函數(shù)專題之分段函數(shù)

函數(shù)專題之分段函數(shù)一：分段函數(shù)的定義若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而有不同的解析表達(dá)的函數(shù)稱為分段函數(shù)。說(shuō)明：①分段函數(shù)雖由幾個(gè)部分組成，但它表示的是一個(gè)函數(shù)。②分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集。③分段函數(shù)問(wèn)題往往需要進(jìn)行分類討論，根據(jù)分段函數(shù)在其定義域內(nèi)每段的解析式不同，然后分別解決，即“分段問(wèn)題，分段解決”。二：分段函數(shù)題型分析分段函數(shù)在理解和掌握函數(shù)的定義、函數(shù)的性質(zhì)等知識(shí)的程度的考查上有較好的作用，時(shí)常在高考試題中“閃亮”登場(chǎng)。考點(diǎn)1．求分段函數(shù)的定義域和值域求函數(shù)的定義域、值域【解析】方法1：分段函數(shù)的定義域?yàn)楦魯喽x域的并集，可得的定義域?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，值域?yàn)楫?dāng)時(shí)，單調(diào)遞減，值域?yàn)椋?dāng)時(shí)，所以的值域?yàn)榉椒?：作圖，利用“數(shù)形結(jié)合”易知的定義域?yàn)?值域?yàn)?。考點(diǎn)2．求分段函數(shù)的函數(shù)值例2.【2012·江西·高考真題（文）】設(shè)函數(shù)則()A． B．3 C． D．【解析】,,故選D.練習(xí)1：【2021·浙江·高考】已知，函數(shù)若，則___________.【解析】，故，故答案為：2.練習(xí)2：已知函數(shù)，則__________．【解析】因?yàn)?，所以故答案為?【方法梳理】求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當(dāng)出現(xiàn)形如的求值問(wèn)題時(shí)，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值.求值域問(wèn)題同樣分段求解，再取其并集。跟蹤訓(xùn)練：【2015·浙江·高考真題（文）】已知函數(shù)，則，的最小值是．【解析】如圖根據(jù)所給函數(shù)解析式結(jié)合其單調(diào)性作出其圖像如圖所示，易知.另外，當(dāng)時(shí)，也可以利用基本不等式，當(dāng)且僅當(dāng)，時(shí)，等號(hào)成立.考點(diǎn)3.分段函數(shù)與不等式例1.已知函數(shù)則不等式的解集是____.【解析】由題意得或解得x0或0<x2，即不等式的解集為[，2].故答案為：[，2].例2．設(shè)函數(shù),若,則得取值范圍是（）方法1：首先畫出和的大致圖像,易知時(shí),所對(duì)應(yīng)的的取值范圍是.方法2：因?yàn)?當(dāng)時(shí),,解得,當(dāng)時(shí),,解得,綜上的取值范圍是.故選D.練習(xí)1：設(shè)函數(shù),則使得的自變量的取值范圍為（）A．B.C.D.【解析】當(dāng)時(shí),,所以,當(dāng)時(shí),,所以,綜上所述,或,故選A項(xiàng).練習(xí)2：【2010·江蘇·高考】若函數(shù)，則不等式的解集合是______________【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，且，則化為：或，解得或，所以不等式的解集合是.故答案為：考點(diǎn)4：分段函數(shù)與方程例1：【01年上?！吭O(shè)函數(shù),則滿足方程的的值為【解析】若,則,得,所以（舍去）,若,則,解得,所以即為所求.考點(diǎn)5：分段函數(shù)與含參問(wèn)題例1：【2015·福建·高考真題（理）】若函數(shù)（且）的值域是，則實(shí)數(shù)的取值范圍是__________．【解析】試題分析：由于函數(shù)的值域是，故當(dāng)時(shí)，滿足，當(dāng)時(shí)，由，所以，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍.考點(diǎn)6：求分段函數(shù)的解析式例1：【2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)】設(shè)函數(shù)，若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】先求出分段函數(shù)在上得解析式，進(jìn)而根據(jù)解析式做出函數(shù)圖象，由于函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可求出結(jié)果.【詳解】若，則，所以，故，其圖象如圖：函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)等價(jià)于函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個(gè)公共點(diǎn)，于是，.故選：C.【方法點(diǎn)評(píng)】以上分段函數(shù)性質(zhì)的考查中，不難得到一種解題的重要途徑，若能畫出其大致圖