用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式作課

用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式作課第一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日學(xué)習(xí)目標(biāo)：1、通過對(duì)用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式的探究，掌握求解析式的方法。2、能靈活地根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x取解析式，體會(huì)二次函數(shù)解析式之間的轉(zhuǎn)化。學(xué)習(xí)重點(diǎn)：用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式。學(xué)習(xí)難點(diǎn)：靈活地根據(jù)條件恰當(dāng)?shù)剡x取解析式。第二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日回顧：用待定系數(shù)法求解析式已知一次函數(shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-2，-12），求這個(gè)一次函數(shù)的解析式。解：設(shè)這個(gè)一次函數(shù)的解析式為y=kx+b(k≠0),

因?yàn)橐淮魏瘮?shù)經(jīng)過點(diǎn)（1，3）和（-2，-12），所以k+b=3-2k+b=-12解得k=3，b=-6一次函數(shù)的解析式為y=3x-6.設(shè)出函數(shù)的解析式根據(jù)所給條件，將已知點(diǎn)坐標(biāo)代入函數(shù)解析式中，得到關(guān)于解析式中待定系數(shù)的方程（組）解此方程或方程組，求待定系數(shù)將求出的待定系數(shù)還原到解析式中第三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日思考二次函數(shù)解析式有哪幾種表達(dá)式？

一般式：y=ax2+bx+c

頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k

交點(diǎn)式：y=a(x-x1)(x-x2)第四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日求二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式，關(guān)鍵是求出待定系數(shù)a，b，c的值。由已知條件（如二次函數(shù)圖像上三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)）列出關(guān)于a，b，c的方程組，并求出a，b，c，就可以寫出二次函數(shù)的解析式。一般式y(tǒng)=ax2+bx+c（a,b,c為常數(shù)，a≠0)思考：二次函數(shù)y=ax2+bx+c的解析式中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要圖象上的幾個(gè)點(diǎn)才能求出來？第五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例1

已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（－1,10）、（1,4）、（2,7）三點(diǎn)，求這個(gè)函數(shù)的解析式解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=ax2+bx+c（a≠0）由條件得：a-b+c=10a+b+c=44a+2b+c=7解方程組得：a=2,b=-3,c=5因此：所求二次函數(shù)是：y=2x2-3x+5變式1:已知關(guān)于x的二次函數(shù),當(dāng)x=－1時(shí),函數(shù)值為10,當(dāng)x=1時(shí),函數(shù)值為4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)值為7,求這個(gè)二次函數(shù)的解析試.｛設(shè)代解還原第六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k(a、h、k為常數(shù)，a≠0).若已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)和拋物線上的另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)時(shí)，通過設(shè)函數(shù)的解析式為頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k.

特別地，當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)為原點(diǎn)時(shí)，h=0,k=0,可設(shè)函數(shù)的解析式為當(dāng)拋物線的對(duì)稱軸為y軸時(shí)，h=0,可設(shè)函數(shù)的解析式為當(dāng)拋物線的頂點(diǎn)在x軸上時(shí)，k=0，可設(shè)函數(shù)的解析式為思考：二次函數(shù)y=a(x-h)2+k的解析式中有幾個(gè)待定系數(shù)？需要知道圖象上的幾個(gè)點(diǎn)才能求出來？如果知道圖象上的頂點(diǎn)坐標(biāo)為A(1,-1)和點(diǎn)B（2，1），兩個(gè)點(diǎn)能求出它的解析式嗎？y=ax2.y=ax2+k.y=a(x-h)2.第七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例2：已知拋物線的頂點(diǎn)是（1，2）且過點(diǎn)（2，3)，求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式變式2：已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)（4，－3），并且當(dāng)x=3時(shí)有最大值4，求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式；又過點(diǎn)（2，3）∴a(2-1)2+2=3，∴a=1解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-h)2+k（a≠0）∵頂點(diǎn)是（1，2）∴y=a(x-1)2+2，∴y=(x-1)2+2，即y=x2-2x+3已知拋物線的頂點(diǎn)與拋物線上另一點(diǎn)時(shí)，通常設(shè)為頂點(diǎn)式已知條件中的當(dāng)x=3時(shí)有最大值4也就是拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（3,4），所以設(shè)為頂點(diǎn)式較方便y=-7(x-3)2+4即y=-7x2+42x-59第八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日解：設(shè)所求的二次函數(shù)為已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象過點(diǎn)（0,-3）（4,5）

對(duì)稱軸為直線x=1，求這個(gè)函數(shù)的解析式？變式:3y=a(x-1)2+k思考：怎樣設(shè)二次函數(shù)關(guān)系式第九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).（a、x1、x2為常數(shù)a≠0）當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（x1,0）,(x2,0)時(shí)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c可以轉(zhuǎn)化為交點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2).因此當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)為（x1,0）,(x2,0)時(shí)，可設(shè)函數(shù)的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，再把另一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)代入其中，即可解得a，求出拋物線的解析式。第十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日例3：已知拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，3且圖像過（0，-3），求出對(duì)應(yīng)的二次函數(shù)解析式。解：設(shè)所求的二次函數(shù)為y=a(x-x1)(x-x2)已知拋物線與x軸的交點(diǎn)或交點(diǎn)橫坐標(biāo)時(shí)，通常設(shè)為交點(diǎn)式（兩根式）由拋物線與x軸兩交點(diǎn)橫坐標(biāo)為1，3，∴y=a(x-1)(x-3),又過（0，-3），∴a(0-1)(0-3)=-3,∴a=-1∴y=-(x-1)(x-3),即y=-x2+4x-3練習(xí)：已知二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c的圖象過A(0，－5)，B(5，0)兩點(diǎn)，它的對(duì)稱軸為直線x＝2，那么這個(gè)二次函數(shù)的解析式是____________

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分析：因?yàn)閽佄锞€與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于拋物線的對(duì)稱軸對(duì)稱，又B(5，0)關(guān)于直線x＝2的對(duì)稱點(diǎn)坐標(biāo)為（-1,0），所以可以設(shè)為交點(diǎn)式，類似例3求解，當(dāng)然也可以按一般式求解。y=(x-5)(x+1),即y=x2-4x-5第十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日課堂小結(jié)求二次函數(shù)解析式的一般方法：已知圖象上三點(diǎn)或三組對(duì)應(yīng)值，通常選擇已知圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸或最值通常選擇已知圖象與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)x1、x2，或與X軸的一交點(diǎn)坐標(biāo)與對(duì)稱軸通常選擇yxo確定二次函數(shù)的解析式時(shí)，應(yīng)該根據(jù)條件的特點(diǎn)，恰當(dāng)?shù)剡x用一種函數(shù)表達(dá)式，一般式y(tǒng)=ax2+bx+c;頂點(diǎn)式y(tǒng)=a(x-h)2+k，交點(diǎn)式（兩根式）y=a(x-x1)(x-x2)。第十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日1、求經(jīng)過有三點(diǎn)A（-2，-3），B（1，0），C（2，5）的二次函數(shù)的解析式.2、已知拋物線的頂點(diǎn)為D(-1，-4)，又經(jīng)過點(diǎn)C(2，5)，求其解析式。頂點(diǎn)式：交點(diǎn)式：3、已知拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A(-3，0)、B(1，0)，又經(jīng)過點(diǎn)C(2，5)，求其解析式。一般式：

反饋練習(xí)第十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日二次函數(shù)圖象如圖所示，直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式xyO－222464－48－2－4變式4CAB第十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日

反饋練習(xí)4、已知拋物線對(duì)稱軸為x=2，且經(jīng)過點(diǎn)（1,4）

和（5,0），求該二次函數(shù)解析式。第十五頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日5、已知拋物線的頂點(diǎn)為A(-1，-4)，又知它與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)B、C間的距離為4，求其解析式。充分利用條件合理選用以上三式第十六頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日6、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0），且當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)有最大值為4，求此函數(shù)解析式。7、拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)是（-1，0），對(duì)稱軸為直線x=1，拋物線頂點(diǎn)到x軸的距離為4，求此函數(shù)解析式。*第十七頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日一、一般式

1.已知一個(gè)二次函數(shù)圖象經(jīng)過（-1，10）、（2，7）和（1，4）三點(diǎn)，那么這個(gè)函數(shù)的解析式是_______。第十八頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日2.已知一個(gè)二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（－1，8），（1，2），（2，5）三點(diǎn)。求這個(gè)函數(shù)的解析式第十九頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日二、頂點(diǎn)式

1.已知拋物線y=ax2+bx+c的頂點(diǎn)是A(-1,4)且經(jīng)過點(diǎn)(1,2)求其解析式。第二十頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日2、已知拋物線的頂點(diǎn)為（2，3），且過點(diǎn)（1，4），求這個(gè)函數(shù)的解析式。第二十一頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日應(yīng)用例4有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．解：設(shè)拋物線的解析式為y=ax2＋bx＋c，根據(jù)題意可知拋物線經(jīng)過(0，0)，(20，16)和(40，0)三點(diǎn)可得方程組通過利用給定的條件列出a、b、c的三元一次方程組，求出a、b、c的值，從而確定函數(shù)的解析式．過程較繁雜，評(píng)價(jià)第二十二頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)拋物線為y=a(x-20)2＋16

解：根據(jù)題意可知∵點(diǎn)(0，0)在拋物線上，通過利用條件中的頂點(diǎn)和過原點(diǎn)選用頂點(diǎn)式求解，方法比較靈活評(píng)價(jià)∴所求拋物線解析式為

例4有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．應(yīng)用第二十三頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月28日設(shè)拋物線為y=ax(x-40）解：根據(jù)題意可知∵點(diǎn)(20，16)在拋物線上，選用兩根式求解，方法靈活巧妙，過程也較簡(jiǎn)捷評(píng)價(jià)例4有一個(gè)拋物線形的立交橋拱，這個(gè)橋拱的最大高度為16m，跨度為40m．現(xiàn)把它的圖形放在坐標(biāo)系里(如圖所示)，求拋物線的解析式．應(yīng)用第二十四頁(yè)，共二十六頁(yè)，2022年，8月