線性代數(shù)空間解析幾何

第二量的內(nèi)合三、向量的混合引例F作用下沿與力夾角為的直線移動,s,則力F所做的功為W 定WWF

Mabba aba

同理,當(dāng)b0時性aaab為兩個非零向量 abaa

((a)(b)a(b)(ab

ab(abcPrjcab(abcPrjcaPrjc事實(shí)上c0時當(dāng)c0abc

Prjcab

cPrjcaPrjcbc cPrjcacPrjcbacbc思考：下列等式是否成立|a|aa a(ab)(a

(ab)(ab)(aa)(bb (ab)ca(bcc2a2b22ab CCBa CAb AB C c2(ab)(ab)aabb2aa2

b22

ba

,b

b,cc2a2b22ab設(shè)aaxiay jazk,bbxibyjbzk,(axiay jazk)(bxi

jbzkabaxbxayby

ijjkki 為非零向量時,由

bcoscos axbxayby a2a2 b2b2 M(1,1,1),A22,1B2,12MAMB 解:MA(1,1,0) MB(1,0,1)B cosAMB

MA221022 AMB面域,

的流體流過一個面積為A的平 A求單位時間內(nèi)流過該平面域的流體的質(zhì)量P(流體密度為).Av解 PvAvvv已知a(1,1,4)例

(1,2,2)，求 a·b；（2）a與b的夾角；（3）a在b上的投影解(1)ab111(2(42cos1

axbxaybya2xy2a2xy2azb2xy2bz

aab|b|

Prja |b 例5證明向量與向量 c

· c)a垂直· FOQPL引例設(shè)O為杠桿L,有一個與杠桿夾角為M:FOQPL

OP

OPFMMM

OQOPM設(shè)a,b的夾角為 :ca,cb

模 c bcca與b的外積（向量積bc ca

(叉積 思考:

aabaaaa,b為非零向量ab

a∥證明

當(dāng)a0b0時ab

sin運(yùn)算律

sin0即0或

a∥abb

(ab)cacb

(證明略設(shè)aaxiay jazk,bbxi(axiay jazk)(bxi

jbzk,jbzkaaxbx(iiayby(jjazbz(kkkij(aybzazby)i(azbxaxbz)kij(axbyaybx)(aybzazby)(a(aybzazby)aaxiay jazaaxiay jazbbxi jbzi j k ijk ay

解:如圖所示,1

A(123),B345),C247SABC21

ACB Bji2ABji21 21

1k242k24

4,6,2 42(6)2222a例7a

32

j4kbij2kji垂直的單位向量i a

10j5k |

102102

2 c0

|c

j k5555在頂點(diǎn)為A(1,1,2B(1,10)C(131三角形中,求AC邊上的高BD AC043)AB(0,2,2 S1|ACAB|

(2)202 |AC| 42(3)2

S1|AC||BD| 115|BD2

|BD|5M的線速度的表示式

解l上引進(jìn)一個角速度向量,aMlOaMlO 點(diǎn)M離開轉(zhuǎn)軸的距離

的夾角為,a

r且 v

acba1.定義abc,acbaabc

a,b,c為abc的幾何意以a,b,c為棱作平行六面體,則其底面積Aab, 高h(yuǎn) VAha,b,c

(ab)aaxayaz),bbx,bybz),ccxcyczab

ay

ay

,ax az

ax ay y by y

a,b,c(ab)c

cax caxayby ay

abca,b,c[a,b,c][b,c,a][c,a,b 解:A1A2A1A3 [A1A2,A1A3, 2 26x36

y3

z3x4

y4

z4A(1,1,1),B(4,5,6),C(2,3,3),D(10,15,17解:

3451229[AB,AC,AD3451229 ABCDa(axayazbbxbybzccxcycz加減

ab(axbx,ayby,azbza(ax,ay,azabaxbxayby 叉積(向量):ab

axayazbxbyaxay a,b,c(ab)c

向量關(guān)系 ab

cy bx ay abc共面

axbxaybyazbz0(ab)c0 ay cy 設(shè)ai2jkbijabab并求ab夾角的正弦與余弦答案

ab1 ab(1,1,cos

sinBcaBca sin sin sin

1AC21BA2

1CBBca2Bca AC

bcsin