理論力學(xué)第三章 剛體力學(xué)3

§3.5剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動運(yùn)動學(xué)1、運(yùn)動分析：（1）剛體的定點(diǎn)轉(zhuǎn)動可以看成是任一瞬時軸的“定”軸轉(zhuǎn)動。常平架在工程與生活中經(jīng)?？梢杂龅酱祟愡\(yùn)動雷達(dá)跟蹤天線陀螺儀中的轉(zhuǎn)子行星齒輪系中動錐齒輪玩具陀螺等（2）自由度S=3（4）本體極面，空間極面空間極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在空間(固定坐標(biāo)系中)描繪的曲面。本體極面：轉(zhuǎn)動瞬軸在剛體內(nèi)(動坐標(biāo)系中)描繪的曲面。（3）運(yùn)動學(xué)方程潘索定理：本體極面在空間極面上作純滾動2、速度，加速度(1)速度：(2)加速度：(3)剛體作一般運(yùn)動時，將運(yùn)動分解為剛體隨基點(diǎn)A的平動＋剛體繞基點(diǎn)A的“定點(diǎn)”轉(zhuǎn)動，則剛體上任一點(diǎn)P的速度為加速度為3、剛體繞兩相交軸轉(zhuǎn)動的合成

剛體繞某點(diǎn)O作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動，相當(dāng)于剛體繞某軸作“定軸”轉(zhuǎn)動，而該軸又繞另一固定軸轉(zhuǎn)動，這兩個軸相交于O點(diǎn)。

結(jié)論：當(dāng)剛體繞兩個相交軸轉(zhuǎn)動時，剛體的瞬時角速度等于它分別繞這兩個軸轉(zhuǎn)動的角速度的矢量和。【例9】半徑為R的圓盤以不變的角速度繞水平軸AB轉(zhuǎn)動，而軸AB又以不變的角速度繞豎直軸CD轉(zhuǎn)動，求圓盤水平直徑一端M點(diǎn)的速度和加速度。解：建立平面轉(zhuǎn)動坐標(biāo)系oxyz0【例10】高為h，頂角為2α的圓錐在一平面上滾動而不滑動，如已知此錐以勻角速度ω繞軸轉(zhuǎn)動，試求圓錐底面上A點(diǎn)的轉(zhuǎn)動加速度a1和向軸加速度a2的量值。解:分析1、在圓錐上建立o-xyz坐標(biāo)系，母線與ox重合，與圓錐一起運(yùn)動。2、求3、求（轉(zhuǎn)動加速度）3、求（向軸加速度）【例11】角A剛體的一般運(yùn)動【例12】§3.6歐拉角

OyxN§3.7轉(zhuǎn)動慣量一、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的動量矩設(shè)為剛體上任一質(zhì)點(diǎn)，該質(zhì)點(diǎn)對定點(diǎn)o的動量矩為整個剛體對同一點(diǎn)o的動量矩為(1)ozxy動坐標(biāo)系oxyz下面求動量矩的分量表達(dá)式其中，物理意義？二、定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的動能三、轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量：描述剛體轉(zhuǎn)動慣性大小的物理量。1、對定軸轉(zhuǎn)動慣性的大小用轉(zhuǎn)動慣量描述，其定義為：回轉(zhuǎn)半徑即轉(zhuǎn)動慣量=各質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量與該點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸距離平方乘積之和。轉(zhuǎn)動慣量由剛體的質(zhì)量分布和轉(zhuǎn)軸位置決定。剛體對定軸的轉(zhuǎn)動慣量等效質(zhì)點(diǎn)對定軸的轉(zhuǎn)動慣量平行軸定理

敘述：剛體對某一軸線的轉(zhuǎn)動慣量，等于對通過質(zhì)心的平行軸的轉(zhuǎn)動慣量加上剛體的質(zhì)量與兩軸間垂直距離平方的乘積。常用到的結(jié)果：

半徑為R的均質(zhì)圓盤繞過圓心且垂直圓面的轉(zhuǎn)動慣量是：

長為的均質(zhì)細(xì)桿繞過中心且與桿垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量：其中叫做軸轉(zhuǎn)動慣量，叫做慣量積2、對定點(diǎn)轉(zhuǎn)動慣性的大小，由于轉(zhuǎn)軸的方向不斷變化，要用一個張量才能描述。和oxyzxyzP(dm)注意：若選動坐標(biāo)系系，慣量系數(shù)均為常數(shù)(2)慣量橢球－用幾何方法求剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量ozxyQQ點(diǎn)的坐標(biāo)為：代入**得表示為矩陣形式：**橢球面方程中心慣量橢球：剛體的質(zhì)心(或重心)在O點(diǎn)計(jì)算出剛體對該軸的轉(zhuǎn)動慣量用幾何方法計(jì)算剛體對某瞬時軸的轉(zhuǎn)動慣量如下：若已知橢球面方程，在動系oxyz中描出橢球面，某瞬時軸與橢球面的交點(diǎn)Q到O點(diǎn)的距離即為R，再根據(jù)zoxyQ(3)慣量主軸及其求法(適當(dāng)選擇坐標(biāo)系消去慣量積)

慣量主軸：使慣量積為零的坐標(biāo)系(慣量橢球的三條相互垂直的主軸)則橢球面方程變?yōu)椋哼@里

主慣量－剛體對慣量主軸的轉(zhuǎn)動慣量注意：1、剛體作定點(diǎn)轉(zhuǎn)動時，總有三個慣量主軸存在，且互相垂直；

2、過質(zhì)心的三個慣量主軸叫中心慣量主軸。

慣量主軸坐標(biāo)系中的若干物理量的簡化表達(dá)式慣量張量：動量矩：動能：

慣量主軸的求法(均質(zhì)剛體)

幾何對稱軸是慣量主軸幾何對稱面的垂線是慣量主軸oxzy舉例：半徑為r，高為h的均勻圓柱體證明：(1)幾何對稱軸是慣量主軸取z軸為對稱軸，z軸為慣量主軸(2)幾何對稱軸的垂線是慣量主軸取對稱面oyz，x軸為慣量主軸若分別取對稱面oxy和對稱面oxz，同理可證得相應(yīng)的垂線z軸和y軸均為慣量主軸。oxzy說明：(1)若，則為旋轉(zhuǎn)橢球，則在xy平面內(nèi)的各軸都是主軸；

(2)若，橢球變?yōu)榍蝮w，所有通過O點(diǎn)的軸都是主軸?！纠?3】均勻長方形薄片的邊長為與，質(zhì)量為，求此長方形薄片繞其對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)薄片的厚度為t,密度為(1)其中，(2)將(2)式代入(1)式得xyo解：方法一直接用定積分計(jì)算動坐標(biāo)系oxyz得方法二利用計(jì)算xyo得方法三取慣量主軸為坐標(biāo)軸xyo得結(jié)論：取慣量主軸為坐標(biāo)軸來計(jì)算薄片繞對角線轉(zhuǎn)動時的轉(zhuǎn)動慣量最簡便。由剛體對定點(diǎn)o的動量矩定理(1)建立剛聯(lián)于剛體的慣量主軸坐標(biāo)系oxyz(2)(3)其中，(4)§3.8剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動動力學(xué)將(3),(4)代人(1)得歐拉動力學(xué)方程聯(lián)合歐拉運(yùn)動學(xué)方程(5)(6)聯(lián)立方程(5),(6)消去得到關(guān)于的二階常微分方程，求解三個微分方程的剛體定點(diǎn)轉(zhuǎn)動的運(yùn)動學(xué)方程，從而確定剛體的運(yùn)動規(guī)律。定點(diǎn)轉(zhuǎn)動剛體的機(jī)械能守恒選慣量主軸坐標(biāo)系作業(yè)-5定點(diǎn)轉(zhuǎn)動P1773.20；3.22；3.23（選作）1、剛體的各種運(yùn)動第三章小結(jié)運(yùn)動的特點(diǎn)：1）剛體的質(zhì)心始終位于同一個平面上。2）剛體內(nèi)垂直于固定平面的直線上各點(diǎn)具有完全相同運(yùn)動狀態(tài)。3）剛體內(nèi)平行于固定平面的各平面有相同的運(yùn)動特征。

三個自由度兩個平動自由度一個轉(zhuǎn)動自由度只須研究質(zhì)心所在平面的運(yùn)動:質(zhì)心運(yùn)動+繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動12、平面平行運(yùn)動a.運(yùn)動學(xué)方程

如圖所示，取質(zhì)心所在的平面為研究對象，任取一點(diǎn)A為基點(diǎn)（一般取質(zhì)心）。則P點(diǎn)的運(yùn)動方程為P點(diǎn)運(yùn)動隨基點(diǎn)A平動繞基點(diǎn)的轉(zhuǎn)動基點(diǎn)A可以任意取基點(diǎn)A的平動量（）因基點(diǎn)而異；繞基點(diǎn)A的轉(zhuǎn)動的角量（）都相同。b.剛體上任一點(diǎn)P的速度和加速度

剛體