(?期)，則在RtAABP中，|4?|=|PA|

又R是AB的中點，依垂徑定理:在Rt^OAR中，

|AR『=\AO^—|C>7?|2=36—(xi+y)2)

又|4R|=|PR|=7(^i—4)2+y,2,所以有(電一4y+y：=36—(式+譚)即：

?2+需_421-10=0?.?此點R在一個圓上，當(dāng)A在此圓上運動時，Q點即在所求

的軌跡上運動.設(shè)QQ,g),因為R是PQ中點，=空

代入方程對+譚一40-10=0得(號與部修)2_4?匹/-10=0

整理得：〃+必=56為所求Q的軌跡方程

四、參數(shù)法

求兩曲線的交點軌跡時.，山方程直接消去參數(shù)，或先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然后

消去參數(shù)來得到軌跡方程,也稱之交軌法

（1）引入?yún)?shù)；

（2）將求軌跡的點（。,妨用參數(shù)表示;

（3）消去參數(shù)；

（4）研究范圍。

例1設(shè)點4和B為拋物線靖=功力。>0）上原點以外的兩個動點，已知。4，03,

_L力氏求點M的軌跡方程，并說明它表示什么曲線？

解：［方法一］如圖，點A,B在拋物線城=4px上，設(shè)從警,以）歸償，物）,“（⑨切

4Ph_4p

OA.OB的斜率分別為%、k.：.k=VA=

OBOAV'A石也人訪

4P

由OA_L4B,得知4?k08=羊占二-1⑴依點力在AB上且譏=4p①,￡=4p的②

VAUB

①一②得此一*=（勿+珈）（以一枷）=4p（?-翊）易得kAB=

品BUB

直線4B方程（y—W）=泮>卜一條）⑵

y-OM_LAB,kOM-kAB=-\故k。腦=T="女中

W十UB一氣〃

直線O河方程?/=町薩/（3）設(shè)點M（x,yl則ey滿足（2）、（3）兩式，將（2）式兩

邊同

2.2

時乘以-哀,并利用⑶式，可得翳—拜?（—挈）+甯=七+等，

整理得巖蟾+電一（/+必）=0（4）

由（3）、（4）兩式得一右以珈一（"+才）=0

由⑴式知，切1yB=-16p2.12；2+娟_4卬；=0因為A、B是原點以外的兩點，所以x>0

所以M的軌跡是以（2p,0）為圓心，以2P為半徑的圓，去掉坐標(biāo)原點.

［底二］

設(shè)A(xl,yl),B(x2,y2),M(x,y)(x^=0),直線AB的方程為x=my+a

由0河_1_43,得力=-豈

X

由靖=4px及1=my+a,消去的得才—4Pmy—4pa=0

（y

所以%為=-4pa,Xix2=（,壽=Q2

所以，由OA±OB,得xIx-2=一％為

所以/=4pa=>Q=4p

故x=my+4p,用m=代入，x=~~~,g+4P等式兩邊同時乘以力

得x2+y2-4px=0（xW0）

故動點M的軌跡方程為x2+y2—4px=0（xW0）,它表示以（2p,0）為圓心,以2P為半徑

的圓，去掉坐標(biāo)原點。

第二講、弦長和面積問題

方法一:圓錐曲線中的面積問題經(jīng)常會涉及到弦長公式和點到直線的距離公式.

弦長公式：

(1)若直線AB的方程設(shè)為y=kx+771，4如%),6(t2,%)，則

22

\AB\=Vl+fc*\X1—X2\=+12?J(/I++2)2—4C?2=V1+fc*

⑵若直線AB的方程設(shè)為x=my+九4m%),6(力2,%),,則

\AB\=Vl+m2*|弘-%|=+m??J(%+%)2_4yly?=+

\a\

注：其中a指的是將直線的方程代入圓錐曲線方程后，化簡得出的關(guān)于/或y的一元二

次方程的平方項系數(shù),△指的是該方程的判別式.通常用\AB\=Vl+ie-^-或

|AB|=47萬3衿計算弦長較為簡便

點到直線距離公式：砌;:。.

VA2+B2

此時$=十出48|.

方法二：(割補法)如圖，當(dāng)已知直線與坐標(biāo)軸的交點時，也可用S^OB=j-\OM\'\y}-y.,\求其

面積.

例1已知橢圓C:三+若=l(a>b>0)的短軸長等于2』,右焦點F距C最遠距離為

3。

(1)求橢圓C的方程；

(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點,過F的直線與C交于A、B兩點(A、B不在x軸上)，若。聲=

+G百，求四邊形AOBE面積S的最大值.

解：(1)由已知得〃=3?+。=3?2=/+。2.?.所求橢圓C的方程為竽+亨=1

⑵設(shè)1:%=%+1則由，與C的方程消x得：(3j+4)靖+6切一9=0設(shè)A(xi、y)、

%+%=3產(chǎn)+4

BQ?、%）_g-：AOBE為平行四邊形，

麗后I

?*-S=2sAAOB=E—為I=1令Vt2+1-m^l得S=~

由雙勾函數(shù)的單調(diào)性易得當(dāng)m—1即t=0時，Smax=3

例2（割補法）如圖，已知點P是n軸左側(cè)（不含9軸）一點，拋物線C：娟=4x上存在不

同的兩點A,B滿足PA,的中點均在。上.

⑴設(shè)中點為M,證明：PM垂直于y軸；

⑵若P是半橢圓/+牛=l（x<0）上的動點，求AR4B面積的取值范圍.

解：⑴【證明】設(shè)P（%％）,A（+端,%）,B（卷狀,%）.因為PA,PB的中點均在拋物線C

上，

所以如％為方程（"抖y=4?？^,即婿-2%夕+8?一喏=0的兩個不同的實

數(shù)根,所以%+為=2%（韋達定理）.（證明垂直轉(zhuǎn)化為證yP=yM相等）

因此，PM垂直于y軸.

⑵【解】由（1）可知,修+%：2%,

1%%=8?）一需，

%河=21+/2=+（嫣+/）（代靖=4。）

\PM\=XM-X[],

所以\PM\=-^（yl+必）-x0=弓需一3%-y2\=272（端一4四））.

=

因此，S^PAB=?1%—y2\3s（y：—4詞?.因為P是半橢圓/+勺=1（力VO）

上的動點故就+與~=1，—l&RoVO,

所以端—4g=-4曷—4g+4=—4（g++5G[4,5].

因此APAB的面積的取值范圍是卜芯件

第三講、定點問題

這類問題解題一般有兩種解法：

【法1】設(shè)直線，求解參數(shù),一般的解題步驟為：

（1）設(shè)出直線的方程夕=/02+b或7=+

（2）通過題干所給的已知條件進行運算,找到k和和t的關(guān)系，或者解出b,t的值；

根據(jù)（2）中得出的結(jié)果,找出直線過的定點。

【法2】求兩點，猜定點,證向量共線。一般的解題步驟為：

通過題干條件，求出直線上的兩個點的坐標(biāo)（含參）：

（2）取兩個具體的參數(shù)值，求出對應(yīng)的直線AR,并求交點P,該點即為直線過的定點；

（3）證明戶才與兩共線，得出直線43過定點P。

注:上面的兩個解法中，解法2的計算量通常要大一些，故一般首選解法1.當(dāng)解法1失效

或處理起來較為復(fù)雜時再考慮解法2.

重要結(jié)論：

⑴（垂直弦過定點模型）過橢圓，+護=1上的定點P做相互垂直的直線交圓錐曲線于

AB,則43必過定點的

（2）（限制條件型）乂要給--個限定與條件（如以「,麗尸=定值，以尸+A；BP=定值（定

值不為0）,同?兩=0）,則直線AB過定點；特別地，若kAP+kBP=0,則直線斜率恒定。

反之亦然。

（3）（垂直弦中點弦過定點模型）過橢圓5+告=1內(nèi)的任意一點Q（s,。（千+￡V1）

作兩條互相垂直的弦AB,CD。若弦,CD的中點分別為河，N,那么直線MN恒過

士占/a2sb2t\

足八〈訴鏟修同。

例1（限制條件型）已知橢圓C：￡+￡=l（a>b>0）,四點E（l,l）,烏（0,1）,

R=（一1，空），R=（1，空）中恰有三點在橢圓。上.

⑴求。的方程；

（2）設(shè)直線I不經(jīng)過P2點且與。相交于A,B兩點.若直線P2A與直線P2B的斜率的和為

一1,證明：/過定點.

解：⑴橢圓的對稱性，鳥（-1,空）,R（l,乎）兩點必在橢圓C上,又R的橫坐標(biāo)為1,

橢圓必不過.?.烏（0,1）,8（-1,空空）三點在橢圓c上。

把￡（0,1）,8（—1,率）代入橢圓C,得：

萬2-1

,.，解得a2=4,〃=l,

±±

Ia2+b2=1

???橢圓C的方程為告+阿=1.

⑵證明：⑴當(dāng)斜率不存在時，設(shè)l:x=mtA(mfyA)tB(m9

?/直線PiA與直線P.B的斜率的和為-1,.?"取+如N=普1+—鷺1=M=T

解得m=2,此時I過橢圓右頂點，不存在兩個交點，故不滿足。

~2c,

ar+4K—4=0

整理，得(1+妖?)/+8kbc+4/-4=0,+。2=丁普興巡2=半匕房"，

1+4k'1+4k-

y

則kP.iA+kpiN-+'-^-,yt-kxi+b,y.2-kx-2+b

_x-2(kx\+b)-X2+x>(kx-2+b)—Xi_2kxix-i+6(x1+x-2)—{x\+x-2)_1

X1X2X}X-2

=(2k+l)a；iX2+(6—1)(xi+x2)—0,(2k++(b—1)1[得*=0

8kb2—8k+4/—4—8kb2+8kb=8k(b-])+4(b+1)(6-1)=4?(2k+b+1)(6—1)

1+4fc2_1+4fc2―1+4—2

又b盧1b=-2k-1,此時△=-64fc,存在總使得△>0成立

二直線，的方程為y=kc-2k-l當(dāng)c=2時，y=-l；」過定點(2,-1)

例2(垂直弦過定點模型)橢圓C：5+￡=l(a>b>0)的離心率為十，其左焦點到點

P(2,l)的距離為何

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)若直線Z:y=for+m與橢圓C相交于A3兩點(4B不是左右頂點)，且以為直

徑的圓過橢圓C的右頂點。求證:直線I過定點，并求出該定點的坐標(biāo)

解：(1),設(shè)左焦點E(-c,0),|PE|=V(-c-2)2+(o-l)2=VTo,解得c=1,

e=￡='=-y,a—2,由b~—a2—c2—3,橢圓方程為專+號—1.

(2)由⑴可知橢圓右頂點0(2,0),設(shè)A(如4),83,%),以AB為直徑的圓過D

(2,0),

/.DA±DB(AB為直徑圓的性質(zhì)Rt^ABD)DA±DB,：.DA-DB=0,

?：DA={x\-2,y^,DB—(x2-2,陰)，

/.DA?DB—Qi—2)(a；2—2)+%為=—2(zi+工2)+4+yxy.,—0(1)

聯(lián)立直線與橢圓方程:2>整理得(3+4k2)x2+8mkx+4(m2—3)=0

.,_8mk4(m2—3)

.?22—陪w皿政=4”+§,

%%=&⑻+m)(far2+m)=k2xiX2+mk{x\+X2)+rnr,

4啟(芯-3)8m卜?ink+-=嘴答'代入到

止+34妒+3

4m238mk

DA-DB=(-)+2.+4+3那一12k2

2=0,

4奴+3+'4fc+34k2+3

,—+16*/喘+12+3病-⑵丁。,.,W+16mfc+4fc2.0,即

(7m+2k)(m+2fc)=0,

：.m=—或zn=-2k,當(dāng)zn=—■尹c時,1:g=kr——=k{x—告),；.Z恒過信,0)

當(dāng)?n二一2人時,，：沙二人/一2卜=k3—2),???/恒過(2,0),但(2,0)為橢圓右頂點，不

符題意，故舍去，.?」恒過信,0).

....................................例3(垂直弦中點弦過定點模型)己知橢圓。:

=l(a>b>0)經(jīng)過點,且橢圓的禺心率為e=4

(1)求橢圓的方程

(2)過橢圓的右焦點尸作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于4c和B,。，設(shè)線段

AC,BD的中點分別為P,Q,求證:直線PQ恒過一個定點

解：(1)由e=￡=/，得今=+，即a』4c2—4(a2—b2),即3a2-4b2,由橢圓過點

知，/+^=1聯(lián)立得：浸=4,〃=3橢圓方程：號+號=1

(2)橢圓右焦點F(l,0)證明過定點：

①當(dāng)直線AC的斜率不存在時，AC：①=1,則3。：9=0.由橢圓的通徑得P(l,0)

又Q(0,0),此時直線P。恒過y=0的所有點；

②當(dāng)直線AC的斜率存在時，設(shè)AC：y=可①一1)(kW0)則BD-.y-1)

rC

又設(shè)點4%%),。(@例).聯(lián)立方程組

+4g=12

消去少并化簡得:(4fc2+3)x2—8k2x+4fc2-12=0,

所以力i+g=4k2+3，%+例=k(=+g—2)=fc.

(蓋一2)=一號-P(1，-春)由題知，直線BD的斜率為一看同理

可得點Q(春，卷/

3k+3卜

1_4+3必十4/+3_7k吉紳pc"護3fc_7k/4\

24至二——"序二1)，直線尸(方程:

4+3k24k2+3

即4gR2+(7x—4)fc-4y=0Ay(k2—1)4-fc(7x-4)=0

令4y=0,7L4=0,-4J/=0,解得c==0.故直線PQ恒過一個定點信,0);

直線AC的斜率不存在時,PQ恒過y=0的所有點，亦過定點(右,0);

綜上可知，直線PQ恒過一個定點(告,0)

例4(動圓過定點)如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，離心率為挈的橢圓。：，+護=

l(a>6>0)的左頂點為4過原點O的直線(與坐標(biāo)軸不重合)與橢圓。交于P,Q兩

點，直線PA,QA分別與y軸交于M,N兩點,當(dāng)直線PQ的斜率為挈時，|PQ|=273

(1)求橢圓。的標(biāo)準(zhǔn)方程

(2)試問以MN為直徑的圓是否過定點(與PQ的斜率無關(guān))？請證明你的結(jié)論

解：⑴設(shè)P(如察多。)，?.?直線PQ斜率為察時，PQ=26,

OP=Xo+(^-XO)2=3,

2

/.xfl=2,(^-rc0)=1,

.?.C的標(biāo)準(zhǔn)方程為宇+等=L

e=域=逐清=挈，化為=2/.

,a2=2b2

聯(lián)立(2,1

［藍+至=1

.?.a2=4,/=2.

⑵［方法一］以MN為直徑的圓過定點F(+V2.0).下面給出證明：

設(shè)PQo,%),則Q(—Xo,—Vo),且號+要=1,即Xo+2yg=4,VA(—2,0),

二直線P4方程為：3/=/5(t+2),身勺)，

直線QA方程為：y=+2),要y),

以MN為直徑的圓為3—0)位-0)+(,一二端)(?一不甥)=°，

(圓的直徑式：AfQi加,//(附例)圓的方程：Q—?)3—力2)+(g—%)(g—%)=0

j即證：設(shè)圓上異于M,N兩點的一點PAtAPMN屏M?際W=竺二五?支二選=—1

即"+y2~要4"+點了=0,鬲-4=一2需，

..."+娟+券y—2=0(要使得與PQ斜率無關(guān)等價于與如為無關(guān)即y=0)

令片0,/+必_2=0,解得x^+V2,：.以MN為直徑的圓過定點尸(±2,0).

［方法二］設(shè)P(g％),則Q(—xo,—%)，4-2,0),直線P4方程為：y=2Q+2)與C

聯(lián)立：x2+2k2(x+2)2=4,整理得：(2k2+l)x2+8k2x+8k2—4—0

xAxo=.+j解得：Xo=2^,2^>代入y=+2)

得：%=從全普+2)=2J+1

"P(2^41,2^+1)從而M-會2)3),4—2,0)，的Q=一壺

AQ:y=-&Q+2),因為MN是AP,AQ與夕軸的交點，:.M(0,2k),N(0,一番)

以MN為直徑的圓的圓心為(0,羯?，半徑7=|氣產(chǎn)|

圓的方程為：/+(9_喙ip：(當(dāng)抖y整理可得：/+92_岑—沙=2

令夕=0,解得2=土血

第四講、定值問題

1.常見定值問題的處理方法：

(1)確定一個(或兩個)變量為核心變量，其余量均利用條件用核心變量進行表示

(2)將所求表達式用核心變量進行表示(有的甚至就是核心變量)，然后進行化簡，看能否得

到一個常數(shù)。

2.定值問題的處理技巧：

(1)對于較為復(fù)雜的問題，可先采用特殊位置(例如斜率不存在的直線等)求出定值,進而給

后面一般情況的處理提供一個方向。

(2)在運算過程中，盡量減少所求表達式中變量的個數(shù)，以便于向定值靠攏

(3)巧妙利用變量間的關(guān)系，例如點的坐標(biāo)符合曲線方程等，盡量做到整體代入，簡化運算

例1己知雙曲線的中心在原點，對稱軸為坐標(biāo)軸，一條漸近線方程為^=今妨右焦點，雙

曲線的實軸為44,P為雙曲線上一點(不同于4,4)，直線4P,4P分別與直線

=■1?交于M,N兩點

(1)求雙曲線的方程

(2)試判斷麗？?前是否為定值，若為定值，求出該值;若不為定值，請說明理由

解：(1)右焦點尸(5,0)在立軸上，求漸近方程和一車'=0,y=±g;r,a=3,b=4

雙曲線方程為：等一條=1;

［方法一］(2)

4(—3,0),4(3,0)/(5,0)設(shè)。3"),河償,％)AAP=(rc+3,y),AM=(^-,%)

河三點共線/.Q+3)%—等沙=0(兩向量對應(yīng)比值相等).?.%=看氣

???河信，告)，同理"償，-各)且尸(5，。)

??歷=(T貴)網(wǎng)=甘二用)

詢?前=贊一靖?.?^7r=筆,.?.總上所述詢?前=0

2525x--9x-99

［方法二］(2)由⑴可得：4(一3,0),4(3,0),設(shè)PQo,%)

設(shè)AP：?=瓦3+3),聯(lián)立方程%=旦解得:M(5,等瓦)

y—k］(4—3)、

x=9,可得:N(?,-聾的)

??國=(-畏明加(-黑-{斡

.?.西?網(wǎng)=鎏■一罟齡下面考慮計算ktk2的值：ki=~rbr，k2=4r

ZDZDX()~T~OX()O

k}k-2=**,PQo,%)在雙曲線上詈—條=1=>T/Q=1半?！?6=普(曷-9)

辦也=工=華

出一9y

-向江.向^=義^__?堊=o

25259U

所以兩?麗為定值

例2己知橢圓+=l(a>&>0)的離心率為,且過點(A/5,)

(1)求橢圓方程

(2)設(shè)不過原點。的直線，：夕=m+小依00),與該橢圓交于/?,。兩點，直線0「,(：^的

斜率依次為禽，后,且滿足4k=禽十%,試問：當(dāng)k變化時，/是否為定值？若是，求出此定

值，并證明你的結(jié)論;若不是，請說明理由

(V2Y

(@2,121

9I1"91

a-b-

解：(1)依題意可得?解得Q=2,b=1

c_

~a~~~T

Q2=〃+C'2

...橢圓c的方程是宇+婿=1

(2)當(dāng)k變化時，m2為定值，證明如下：

y=kx+m

222

由(x2)]得,(1+4fc)x+8kmT4-4(m—1)=0

設(shè)P(H1,%),QQ2,%).則為+。2=-普赤⑴,人g=4,"?⑵

???直線OP、OQ的斜率依次為khk2,且4k=比+后,

...4A=黑+黑=越及乎.+，電廣成,得2k3；任2=m(xi+X2)(3),

8fem

2fc=m-客+1,整理可得：2k=-，弘m[=*_i_2

47?r—4477r—4=m

4依+1

病=4,經(jīng)檢驗滿足4>0,可知m2為定值，與k的取值無關(guān)

例3已知橢圓。：，■+方=l(a>b>0)的離心率為■1?，半焦距為c(c>0),且a—c=

1,經(jīng)過橢圓的左焦點F,斜率為fci(fci豐0)的直線與橢圓交于AB兩點，O為坐標(biāo)原點

(1)求橢圓C的方程

(2)當(dāng)口=1時，求SAME的值

⑶設(shè)滅(1,0),延長分別與橢圓交于C,。兩點，直線CD的斜率為口，求證：備為

定值

上二2ro

解：(1)由題意，得4a—3解得一.../=a2—。2=5

a—c=11c=2

故橢圓。的方程為號+'=1

(〃)由(1),知F(—2,0),直線AB的方程為y=x+2,

y=x-\-2

由<X2,y2消去g并整理，得14/2+36力—9=0.

〔Q+ET

、1QQ

設(shè)4(。1,%),8(。2,%)，貝U。1+±2=-"-^-,X}X'2=~~

/.\AB\=V2|xi-3；2|

=2?J（力1+處）2—4為政

=30

一7

設(shè)O點到直線AB的距離為d,則dJ。孩21=瓜,

S^AOB—-d

=^x^-xV2

W2

=~~T~

(/〃)設(shè)C(g,%),D(3；4,3)，故直線AR的方程為夕=五甥Q—l),

即a;=——-y+1.

%

5f42+X\—l

消去工并整理，得yi/—4=0.

y（%

x=ky+l

簡便計算：令三『I聯(lián)立：(5肥+9)"+io物-40=0(蝴蝶定理)

色二ly=k代入得：5加-10'廣5+%2+10?⑶-1）-40=0,將9螳=45-5戶代

y、V\y、

入殂5xi2-10X1+54-45-5xi210-（a7]-l）5-Xi,^-1

入得:--------3----------y2+一1-------40=0=『式2+—y-4A=0n.}x

則%為=-碧p???,產(chǎn)0,二%=居"

Xi-1IIXi-14%5T1-9

x3=-----伙+1=-----------+1=......—

Vi%yxi-5CL5

???。(―)?同理段令含)

4%4%

力1—5g—5

56i-9_5政一9

電-562—5

4%（g—5）—4%（4-5）=4%（色一5）—4mg-5）

（5力1—9）（以-5）—（5政一9）（為-5）16（62-電）

丁Vi=kiQi+2）,%=總（政+2）

._4均（?+2）（十一5）—4ki（c2+2）（為-5）_7k/g—?）_7kl

16（x2—xi）4（①2—￡1）4

?重T為定值

例4已知點P(l,—在橢圓C:言■+*?=l(a>b>0)上，

橢圓。的左焦點為(一1,0)

(1)求橢圓C的方程

(2)直線，過點T(m,0)(zn>0)交橢圓。于河,N兩點，力3是

橢圓。經(jīng)過原點。的弦，且MN〃人B,問是否存在正數(shù)次,使得

淺為定值？若存在，請求出TH的值;若不存在,請說明理由。

\MN\

解：(1)橢圓C的左焦點為(1,0),??.c=l,橢圓C的右焦點為

(—1,0)可得2a=J(1+I)2+(-■+^(1—I)2+(—=,+9=4解得a=2,

Afe2=a2—c2=4—1=3,

橢圓c的標(biāo)準(zhǔn)方程為《+￥=1

4o

=1

⑵設(shè)直線l:g=kQ-rn),且V(匹如小3,物),由444

y=k(x—m)

8k2m4k2病—12

得(3+4k2)x2—Sk2mx+4fc2m2—12=0,g+°2=,CQ2=

4fc23+4A:2

+k2?J16](12-3病)肥+9]=112

A\MN\=由4得x2=

3+4fc23+4興

、y=k%

48(1+肥)

設(shè)4①3,%)出(力4,為)得\AB\=V1+fc2|a；3—x\得|AB|2=

43+4妒

2

IW_4.1+k

w16?[(12—3m2)奴+9]

而64fc4m2—16(3+4fc2)(fc2m2-3)=16[(12—3m2)fc2+9]

/.當(dāng)12-3/=9即恒=1時=4為定值，當(dāng)k不存在時，定值也為4,

.\m=l

例5如圖，已知橢圓C:￡+V=l(a>b>0)的離心率為挈，以橢圓。的左頂點T

為圓心作圓T-.(x+2)2+y2=r\r>0),設(shè)圓T與橢圓C交于點M,N

(1)求橢圓。的方程；

(2)求麗?前的最小值，并求此時圓T的方程

(3)設(shè)點P是橢圓C上異于M,N的任意一點，且直線MP,NP分別與N軸交于點R,S,O

為坐標(biāo)原點,求證：|OR|?|OS|為定值.

解：⑴根據(jù)題目可得，a=2,因為e=^=坐，所以c=心,

2

又因為b2^a2-c2,所以b=l,綜上所述，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為*+必=1

⑵由題可知，點河與點N關(guān)于7軸對稱，設(shè)MQi,%),N(如一%),不妨設(shè)以>0

2

由于點M在橢圓C上，所以癰=1一等，已知了（一2,0）,則加=（為+2,%）,

TN-（xi+2,-yJ,TM-TN-（?+2,%）?（a;i+2,-y,）=（@+2）2—誦

=（勾+2）2—（1-詈）=,居+421+3=,（01+春）2—春

由于一2〈為V2,故當(dāng)x,=-4時，%=卷兩?前取得最小值為一春

OOO

又因為點“在圓T上，代入圓的方程得到產(chǎn)=果，

綜上所述，TM?TN取得的最小值為一~此時圓T方程為（x+2）2+y2=4y-

OZJ

⑶設(shè)PQo,佻），則直線MP的方程為n-y尸件［耿）,

.9992

人八陽”1%—6。功F=1HFFI”以）+曲%#匚1、1g2y02—而2%2

令片0'得郵=下1'同理3=^^T，所以磔.綺=噓一搞’

又因為點M和點P均在橢圓上，所以諼2=4（1—湍），就2=4（1—誦）,

介入——俎小小一4（1—?片2）*2—4（1—n；2）n：2_4（喏2_"：2）_A

4弋入XR。XS>得Xft'Xs—2-Z~2-2"Z~~~2—4,

%2—V12%2-Vi2

\OR\'\OS\=I翊I?肉|二m，綜上所述，QR|?\OS\為定值4

第五講、切線問題

求曲線上一點的切線方程：

⑴過橢圓E:-=2py(p>0)上1點E:a?=2py(p>0)作切線，則切線方程為：E:a?=

2py(p>0)

證明：(此步驟必須牢記，在大題中要體現(xiàn))設(shè)過E：a：2=2py(p>0)的切線方程為：？一%=

k(x-xo)J橢園方程聯(lián)立，利用E:x2=2py(p>0)求斜：；"k

⑵過拋物線E：/=2py(p>0)上一點、E：土』2py(p>0)作切線，則切線方程為：E：x2—

2py(p>0)

證明：(此步驟必須牢記，在大題中要體現(xiàn))設(shè)過E：a=2=2p3(p>0)的切線方程為：=

k(x—Xo)?1J拋物線方程聯(lián)v.,利用E-.x2-2py(p>0)

若為開口向上或開口向下的拋物線，求導(dǎo)，代點，求出切線的斜率,利用點斜式求出切線的方

程。

曲線外一點的切點弦方程

⑴過橢圓E：E2=2py(p>0)外一,點E:X2=2py(p>0)作橢圓的兩條切線，則兩切點連線方

fi-為：E:/=2py(p>0)

證明：(此步驟必須牢記，在大題中要體現(xiàn))設(shè)兩切點為4辦％)、用如%)，

則切線R4：*+甥■=1；

arbz

同理切線PB：爺+噌?=：!：

ab~

點P在兩切線」.，則有：平+警=11，平+喀=1②,

arb-orbl

構(gòu)造直線I：E:x2=2py(p>0),

則由①②可知點46均在直線”；

即了[線AB的方程為E：工2=2py[p>0)

E:/=2pg(p>0)外?點E:/=2的3>0)作拋物線的兩條切線，則兩切點連線方程

為：E:X2=2py[p>0)

證明同上。

例1(與圓有關(guān)的切線問題)如圖，在平面直角坐標(biāo)系①。？中，橢圓。過點(6，十)，焦點

E(-V3,0),^(V3,0)，圓O的直徑為尸囪。

(1)求橢圓。及圓。的方程；

(2)設(shè)直線/與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P

⑴設(shè)直線I與橢圓C有且只有一個公共點，求點P的坐標(biāo)；

⑻直線，與橢圓。交于43兩點.若^OAB的面積為呼，求直線I的方程。

解：⑴???焦點FI（-V3,0）,F2（V3,0）.\C=V3

???烏+==1，又因為。2—萬=。2=3,解得：a=2,b=l

arb

，橢圓。:號+才=1,圓O的方程：/+娟=3

（2）（1）由題意可知直線I與圓O相切，也與橢圓C相切，

且切點在第一象限因此k—定小于0可設(shè)直線I的方程為y=kx+m,（k<0,m>0）

2

由圓心（0,0）到直線I的距離等于圓半徑V3,可得力近=3（距離公式），

JL十片

即m'2=3+3k2；由kx+m可得（如之+1）d+gkmrr+4m2―4=0

△=(8km)2-4(4fc2+l)(4m2-4)=0

可得m2=4k2+1/.3k2+3=4k2+1

結(jié)合kV0,772>0,解得fc=—V2,m=3

22_o

可得x2-2y/2x+2=0

{y=kx+m

解得c==l故點P的坐標(biāo)為(2,1)

(法二)設(shè)直線與圓的切點PQo,%),則滿足加+必=3,故直線/的方程為:

聯(lián)立：（43+蕭）①之—24/。力+36-4肅=o?.?/與橢圓只有一個交點，.?.△二0

即△=（一24gy一4（460+%2）（36-4蕭）=48請（加-2）

因為點尸位于第一象限，即力0>0,例>0,故/0=血,%=1故點P的坐標(biāo)為（2,1）

⑵設(shè)4如9］）,83,％）聯(lián)立直線與橢圓方程得（4/c2+l）x2+8kmx+4m2—4=0

fc<0,m>0

結(jié)合(1),由<m2=3+3fc2k<—V2Xx\-\-X2=--［譽。4軍丁彳

4k+14k+1

.△>0___________

所以|g_閡=J(?+<)2_4宓皿=皿］?J［

O到直線l的距離d=的B|=VT用的—閡=4/4號*產(chǎn).47/

VI+k4fc2+1

△OAB的面積為S=4x*4攵*.VT7Px7嗎.

2