2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn) 專題訓(xùn)練-平行四邊形的判定

2023年中考九年級(jí)數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)專題訓(xùn)練--平行四邊形的判定一、綜合題1．如圖，在□ABCD中，點(diǎn)E、F在對(duì)角線BD上，且BE＝DF.（1）求證：AE＝CF；（2）求證：四邊形AECF是平行四邊形．2．如圖，E、F是平行四邊形ABCD對(duì)角線AC上兩點(diǎn)，且AE=CF．（1）求證：四邊形BFDE是平行四邊形．（2）如果把條件AE=CF改為BE⊥AC，DF⊥AC，試問(wèn)四邊形BFDE是平行四邊形嗎？為什么？（3）如果把條件AE=CF改為BE=DF，試問(wèn)四邊形BFDE還是平行四邊形嗎？為什么？3．如圖，平行四邊形ABCD中，AB=8cm，BC=12cm，∠B=60°，G是CD的中點(diǎn)，E是邊AD上的動(dòng)點(diǎn)，EG的延長(zhǎng)線與BC的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，連接CE，DF.（1）求證：四邊形CEDF是平行四邊形；（2）①AE=cm時(shí)，四邊形CEDF是矩形，請(qǐng)寫出判定矩形的依據(jù)（一條即可）；②AE=cm時(shí)，四邊形CEDF是菱形，請(qǐng)寫出判定菱形的依據(jù)（一條即可）.4．如圖，四邊形ABCD中，AD∥BC，AE⊥AD交BD于點(diǎn)E，CF⊥BC交BD于點(diǎn)F，且AE=CF.（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形.（2）若∠BAE=∠BDC,AE=3，BD=9，AB=4，求四邊形ABCD的周長(zhǎng).5．如圖，直線y=?2x+10與x軸交于點(diǎn)A，點(diǎn)B是該直線上一點(diǎn)，滿足OB=OA.（1）求點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）若點(diǎn)C是直線上另外一點(diǎn)，滿足AB=BC，且四邊形OBCD是平行四邊形，試畫出符合要求的大致圖形，并求出點(diǎn)D的坐標(biāo).6．如圖，在?ABCD中，點(diǎn)O是邊BC的中點(diǎn)，連接DO并延長(zhǎng)，交AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，連接BD，EC．（1）求證：四邊形BECD是平行四邊形；（2）若∠A=50°，則當(dāng)∠BOD=°時(shí)，四邊形BECD是矩形．7．如圖，在△AFC中，∠FAC=45°，F(xiàn)E⊥AC于點(diǎn)E，在EF上取一點(diǎn)B，連接AB、BC，使得AB=FC，過(guò)點(diǎn)A作AD⊥AF，且AD=BC，連接CD。（1）如圖1，求證：四邊形ABCD是平行四邊形；（2）如圖2，若AB平分∠FAC，延長(zhǎng)FE交CD于點(diǎn)H，請(qǐng)直接寫出與∠ABE相等的角。8．已知：如圖所示，在?ABCD中，DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線，交AB、CD于點(diǎn)E、F，連接BD、EF.（1）求證：BD、EF互相平分；（2）若∠A=60°，AE=2EB，AD=4，求線段BD的長(zhǎng).9．如圖，?ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AD上，BE=DF，連結(jié)AE，CF。（1）求證：四邊形AECF是平行四邊形；（2）若四邊形AECF為菱形，∠AFC=120°，BE=CE=4，求?ABCD的面積。10．在證明定理“三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半”時(shí)，小明給出如下部分證明過(guò)程．已知：在△ABC中，D、E分別是邊AB、AC的中點(diǎn)．求證：．證明：如圖，延長(zhǎng)DE到點(diǎn)F，使EF＝DE，連接CF，（1）補(bǔ)全求證；（2）請(qǐng)根據(jù)添加的輔助線，寫出完整的證明過(guò)程．11．如圖，在鈍角ΔABC中，AB=AC，以AC為直徑作圓O，交BC于點(diǎn)D，連結(jié)DO并延長(zhǎng)，交⊙O于點(diǎn)E，連結(jié)AE.（1）求證：四邊形AEDB是平行四邊形。（2）延長(zhǎng)線段BA交⊙O于點(diǎn)F，連結(jié)CF交線段AE于點(diǎn)G，若AG=35GE，AF=612．如圖，在ΔABC中，AB=AC，若將ΔABC繞點(diǎn)C順時(shí)針180o得到ΔFEC。（1）試猜想AE與BF有何關(guān)系，并說(shuō)明理由；（2）若ΔABC的面積為3cm2，求四邊形ABFE的面積；（3）當(dāng)∠ACB為多少度時(shí)，四邊形ABFE為矩形？說(shuō)明理由。13．如圖，在△ABC中，∠BAC的角平分線交BC于點(diǎn)D，DE∥AB．（1）在AB上求作一點(diǎn)F，使得DF∥AC；（請(qǐng)保留尺規(guī)作圖痕跡，不寫作法）（2）四邊形AFDE是菱形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．14．如圖，四邊形ABCD是矩形，點(diǎn)E在CD邊上，點(diǎn)F在DC延長(zhǎng)線上，AE＝BF.（1）求證：四邊形ABFE是平行四邊形；（2）若∠BEF＝∠DAE，AE＝3，BE＝4，求EF的長(zhǎng).15．如圖，直線CF與⊙O交于點(diǎn)D，E，點(diǎn)A，B在⊙O上，且AB=（1）求證：四邊形ABCD是平行四邊形．（2）若CF＝22，∠C＝45°，sin∠F＝516．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別是AC，AB的中點(diǎn)，點(diǎn)F是CB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且CF=3BF，連接DB，EF．若∠ACB=90°，AC=12cm，DE=4cm，（1）求證：DE=BF；（2）求四邊形DEFB的周長(zhǎng)．

答案解析部分1．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AB=CD，AB∥CD．∴∠ABE=∠CDF．在△ABE和△CDF中，AB=CD∠ABE=∠CDFBE=DF，∴AE=CF.（2）證明：由（1）得△ABE≌△DCF，∴∠AEB=∠CFD，∴∠AEF=∠CFE，∴AE∥CF，∵AE=CF，∴四邊形AECF是平行四邊形.2．【答案】（1）證明：【證明一】∵ABCD是平行四邊形，∴AB=CD且AB∥CD（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等），∴∠BAE=∠DCF，又∵AE=CF，∴△BAE≌△DCF（SAS），∴BE=DF，∠AEB=∠CFD，∴∠BEF=180°-∠AEB，∠DFE=180°-∠CFD，即：∠BEF=∠DFE，∴BE∥DF，而B(niǎo)E=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．（一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形）【證明二】連接BD，交AC于點(diǎn)O，∵ABCD是平行四邊形，∴OA=OCOB=OD，（平行四邊形的對(duì)角線互相平分）又∵AE=CF，∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．（2）解：四邊形BFDE是平行四邊形，∵ABCD是平行四邊形，∴AB=CD且AB∥CD，（平行四邊形的對(duì)邊平行且相等）∴∠BAE=∠DCF，∵BE⊥AC，DF⊥AC，∴∠BEA=∠DFC=90°，BE∥DF，∴△BAE≌△DCF（AAS），∴BE=DF，∴四邊形BFDE是平行四邊形．（3）解：四邊形BFDE不是平行四邊形，因?yàn)榘褩l件AE=CF改為BE=DF后，不能證明△BAE與△DCF全等．3．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠DEF=∠EFC，∠CDE=∠DCF.∵G是CD的中點(diǎn)，∴DG=CG，∴△EDG≌△FCG（AAS）.∴ED=FC.∵ED∥CF，∴四邊形CEDF是平行四邊形.（2）8；有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；4；有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.4．【答案】（1）證明：∵AE⊥AD，CF⊥BC，∴∠EAD=∠FCB=90°，∵AD∥BC，∴∠ADE=∠CBF，在Rt△AED和Rt△CFB中，∠ADE＝∠CBF∠EAD＝∠FCB＝90°∴Rt△AED≌Rt△CFB（AAS），∴AD=BC，∵AD∥BC，∴四邊形ABCD是平行四邊形；（2）解：∵四邊形ABCD是平行四邊形,∴AB//CD,∴∠ABE＝∠BDC，又∵∠BAE=∠BDC,∴∠ABE＝∠BAE,∴BE＝AE＝3,∴DE＝BD－BE＝6，在Rt△AED中，AD＝DE∴四邊形ABCD的周長(zhǎng)為2（33+4）＝65．【答案】（1）解：由已知，點(diǎn)A坐標(biāo)為(5,0)，所以O(shè)A=5.設(shè)點(diǎn)B坐標(biāo)為(m,n)，因?yàn)锽是直線y=?2x+10上一點(diǎn)∴n=?2m+10又OB=OA，∴m解得m=3n=4或m=5n=0（與點(diǎn)∴點(diǎn)B坐標(biāo)為(3,4).（2）解：符合要求的大致圖形如圖所示?！咂叫兴倪呅蜲BCD∴BC∕∕OD且BC=OD，∵AB=BC∴AB=OD，∴四邊形OABD是平行四邊形∴BD∕∕OA且BD=OA=5，∴點(diǎn)D(?2,4).6．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴AB∥DC，AB=CD，∴∠OEB=∠ODC，又∵O為BC的中點(diǎn)，∴BO=CO，在△BOE和△COD中，∵∠OEB=∠ODC，∠BOE=∠COD，BO=CO，∴△BOE≌△COD（AAS）；∴OE=OD，∴四邊形BECD是平行四邊形（2）1007．【答案】（1）證明：∵FE⊥AC，∴∠FEA=∠FEC=90°，∵∠FAC=45°，∴∠FAC=∠EFA=45°∴AE=EF，∵AB=FC，∴Rt△AEB≌Rt△FEC(HL)∴BE=CE，∵AD⊥AF，∴∠FAD=90°，∴∠CAD=90°-45°=45°，∴∠CBE=∠BCE=∠CAD=45°，∴BC∥AD∵BC=AD，∴四邊形ABCD是平行四邊形（2）解：與∠ABE相等的角有：∠CHB；∠BCH；∠BAD；∠FCA；∠CFA8．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴CD∥AB，CD=AB，AD=BC，∵DE、BF分別是∠ADC和∠ABC的角平分線，∴∠ADE=∠CDE，∠CBF=∠ABF，∵CD∥AB，∴∠AED=∠CDE，∠CFB=∠ABF，∴∠AED=∠ADE，∠CFB=∠CBF，∴AE=AD，CF=CB，∴AE=CF，∴AB-AE=CD-CF即BE=DF，∵DF∥BE，∴四邊形DEBF是平行四邊形，∴BD、EF互相平分；（2）解：過(guò)D點(diǎn)作DG⊥AB于點(diǎn)G，∵∠A=60°，AE=AD，∴△ADE是等邊三角形，∵AD=4，∴DE=AE=4，GE=∴DG=∵AE=2EB，∴BE=2，∴GB=4，∴BD=D9．【答案】（1）解：在?ABCD中，AD=BC，AD∥BC?！連E=DF，∴AF=CE。又∵AF∥CE，∴四邊形AECF為平行四邊形（2）解：∵四邊形AECF為平行四邊形，∴∠AEC=∠AFC=120°∵四邊形AECF為菱形，∴AE=CE∵∠AEC=120°，∴∠AEB=60°．∵BE=CE=AE，∴△ABE為等邊三角形。過(guò)點(diǎn)A作AH⊥BC，垂足為H，∴AH=ABsin60°=23∵BC=2BE=8，∴?ABCD面積為8×23=16310．【答案】（1）求證：DE//BC，且DE＝12（2）解：∵點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)，∴AE＝CE，在△ADE和△CFE中，EF=ED∠AED=∠CEF∴△ADE≌△CFE（SAS），∴AD＝CF，∠A＝∠ECF，∴AD//CF，∵點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，∴AD＝BD，∴BD＝CF，∴四邊形BDFC是平行四邊形，∴DE//BC，DF＝BC，∵DE＝FE，∴DE//BC，且DE＝1211．【答案】（1）解：連接CE，AD∵OD=OE，OA=OC∴四邊形AECD是平行四邊形，∴BD//AE，AE=DC∵AC是直徑，∴AD⊥BC∵AB=AC，∴BD=CD，∴BD=CD=AE∴BD與AE平行相等，所以四邊形AEDB是平行四邊形（2）解：如圖，因?yàn)锳G=3∴AG又∵AG//BC，∴AF∵AF=6，∴BF=32，∴BA=BF?AF=32?6=26所以AC=AB=26，即直徑等于26.12．【答案】（1）解：AE∥BF，AE=BF．理由如下：∵△ABC繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)180°得到△FEC，∴△ABC≌△FEC，∴AB=FE，∠ABC=∠FEC，∴AB∥FE，∴四邊形ABFE為平行四邊形，∴AE∥BF，AE=BF（2）解：∵BC=CE，∴S△ABC=S△ACE；∵AC=CF，∴S△ABC=S△FBC，S△ACE=S△FCE；∴S四邊形ABFE=4×S△ABC=12cm2（3）解：當(dāng)∠ACB=60°時(shí)，四邊形ABFE是矩形．理由如下：∵∠ACB=60°時(shí)，AB=AC，∴AB=AC=BC，又∵AC=CF，BC=CE，∴AF=BE，∴平行四邊形ABFE是矩形13．【答案】（1）解：如圖所示，線段DF為所求作的線段（2）解：四邊形AFDE是菱形，理由如下：∵DE∥AB，DF∥AC∴四邊形AFDE是平行四邊形∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD∵DE∥AB∴∠FAD＝∠EDA∴∠EAD＝∠EDA∴AE＝DE又∵四邊形AFDE是平行四邊形∴四邊形AFDE是菱形14．【答案】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD=BC，∠D=∠BCD=90°.∴∠BCF=180°﹣∠BCD=180°﹣90°=90°.∴∠D=∠BCF.在Rt△ADE和Rt△BCF中AE=BFAD=BC∴Rt△ADE≌Rt△BCF.∴∠1=∠F.∴AE∥BF.∵AE=BF，∴四邊形ABFE是平行四邊形.（2）解：∵∠D=90°，∴∠DAE+∠1=90