新教材人教a版選擇性必修第二冊4.2.1第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用課件

第二課時等差數(shù)列的性質(zhì)與應(yīng)用核心知識目標核心素養(yǎng)目標1.能根據(jù)等差數(shù)列的定義推出等差數(shù)列的性質(zhì),并能運用這些性質(zhì)簡化運算.2.能在具體的問題情境中,發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系,并解決相應(yīng)的問題.通過推導等差數(shù)列的性質(zhì)及其應(yīng)用,提升學生的數(shù)學抽象和邏輯推理素養(yǎng),通過利用等差數(shù)列的相關(guān)公式解決實際應(yīng)用問題,提升學生的數(shù)學建模和數(shù)學運算素養(yǎng).知識探究·素養(yǎng)啟迪課堂探究·素養(yǎng)培育知識探究·素養(yǎng)啟迪某展會期間,人流如織,總參觀人數(shù)超過7000萬.根據(jù)有關(guān)部門統(tǒng)計,某展館7月上旬平均每天參觀人數(shù)為20萬,在后面70天內(nèi),前40天每天增加萬人,后30天每天減少1萬人,情境導入探究:在這段時間內(nèi),有多少天參觀人數(shù)能達到30萬人?提示:30天.1.等差數(shù)列通項公式的變形及推廣(1)an=dn+(a1-d)(n∈N*).(2)an=am+(n-m)d(m,n∈N*).知識探究2.若{an},{bn}分別是公差為d,d′的等差數(shù)列,則有數(shù)列結(jié)論{c+an}公差為d的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){c·an}公差為cd的等差數(shù)列(c為任一常數(shù)){an+an+k}公差為2d的等差數(shù)列(k為常數(shù),k∈N*){pan+qbn}公差為pd+qd′的等差數(shù)列(p,q為常數(shù))[問題1]等差數(shù)列去掉前面若干項后,剩下的項是否還構(gòu)成等差數(shù)列?提示:是.改變了首項,公差不變.[問題2]等差數(shù)列中的奇數(shù)項、偶數(shù)項是否分別構(gòu)成等差數(shù)列?提示:是.公差為原來的2倍.3.等差數(shù)列的項的對稱性在有窮等差數(shù)列中,與首末兩項“等距離”的兩項之和等于首項與末項的和,即a1+an=a2+an-1=a3+an-2=….4.下標性質(zhì)在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q(m,n,p,q∈N*),則

.特別的,若m+n=2p(m,n,p∈N*),則有

.am+an=ap+aqam+an=2ap小試身手1.已知{an}是等差數(shù)列,則下列數(shù)列中的{bn}也為等差數(shù)列的是(

)C解析:{a3n}為等差數(shù)列,公差為原來的3倍.故選C.B解析:因為數(shù)列{an}為等差數(shù)列,所以a1+a5=2a3=6,所以a3=3.故選B.2.在等差數(shù)列{an}中,若a1=1,a5=5,則a3等于(

)(A)2 (B)3 (C)5 (D)1解析:因為2a7=a8+5=a6+a8,因此,a6=5.故選A.A3.(2021·四川成都高三月考)在等差數(shù)列{an}中,2a7=a8+5,則a6等于(

)(A)5 (B)10 (C)55 (D)604.在等差數(shù)列{an}中,若a2+a8=-3,a4=-2,則a6=

.

答案:-1解析:由a2+a8=a4+a6,得a6=-1.課堂探究·素養(yǎng)培育探究點一等差數(shù)列的性質(zhì)[例1](1)在等差數(shù)列{an}中,a2+a5=10,a3+a6=14,則a5+a8等于(

)(A)12 (B)22 (C)24 (D)34方法總結(jié)等差數(shù)列運算的兩條常用思路(1)根據(jù)已知條件,列出關(guān)于a1,d的方程(組),確定a1,d,然后求其他量.(2)利用性質(zhì)巧解,觀察等差數(shù)列中項的序號,若滿足m+n=p+q=2r(m,n,p,q,r∈N*),則am+an=ap+aq=2ar.即時訓練1-1:(1)在等差數(shù)列{an}中,若a6+a8+a10=72,則2a10-a12的值為(

)(A)6 (B)16 (C)24 (D)60(2)(2020·陜西漢中高二月考)在等差數(shù)列{an}中,a1+a8+a15=72,則a2+a14的值為(

)(A)6 (B)12 (C)24 (D)48解析:(1)由等差數(shù)列的性質(zhì),a6+a8+a10=3a8=72?a8=24,而2a10-a12=2(a8+2d)-(a8+4d)=a8=24.故選C.(2)由等差數(shù)列的性質(zhì)知,2a8=a1+a15=a2+a14,由a1+a8+a15=72,所以a8=24,即a2+a14=2a8=48.故選D.探究點二等差數(shù)列的綜合應(yīng)用(1)判斷數(shù)列{cn}是否為等差數(shù)列,并說明理由;(2)如果a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,試求數(shù)列{an}的公差d及通項公式.解:(2)因為a1+a3+…+a25=130,a2+a4+…+a26=117,所以兩式相減得13d=-13,所以d=-1.因為a1+a3+…+a25=130,所以13a13=130?a13=10?a1+12d=a1-12=10,所以a1=22,所以an=22+(n-1)×(-1)=23-n.解決等差數(shù)列綜合問題的方法策略(1)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)或利用等差中項.(2)利用通項公式,得到一個以首項a1和公差d為未知數(shù)的方程或不等式.(3)利用函數(shù)或不等式的有關(guān)方法解決.方法總結(jié)即時訓練2-1:已知{an}是等差數(shù)列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求數(shù)列{an}的通項公式;(2)若從數(shù)列{an}中,依次取出第2項,第4項,第6項,…,第2n項,按原來順序組成一個新數(shù)列{bn},試求出{bn}的通項公式.解:(2)a2=4,a4=8,a8=16,…,a2n=2×2n=4n.當n>1時,a2n-a2(n-1)=4n-4(n-1)=4.所以{bn}是以4為首項,4為公差的等差數(shù)列.所以bn=b1+(n-1)d=4+4(n-1)=4n.探究點三等差數(shù)列的實際應(yīng)用[例3]某公司經(jīng)銷一種數(shù)碼產(chǎn)品,第1年獲利200萬元,從第2年起由于市場競爭等方面的原因,利潤每年比上一年減少20萬元,按照這一規(guī)律如果公司不開發(fā)新產(chǎn)品,也不調(diào)整經(jīng)營策略,從哪一年起,該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損?解:由題意可知,設(shè)第1年獲利為a1,第n年獲利為an,則an-an-1=-20(n≥2,n∈N*),每年獲利構(gòu)成等差數(shù)列{an},且首項a1=200,公差d=-20,所以an=a1+(n-1)d=200+(n-1)×(-20)=-20n+220.若an<0,則該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損,由an=-20n+220<0,解得n>11,即從第12年起,該公司經(jīng)銷這一產(chǎn)品將虧損.(1)在實際問題中,若涉及一組與順序有關(guān)的數(shù)的問題,可考慮利用數(shù)列方法解決,若這組數(shù)依次成直線上升或下降,則可考慮利用等差數(shù)列方法解決.(2)在利用數(shù)列方法解決實際問題時,一定要分清首項、項數(shù)等關(guān)鍵量.方法總結(jié)即時訓練3-1:某市出租車的計價標準為元/km,起步價為10元,即最初的4km(不含4km)計費10元,如果某人乘坐該市的出租車去往14km處的目的地,且一路暢通,等候時間為0,那么需要支付多少車費?解:根據(jù)題意,當該市出租車的行程大于或等于4km時,每增加1km,乘客需要支付元.所以可以建立一個等差數(shù)列{an}來計算車費.令a1=11.2,表示4km處的車費,公差d=1.2,那么當出租車行至14km處時,n=11,此時需要支付車費a11=11.2+(11-1)×1.2=23.2(元).即需要支付車費元.備用例題[例1]已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且公差為d.(1)若a15=8,a60=20,求a105的值;(2)若a2+a3+a4+a5=34,a2a5=52,求公差d.[例2]在兩個等差數(shù)列2,5,8,…,197與2,7,12,…,197中,求它們的相同項構(gòu)成數(shù)列的通項公式及相同項的個數(shù).[例3]在通常情況下,從地面到10km高空,高度每增加1km,氣溫就下降某一個固定數(shù)值.如果1km高度的氣溫是8.5℃,5km高度的氣溫是-17.5℃,求2km,4km,8km高度的氣溫.解:用{an}表示自下而上各高度氣溫組成的等差數(shù)列,則a1=8.5,a5=-17.5,由a5=a1+4d=8.5+4d=-17.5,解得d=-6.5,所以an=15-6.5n.所以a2=2,a4=-11,a8=-37,即2km,4km,8km高度的氣溫分別為2℃,-11℃,-37℃.課堂達標D1.(2021·廣東汕頭高二期中)設(shè)Sn為等差數(shù)列{an}的前n項和,且2+a5=a6+a3,則a4等于(

)(A)28 (B)14 (C)7 (D)2解析:由等差數(shù)列{an}的性質(zhì)可得a4+a5=a6+a3,又2+a5=a6+a3,則a4=2.2.在等差數(shù)列{an}中,a2+a10=0,a6+a8=-4,a100等于(

)(A)212 (B)188 (C)-212 (D)-188解析:等差數(shù)列{an}中,a2+a10=0,根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)得2a6=a2+a10=0,解得a6=0,a6+a8=2a7=-4,解得a7=-2,所以公差d=-2.所以a100=a6-2×(100-6)=-188.故選D.D答案:183.已知數(shù)列{an}是等差數(shù)列,若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77且ak=13,則k=

.

答案:24.某城市2011年有人口200萬,該年醫(yī)療費用投入10億元,此后10年該城市每年新增人口10萬,醫(yī)療費用投入每年新增m億元,已知202