數(shù)學(xué)建模第講線性規(guī)劃

數(shù)學(xué)建模第講線性規(guī)劃2023/2/25數(shù)學(xué)建模第一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模實驗?zāi)康膶嶒瀮?nèi)容2.掌握用數(shù)學(xué)軟件包求解線性規(guī)劃問題.1.了解線性規(guī)劃的基本內(nèi)容.2.用數(shù)學(xué)軟件包MATLAB求解線性規(guī)劃問題.5.實驗作業(yè).3.用數(shù)學(xué)軟件包LINDO、LINGO求解線性規(guī)劃問題.1.兩個引例.4.建模案例：投資的收益與風(fēng)險.第二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模問題一：

任務(wù)分配問題：某車間有甲、乙兩臺機床，可用于加工三種工件.假定這兩臺車床的可用臺時數(shù)分別為800和900，三種工件的數(shù)量分別為400、600和500，且已知用三種不同車床加工單位數(shù)量不同工件所需的臺時數(shù)和加工費用如下表.問怎樣分配車床的加工任務(wù)，才能既滿足加工工件的要求，又使加工費用最低？兩個引例第三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模解

設(shè)在甲車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x1、x2、x3，在乙車床上加工工件1、2、3的數(shù)量分別為x4、x5、x6,可建立以下線性規(guī)劃模型：

解答第四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模問題二：

某廠每日8小時的產(chǎn)量不低于1800件.為了進(jìn)行質(zhì)量控制，計劃聘請兩種不同水平的檢驗員.一級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度25件/小時，正確率98%，計時工資4元/小時；二級檢驗員的標(biāo)準(zhǔn)為：速度15件/小時，正確率95%，計時工資3元/小時.檢驗員每錯檢一次，工廠要損失2元.為使總檢驗費用最省，該工廠應(yīng)聘一級、二級檢驗員各幾名？解設(shè)需要一級和二級檢驗員的人數(shù)分別為x1、x2人,則應(yīng)付檢驗員的工資為：因檢驗員錯檢而造成的損失為：第五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模故目標(biāo)函數(shù)為：約束條件為：第六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模線性規(guī)劃模型：解答返回第七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模線性規(guī)劃模型的一般形式

目標(biāo)函數(shù)和所有的約束條件都是設(shè)計變量的線性函數(shù).第八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模實際問題中的優(yōu)化模型x是決策變量f(x)是目標(biāo)函數(shù)gi(x)0是約束條件數(shù)學(xué)規(guī)劃線性規(guī)劃(LP)二次規(guī)劃(QP)非線性規(guī)劃(NLP)純整數(shù)規(guī)劃(PIP)混合整數(shù)規(guī)劃(MIP)整數(shù)規(guī)劃(IP)0-1整數(shù)規(guī)劃一般整數(shù)規(guī)劃連續(xù)規(guī)劃優(yōu)化模型的分類第九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模用MATLAB優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃minz=cX

1.模型：命令：x=linprog（c,A,b）

2.模型：minz=cX

命令：x=linprog（c，A，b，Aeq,beq）注意：若沒有不等式：存在，則令A(yù)=[]，b=[].第十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模3.模型：minz=cX

VLB≤X≤VUB命令：[1]x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB）

[2]

x=linprog（c，A，b，Aeq,beq,VLB，VUB,X0）

注意：[1]若沒有等式約束:,則令A(yù)eq=[],beq=[].[2]其中X0表示初始點4.命令：[x,fval]=linprog(…)返回最優(yōu)解ｘ及ｘ處的目標(biāo)函數(shù)值fval.第十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模解編寫M文件xxgh1.m如下：c=[-0.4-0.28-0.32-0.72-0.64-0.6];

A=[0.010.010.010.030.030.03;0.02000.0500;00.02000.050;000.03000.08];

b=[850;700;100;900];

Aeq=[];beq=[];

vlb=[0;0;0;0;0;0];vub=[];[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)

ToMATLAB(xxgh1)第十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模解:編寫M文件xxgh2.m如下：

c=[634];A=[010];b=[50];Aeq=[111];beq=[120];vlb=[30,0,20];vub=[];

[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMATLAB(xxgh2)第十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模s.t.改寫為：例3問題一的解答

問題第十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模編寫M文件xxgh3.m如下:f=[1391011128];A=[0.41.110000000.51.21.3];b=[800;900];Aeq=[100100010010001001];beq=[400600500];vlb=zeros(6,1);vub=[];[x,fval]=linprog(f,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMATLAB(xxgh3)第十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模結(jié)果:x=0.0000600.00000.0000400.00000.0000500.0000fval=1.3800e+004即在甲機床上加工600個工件2,在乙機床上加工400個工件1、500個工件3，可在滿足條件的情況下使總加工費最小為13800.第十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模例2問題二的解答

問題改寫為：第十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模編寫M文件xxgh4.m如下：c=[40;36];A=[-5-3];b=[-45];Aeq=[];beq=[];vlb=zeros(2,1);vub=[9;15];%調(diào)用linprog函數(shù)：[x,fval]=linprog(c,A,b,Aeq,beq,vlb,vub)ToMATLAB(xxgh4)第十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模結(jié)果為：x=9.00000.0000fval=360即只需聘用9個一級檢驗員.

注：本問題應(yīng)還有一個約束條件：x1、x2取整數(shù).故它是一個整數(shù)線性規(guī)劃問題.這里把它當(dāng)成一個線性規(guī)劃來解，求得其最優(yōu)解剛好是整數(shù)：x1=9，x2=0，故它就是該整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解.若用線性規(guī)劃解法求得的最優(yōu)解不是整數(shù)，將其取整后不一定是相應(yīng)整數(shù)規(guī)劃的最優(yōu)解，這樣的整數(shù)規(guī)劃應(yīng)用專門的方法求解.返回第十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模用LINDO、LINGO優(yōu)化工具箱解線性規(guī)劃第二十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模一、LINDO軟件包下面我們通過一個例題來說明LINDO軟件包的使用方法.第二十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模LINDO和LINGO軟件能求解的優(yōu)化模型LINGOLINDO優(yōu)化模型線性規(guī)劃(LP)非線性規(guī)劃(NLP)二次規(guī)劃(QP)連續(xù)優(yōu)化整數(shù)規(guī)劃(IP)第二十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模1桶牛奶3千克A1

12小時8小時4千克A2

或獲利24元/千克獲利16元/千克50桶牛奶時間:480小時至多加工100千克A1

制訂生產(chǎn)計劃，使每天獲利最大35元可買到1桶牛奶，買嗎？若買，每天最多買多少?可聘用臨時工人，付出的工資最多是每小時幾元?A1的獲利增加到30元/千克，是否應(yīng)改變生產(chǎn)計劃？每天：例1加工奶制品的生產(chǎn)計劃第二十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模x1桶牛奶生產(chǎn)A1

x2桶牛奶生產(chǎn)A2

獲利24×3x1

獲利16×4x2

原料供應(yīng)

勞動時間

加工能力

決策變量

目標(biāo)函數(shù)

每天獲利約束條件非負(fù)約束

線性規(guī)劃模型(LP)建立模型第二十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end

OBJECTIVEFUNCTIONVALUE

1)3360.000

VARIABLEVALUEREDUCEDCOST

X120.0000000.000000

X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?No20桶牛奶生產(chǎn)A1,30桶生產(chǎn)A2，利潤3360元.模型求解第二十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000

ROW

SLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.0000004)40.0000000.000000原料無剩余時間無剩余加工能力剩余40max72x1+64x2st2）x1+x2<503）12x1+8x2<4804）3x1<100end三種資源“資源”剩余為零的約束為緊約束（有效約束）結(jié)果解釋第二十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模模型求解

reducedcost值表示當(dāng)該非基變量增加一個單位時（其他非基變量保持不變）,目標(biāo)函數(shù)減少的量(對max型問題).OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES2)0.00000048.0000003)0.0000002.0000004)40.0000000.000000NO.ITERATIONS=2也可理解為：為了使該非基變量變成基變量，目標(biāo)函數(shù)中對應(yīng)系數(shù)應(yīng)增加的量第二十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模OBJECTIVEFUNCTIONVALUE1)3360.000VARIABLEVALUEREDUCEDCOSTX120.0000000.000000X230.0000000.000000ROWSLACKORSURPLUSDUALPRICES

2)0.00000048.000000

3)0.0000002.000000

4)40.0000000.000000結(jié)果解釋

最優(yōu)解下“資源”增加1單位時“效益”的增量

原料增1單位,利潤增48時間增1單位,利潤增2能力增減不影響利潤影子價格35元可買到1桶牛奶，要買嗎？35<48,應(yīng)該買！聘用臨時工人付出的工資最多每小時幾元？2元！第二十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:

OBJCOEFFICIENTRANGES

VARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASE

X172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000最優(yōu)解不變時目標(biāo)系數(shù)允許變化范圍DORANGE(SENSITIVITY)ANALYSIS?

Yesx1系數(shù)范圍(64,96)

x2系數(shù)范圍(48,72)A1獲利增加到30元/千克，應(yīng)否改變生產(chǎn)計劃x1系數(shù)由243=72增加為303=90，在允許范圍內(nèi)不變！(約束條件不變)結(jié)果解釋

第二十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模結(jié)果解釋

RANGESINWHICHTHEBASISISUNCHANGED:OBJCOEFFICIENTRANGESVARIABLECURRENTALLOWABLEALLOWABLECOEFINCREASEDECREASEX172.00000024.0000008.000000X264.0000008.00000016.000000

RIGHTHANDSIDERANGESROWCURRENTALLOWABLEALLOWABLERHSINCREASEDECREASE250.00000010.0000006.6666673480.00000053.33333280.0000004100.000000INFINITY40.000000影子價格有意義時約束右端的允許變化范圍原料最多增加10時間最多增加5335元可買到1桶牛奶，每天最多買多少？最多買10桶(目標(biāo)函數(shù)不變)注意:充分但可能不必要第三十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模1.使用LINDO的一些注意事項？“>”（或“<”）號與“>=”（或“<=”）功能相同變量與系數(shù)間可有空格(甚至回車),但無運算符變量名以字母開頭，不能超過8個字符變量名不區(qū)分大小寫（包括LINDO中的關(guān)鍵字）目標(biāo)函數(shù)所在行是第一行，第二行起為約束條件行號(行名)自動產(chǎn)生或人為定義.行名以“）”結(jié)束行中注有“!”符號的后面部分為注釋.如:

!It’sComment.在模型的任何地方都可以用“TITLE”對模型命名（最多72個字符），如： TITLEThisModelisonlyanExample第三十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模變量不能出現(xiàn)在一個約束條件的右端表達(dá)式中不接受括號“()”和逗號“,”等任何符號,例:400(X1+X2)需寫為400X1+400X2表達(dá)式應(yīng)化簡，如2X1+3X2-4X1應(yīng)寫成-2X1+3X2缺省假定所有變量非負(fù)；可在模型的“END”語句后用“FREEname”將變量name的非負(fù)假定取消可在“END”后用“SUB”或“SLB”設(shè)定變量上下界例如：“subx110”的作用等價于“x1<=10”但用“SUB”和“SLB”表示的上下界約束不計入模型的約束，也不能給出其松緊判斷和敏感性分析.14.“END”后對0-1變量說明：INTn或INTname15.“END”后對整數(shù)變量說明：GINn或GINname使用LINDO的一些注意事項第三十二頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模2.狀態(tài)窗口（LINDOSolverStatus）當(dāng)前狀態(tài)：已達(dá)最優(yōu)解迭代次數(shù)：18次約束不滿足的“量”(不是“約束個數(shù)”)：0當(dāng)前的目標(biāo)值：94最好的整數(shù)解：94整數(shù)規(guī)劃的界：93.5分枝數(shù)：1所用時間：0.00秒（太快了，還不到0.005秒）刷新本界面的間隔:1(秒)第三十三頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模二、LINGO軟件包第三十四頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模(1)LINGO模型的優(yōu)點1.LINGO軟件簡介(2)對簡單的LINGO程序LINGO也可以和LINDO一樣編程但LINGO與LINDO語法有差異提供了靈活的編程語言（矩陣生成器）包含了LINDO的全部功能第三十五頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模Lindo與簡單Lingo程序的比較Model:

min=7*x1+3*x2;

x1+x2>=345.5;

x1>=98;

2*x1+x2<=600;

@gin(x1);

@gin(x2);

endmin7x1+3x2stx1+x2>=345.5x1>=982*x1+x2<=600endgin2lindo程序:lingo程序:第三十六頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模投資的收益和風(fēng)險第三十七頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模二、基本假設(shè)和符號規(guī)定第三十八頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模三、模型的建立與分析1.總體風(fēng)險用所投資的Si中最大的一個風(fēng)險來衡量,即max{qixi|i=1，2,…,n}4.模型簡化：第三十九頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模第四十頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模四、模型1的求解

由于a是任意給定的風(fēng)險度，到底怎樣給定沒有一個準(zhǔn)則，不同的投資者有不同的風(fēng)險度.我們從a=0開始，以步長△a=0.001進(jìn)行循環(huán)搜索，編制程序如下：第四十一頁，共四十五頁，2022年，8月28日2023/2/25數(shù)學(xué)建模a=0;while(1.1-a)>1c=[-0.05-0.27-0.19-0.185-0.185];Aeq=[11.011.021.