火箭發(fā)射的高度速度和加速度

{范例3.8}火箭放射的高度，速度和加速度火箭是一種利用燃料燃燒后噴出的氣體產(chǎn)生的反沖推力的發(fā)動(dòng)機(jī)。假如火箭在自由空間飛行，不受引力或空氣阻力等任何外力的影響，其飛行速度公式是什么？假如火箭在地球表面從靜止豎直向上放射，燃料的燃燒速率為α，在不太高的范圍內(nèi)，不計(jì)空氣阻力，其飛行速度公式是什么？高度和加速度的公式是什么？假設(shè)火箭放射前的質(zhì)量為M0=2.5×106kg，燃料的燃燒速率為α=1.0×104kg/s，燃料燃燒后噴出的氣體相對(duì)火箭的速率為u=3.0×103m/s，火箭點(diǎn)燃的60s內(nèi)，高度、速度和加速度隨時(shí)間變更的規(guī)律是什么？最終達(dá)到什么值？如圖所示，在t時(shí)刻火箭的質(zhì)量為M，速度大小為v，則動(dòng)量大小為p=Mv。[解析]在無(wú)重力的空間，把火箭和剩下的燃料作為探討對(duì)象。經(jīng)過(guò)時(shí)間dt，火箭噴出質(zhì)量為dm的氣體，噴出的速度相對(duì)火箭為定值u，相對(duì)自由空間的速度為v-u，動(dòng)量為(v-u)dm。{范例3.8}火箭放射的高度，速度和加速度MvM-dmv+dvdmuuvv-u火箭的質(zhì)量為M–dm，速度增為v+dv，動(dòng)量為(M-dm)(v+dv)?？倓?dòng)量為p'=(M-dm)(v+dv)+(v-u)dm。由于M0=M+m，所以dm=-dM。即火箭噴出的質(zhì)量等于其質(zhì)量的減小量。化簡(jiǎn)后略去二階無(wú)窮小量dMdv，可得Mdv+udM=0。依據(jù)動(dòng)量守恒定律得Mv=(M+dM)(v+dv)-(v-u)dM。分別變量得積分得v=-ulnM+C{范例3.8}火箭放射的高度，速度和加速度設(shè)火箭的質(zhì)量為M0時(shí)，其速度為v0，可得C=v0+ulnM0，因此火箭質(zhì)量從M0削減到M時(shí)，火箭的速度則由v0增加到v。假如火箭起先飛行時(shí)速度為零，質(zhì)量為M0，燃料燒盡時(shí)火箭剩下的質(zhì)量為m0，由上式可計(jì)算火箭能夠達(dá)到的最大速度。M0/m0稱為質(zhì)量比，火箭的噴氣速度越大，質(zhì)量比越大，所能達(dá)到的速度就越大。Mdv+udM=0但是這兩項(xiàng)都受到技術(shù)限制?；鸺痫w時(shí),第一級(jí)火箭起先工作；當(dāng)燃料燒盡后，第一級(jí)的外殼就自動(dòng)脫落，其次級(jí)火箭接著工作，使火箭進(jìn)一步加速。前一級(jí)火箭脫落，使后一級(jí)火箭減負(fù)，提高了質(zhì)量比，因而可獲得更大的最終速度。這就是多級(jí)火箭的工作原理。這是著名的齊奧爾科夫斯基公式。假設(shè)火箭在地球表面對(duì)上放射，其初速度為零，初始質(zhì)量為M0。{范例3.8}火箭放射的高度，速度和加速度重力加速度g使火箭速度削減gt，因此火箭在地面上放射的速度為依速度公式v=dz/dt，可得dz=[ulnM0–uln(M0–αt)–gt]dt，積分得當(dāng)t=0時(shí)，z=0，可得火箭上升的高度為取向上的方向?yàn)檎?，?jīng)過(guò)飛行時(shí)間t，火箭剩下的質(zhì)量為M=M0-αt，α是燃料燃燒的速率dm/dt；火箭的加速度為當(dāng)t=0時(shí)，由于a>0，必有條件αu>M0g，否則，火箭無(wú)法起飛?；鸺乃俣入S時(shí)間的延長(zhǎng)而加速增加，最終的速度達(dá)到235.3m/s?；鸺母叨入S時(shí)間的延長(zhǎng)也是