高中數(shù)學(xué)選修2-1人教A全冊(cè)教學(xué)同步練習(xí)答案解析第3章313同步練習(xí)

高中數(shù)學(xué)人教A版選2-1同步練習(xí)1.設(shè)a、b、c是隨意的非零平面向量，且它們互相不共線，以下命題：(a·b)c－(c·a)b＝0；②|a|－|b|<|a－b|；③(b·a)c－(c·a)b不與c垂直；(3a＋2b)·(3a－2b)＝9|a|2－4|b|2.此中正確的有()A．①②B．②③C．③④D．②④分析：選D.依據(jù)數(shù)目積的定義及性質(zhì)可知：①③錯(cuò)誤，②④正確．應(yīng)選D.2.135°的是()在如下圖的正方體中，以下各對(duì)向量的夾角為→→A.AB與A′C′→→B.AB與C′A′→→C.AB與A′D′→→D.AB與B′A′→→→→°；分析：選B.〈AB，A′C′〉＝〈AB，AC〉＝45→→→→〈AB，C′A′〉＝180°－〈AB，AC〉＝135°；→→→→〈AB，A′D′〉＝〈AB，AD〉＝90°；→→〈AB，B′A′〉＝180°.3.已知i、j、k是兩兩垂直的單位向量，a＝2i－j＋k，b＝i＋j－3k，則a·b等于________．分析：a·b＝(2i－j＋k)·(i＋j－3k)＝2i2－j2－3k2＝－2.答案：－2→→4.在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD－A′B′C′D′中，AD′·BC′＝__________．分析：由正方體知→→→→→→BC′∥AD′，∴〈AD′，BC′〉＝0，又|AD′|＝|BC′|＝2，因此AD′·BC′2·2·1＝2.答案：2[A級(jí)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)]1.若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R，且λμ≠0)，則()A．m∥nB．m⊥nC．m，n既不平行也不垂直D．以上三種狀況都可能分析：選B.由于m·n＝m·(λa＋μb)＝λm·a＋μm·b＝0，因此m⊥n.2.已知向量a、b是平面α內(nèi)的兩個(gè)不相等的非零向量，非零向量c是直線l的一個(gè)方向向量，則c·a＝0且c·b＝0是l⊥α的()A．充分不用要條件B．必需不充分條件C．充要條件D．既不充分也不用要條件分析：選B.當(dāng)a與b不共線時(shí)，由c·a＝0，c·b＝0，可推出l⊥α；當(dāng)a與b為共線向量時(shí)，由c·a＝0，c·b＝0，不可以推出l⊥α；l⊥α必定有c·a＝0且c·b＝0，應(yīng)選B.3.已知PA⊥平面ABC，∠ABC＝120°，PA＝AB＝BC＝6，則PC等于()A．62B．6C．12D．144→→→→分析：選C.∵PC＝PA＋AB＋BC，∴→2＝→2＋→2＋→2＋→·→PCPAABBC2ABBC36＋36＋36＋2×36cos60°＝144.∴PC＝12.4.2，|b|＝4，m＝a＋b，n＝a＋λb，〈a，b〉＝135°，且m⊥n，則實(shí)數(shù)λ等于已知|a|＝3__________．分析：∵m·n＝(a＋b)·(a＋λb)＝|a|2＋λa·b＋a·b＋λ|b|2＝18＋λ×32×4×cos135°＋324×cos135°＋λ×16＝6－12λ＋16λ＝6＋4λ，3∴m·n＝0＝6＋4λ，∴λ＝－.23答案：－25.已知正方體ABCD－A1B1C1D1→→的棱長(zhǎng)為a，則A1B·B1C＝__________．分析：連結(jié)向量→→→→→→→→→A1D.A1B·B1C＝A1B·A1D＝|A1B|·|A1D|·cos〈A1B，A1D〉＝2a×2a×cos60°＝a2.答案：a26.如下圖，已知四周體ABCD的每條棱的長(zhǎng)都等于1，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是棱AB，AD的中點(diǎn)，計(jì)算：→→(1)EF·BA；→→(2)EF·BD；→→(3)EF·DC.→→→→→→解：(1)EF·BA＝1|BD||BA|·cos〈BD，BA〉21π12cos3＝4.→1→→1(2)EF·BD＝2BD·BD＝2.→→1→→1→→→→(3)EF·DC＝BD·DC＝|BD||DC|·cos〈BD，DC〉2212π1＝cos＝－.234[B級(jí)能力提高]7.已知a、b是異面直線，A、B∈a，C、D∈b，AC⊥b，BD⊥b，且AB＝2，CD＝1，則a與b所成的角是()A．30°B．45°C．60°D．90°→→→→→→→→→→→→→→→分析：選C.AB＝AC＋CD＋DB，∴AB·CD＝(AC＋CD＋DB)·CD＝AC·CD＋CD2＋DB·CD＝0＋12＋0＝1，又→→|AB|＝2，|CD|＝1.→→→→AB·CD∴cos〈AB，CD〉＝→→＝1＝1.2×12|AB||CD|∴a與b所成的角是60°.8.設(shè)A、B、C、D是空間不共面的四點(diǎn)，且知足→→→→→→AB·AC＝0，AC·AD＝0，AB·AD＝0，則△BCD是()A．鈍角三角形B．銳角三角形C．直角三角形D．不確立→→→→→→分析：選B.BD＝AD－AB，BC＝AC－AB，→→→→→→→→→→→→→→BD·BC＝(AD－AB)·(AC－AB)＝AD·AC－AD·AB－AB·AC＋|AB2＝|AB2，||>0→→→→BC·BD∴cos∠CBD＝cos〈BC，BD〉＝→→>0.|BC||BD·|∴∠CBD為銳角，同理，∠BCD與∠BDC均為銳角，∴△BCD為銳角三角形．π→→9.空間四邊形OABC中，OB＝OC，∠AOB＝∠AOC＝3，則cos〈OA，BC〉的值為__________．→→→→OA·BC分析：cos〈OA，BC〉＝→→|OA||BC|→→→OA·（OC－OB）＝→→|OA||BC|→→π→→π|OA||OC|cos3－|OA||OB|cos3＝→→|OA||BC|＝0.答案：010.直三棱柱ABC－A′B′C′中，AC＝BC＝AA′，∠ACB＝90°，D、E分別為AB、BB′的中點(diǎn)．求證：CE⊥A′D；求異面直線CE與AC′所成角的余弦值．→→→解：(1)證明：設(shè)CA＝a，CB＝b，CC′＝c，依據(jù)題意，|a|＝|b|＝|c|且a·b＝b·c＝c·a＝0，→1→11a.∴CE＝b＋c，A′D＝－c＋b－222→→11∴CE·A′D＝－c2＋b2＝0.22→→∴CE⊥A′D，即CE⊥A′D.→→2|a|，(2)AC′＝－a＋c，∴|AC′|＝5又|CE|＝2|a|，→→112＝12，AC′·CE＝(－a＋c)·b＋2c＝2c2|a|→→12|a|2＝10∴cos〈AC′，CE〉＝5210.2·2|a|即異面直線CE與AC′所成角的余弦值為1010.11.(創(chuàng)新題)如下圖，已知空間四邊形ABCD的各邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)．求證：MN⊥AB，MN⊥CD；求MN的長(zhǎng)．解：(1)證明：連結(jié)→→→AN(圖略)．設(shè)AB＝p，AC＝q，AD＝r.由題意可知，|p|＝|q|＝|r|＝a，且p、q、r三向量?jī)蓛蓨A角均為60°.→→→1→→1→MN＝AN－AM＝(AC＋AD)－AB2212(q＋r－p)，→→1∴MN·AB＝2(q＋r－p)·p1(q·p＋r·p－p2)21222＝(acos60°＋ac