小升初數(shù)學(xué)-圓與扇形

E兩容概述】與圓和扇形的周長(zhǎng)、面積相關(guān)的幾何問(wèn)題，將所求的對(duì)象進(jìn)行適當(dāng)?shù)囊苿?dòng)、分割或拼補(bǔ)以簡(jiǎn)化計(jì)算是常用的方法.［第2年全國(guó)史學(xué)數(shù)學(xué)奧林匹克?初賽4卷第3題1.如圖17-1，有8個(gè)半徑為1厘米的小圓，用它們的圓周的一部分連成一個(gè)花瓣圖形，圖中的黑點(diǎn)是這些圓的圓心.如果圓周率兀取3.1416,那么花瓣圖形的面積是多少平方厘米？【分析與解】如下圖，添上部分輔助線，有花瓣的面積為4個(gè)邊長(zhǎng)為2的小正方形面- 3 1積加上4個(gè)工廠的面積減去4個(gè)一的面積,即加上4x--4x-=1個(gè)半徑為1的圓的面積.I //所以花瓣組成的圖形的面積為4X2X2+1X1X17兀。16+3.1416=19.1416平方厘米.所以花瓣組成的圖形的面積為4X2X2+1X1X17兀。16+3.1416=19.1416平方厘米.2.如圖17-2,一套絞盤(pán)和一組滑輪形成一個(gè)提升機(jī)構(gòu)，其中盤(pán)A直徑為10厘米，盤(pán)B直徑為40厘米，盤(pán)C直徑為20厘米.問(wèn)：A順時(shí)針?lè)较蜣D(zhuǎn)動(dòng)一周時(shí)，重物上升多少厘米?（兀取3.14.）1 1【分析與解】A順時(shí)針轉(zhuǎn)一周時(shí)，C順時(shí)針轉(zhuǎn)5周，同軸的B也順時(shí)針轉(zhuǎn)不周，從而繩索被1拉動(dòng)的距離等于B的半個(gè)圓周長(zhǎng)即冗X20。62.8,這時(shí)重物應(yīng)該上升去-x62.8=31.4.所以重物上升31.4厘米.第六屆”華羅庚金杯”少年蛾學(xué)邀請(qǐng)賽■復(fù)賽第5題3.圖17-3為一卷緊繞成的牛皮紙，紙卷直徑為20厘米，中間有一直徑為6厘米的卷軸.已知紙的厚度為0.4毫米，問(wèn)：這卷紙展開(kāi)后大約有多長(zhǎng)？【分析與解】將這卷紙展開(kāi)后，它的側(cè)面可以近似的看成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)度就等于面積除以寬.這里的寬就是紙的厚度，而面積就是一個(gè)圓環(huán)的面積.因此紙的長(zhǎng)度-紙卷側(cè)面積3.14x102【分析與解】將這卷紙展開(kāi)后，它的側(cè)面可以近似的看成一個(gè)長(zhǎng)方形，它的長(zhǎng)度就等于面積除以寬.這里的寬就是紙的厚度，而面積就是一個(gè)圓環(huán)的面積.因此紙的長(zhǎng)度-紙卷側(cè)面積3.14x102—3.14x32— 3.14x(100-9)紙的厚度0.040.04=7143.5(厘米)所以，這卷紙展開(kāi)后大約71.4米.*?第五屆“華羅庚金杯”少年數(shù)學(xué)邀造星.注賽9試第16題4.如圖17-4,大小兩圓的相交部分（即陰影區(qū)域）的面積是大圓面積的11，是小圓面積的35.如果量得小圓的半徑是5厘米，那么大圓半徑是多少厘米?圖17-4【分析與解】 小圓的面積為兀x52=25兀，則大小圓相交部分面積為25兀x-=15兀，那么1C1C4225大圓的面積為15兀+—=—兀而—=yxy，所以大圓半徑為7.5厘米.

I 乙乙知域級(jí)數(shù)「***北京市第十四屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽?決賽第一題第3題5.如圖17-5,在18X8的方格紙上，畫(huà)有1,9,9,8四個(gè)數(shù)字.那么，圖中的陰影面積占整個(gè)方格紙面積的幾分之幾？

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所以圖中陰影面積占整個(gè)方格紙面積的144n37即京,72差妾屆“華羅庚金杯’2年數(shù)爭(zhēng)遂請(qǐng)賽,洪泰口武第2題【分析與解】6.如圖17-6,用一塊面積為36平方厘米的圓形鋁板下料，從中裁出了7個(gè)同樣大小的圓鋁板.問(wèn)：所余下的邊角料的總面積是多少平方厘米【分析與解】，現(xiàn)在有小圓直徑的3倍為大圓的直徑，所以小圓的面積是大圓的-，現(xiàn)在137r1 7 1 7 2剪去7個(gè)小圓，它們的面積和為7x§=§，所以剩下的角料的面積為大圓面積的1-§=9.2即所余下的邊角料的總面積是36X§=8平方厘米.7.如圖17-7,已知大正方形的面積是22平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米?7.如圖17-7,已知大正方形的面積是22平方厘米，那么小正方形的面積是多少平方厘米?【分析與解】 如下左圖所示，設(shè)DC=x，則x2=22,而小正方形FGHI的邊長(zhǎng)為HI,我們雖然知卻不易求出小正方形邊長(zhǎng)FG.道大正方形內(nèi)圓的半徑EO為1x，則直徑FH為x但是，我們將小正方形內(nèi)的等腰直角三角形FGH割補(bǔ)至V五/G',則得到的大三角形VFHG是以FH為直角邊的等腰直角三角形，所以其面積為2x2,即為2X22=11.所以小正方形的面積是11平方厘米.8.圖17-8是一個(gè)直徑是3厘米的半圓，AB是直徑.讓A點(diǎn)不動(dòng)，把整個(gè)半圓逆時(shí)針轉(zhuǎn)60o,此時(shí)B點(diǎn)移動(dòng)到C點(diǎn)，如圖17-9所示.那么圖中陰影部分的面積是多少平方厘米?（冗取3.14.）［分析與解］有圖中陰影部分面積等于以AC為直徑的半圓，以AC為半徑的60o扇形的面積和減去以AB為直徑的半圓面積，所以面積相等.那么陰影部分的面積等于以AC為半徑的600扇形的面積,即券x32…6X-71平方厘米.北京市第二屆“迎春杯”數(shù)學(xué)競(jìng)賽,決賽第二題第9題（有改動(dòng)｝229.如圖17-10,四分之一大圓的半徑為7,求陰影部分的面積，其中圓周率冗取近似值—.3917-10【分析與解】 原題圖中的左邊部分可以割補(bǔ)至如下圖位置，這樣只用先求出四分之一大圓的面積，再減去其內(nèi)的等腰直角三角形面積即為所求.1r1r因?yàn)樗姆种淮髨A的半徑為7,所以其面積為4X72x冗X-x72x22——=38.5.71四分之一大圓內(nèi)的等腰直角三角形ABC的面積為5X7X7=24.5,所以陰影部分的面積為38.5-24.5=14.北京市第七屆“迎春杯”教學(xué)競(jìng)賽?刊賽第就題10.如圖17-11,等腰直角三角形的一腰的長(zhǎng)是8厘米，以它的兩腰為直徑分別畫(huà)了兩個(gè)半圓,那么陰影部分的面積共有多少平方厘米？（冗取3.14）圖口【分析與解】如下圖，我們將原題中陰影部分分成①、圖口【分析與解】如下圖，我們將原題中陰影部分分成①、②、③、④4個(gè)部分，并且這4個(gè)部分的面積相等.有②、③部分的面積和為二分之一圓的面積與其內(nèi)等腰直角三角形的面積差.，、、一一一1二分之一圓的面積為寸4x4x冗氏8X3.14=25.12.其內(nèi)等腰直角的底為8,高為4,所以其1面積為3X8X4=16,所以②、③部分的面積和為25.12-16=9.12（平方厘米）.而①、②、③、④四部分的面積和為②、③部分的面積和的2倍，即為9.12X2=18.24（平方厘米）.所以，原題中陰影部分的面積共有18.24平方厘米.11,圖17-12中的4個(gè)圓的圓心是正方形的11,圖17-12中的4個(gè)圓的圓心是正方形的4個(gè)頂點(diǎn)，它們的公共點(diǎn)是該正方形的中心.如果每個(gè)圓的半徑都是1厘米，那么陰影部分的總面積是多少平方厘米？17-12【分析與解】方法一：如下圖所示可以將每個(gè)圓內(nèi)的陰影部分拼成一個(gè)正方形，而這個(gè)正方形與圖17-12中的正方形形狀、大小相同.每個(gè)正方形的面積為（1X1：2）X4=0.5X4=2平方厘米，所以陰影部分的總面積為2X4=8平方厘米.方法二：我們可以將圖中空白部分分成8個(gè)形狀相同、面積相等的小圖形一 1其在圓內(nèi)的位置如下圖，有弓形士二^部分面積為-圓馬等腰直角三角形ABO的面積差，即為-x12x九一-x1x1氏-x3.14—0.5=0.285為4 2 4

原題圖中的整個(gè)圖形的面積為四個(gè)圓的面積減去公共的4個(gè) 的面積，即8個(gè)的面積，而陰影部分面積又是整個(gè)圖形面積減去4個(gè)1二的面積，即8個(gè)士二，的面積.那么，原題圖中陰影部分面積為4個(gè)圓面積減去16個(gè)士二、的面積.所以，原題圖中陰影部分總面積為4*12義九—16*0.285工4義3.14—4.56=8（平方厘米）.豳級(jí)數(shù):,***12.如圖17-13,三角形ABC是直角三角形，陰影部分①比陰影部分②的面積小28平方厘米,AB長(zhǎng)40厘米.求BC的長(zhǎng)度.（兀取3.14）圖17-13【分析與解】 圖中半圓的直徑為AB,所以其面積為1x202x兀氏200X3.14=628.有空白部分③與①的面積和為628,又②-①=28,所以②、③部分的面積和628+28=656.1 1有直角三角形ABC的面積為不XABXBC=-X40XBC=656.所以BC=32.8厘米.嫄斷級(jí)蚯?等…13.圖17-14中陰影部分的面積是多少平方厘米？（兀取3.14）圖17-14【分析與解】如下圖，為了方便說(shuō)明標(biāo)上字母，學(xué)曲線四邊形BCFE的面積為“①”.將扇形ABC的面積稱為“大扇形”，扇形CDF的面積稱為“小扇形”，長(zhǎng)方形BCDE的面積稱為“長(zhǎng)方形”

陰影部分面積二大扇形-①，①二長(zhǎng)方形-小扇形.所以有陰影部分面積二大扇形-（長(zhǎng)方形-小扇形）;大扇形+小扇形-長(zhǎng)方形.1X52XK+1X22X?！?X5氏29x3.14+4—10=12.765（平方厘米）.4 414.求圖17-15中陰影部分的面積14.求圖17-15中陰影部分的面積.（冗取3.14）【分析與解】 我們只用將兩個(gè)半徑為10厘米的四分之一圓減去空白的①、②部分面積和即可，其中①、②面積相等.易知①、②部分均是等腰直角三角形，但是①部分的直角邊AB的長(zhǎng)度未知.單獨(dú)求①部分面積不易，于是我們將①、②部分平移至一起，如下圖所示，則①、②部分變?yōu)橐粋€(gè)以AC為直角邊的等腰直角三角形，而AC為四分之一圓的半徑，所以有AC=10.C兩個(gè)四分之一圓的面積和為2X1X102X兀氏50X3.14=157，而①、②部分的面積和為1xI10X10=50,10X10=50,所以陰影部分的面積為157-50=107（平方厘米