函數的奇偶性與周期性教師版

函的偶與期A.基礎梳理．奇、偶函數的概一般地如對于函數f(x的定義域內任意一個x都f(－x＝()那函數f(x)叫做偶函數．一般地如對于函數f(x的定義域內任意一個x都f(－x＝f那函數fx)叫做奇函數．奇函數的圖象關于原點對稱；偶函數的圖象關于y對稱．．奇、偶函數的性奇數關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相同，偶函數在關于原點對稱的區(qū)間上的單調性相反．在公共定義域內①兩個奇函數的和是奇函數，兩個奇函數的積是偶函數；②兩個偶函數的和、積都是偶函數；③一個奇函數，一個偶函數的積是奇函數．．周期性周期函數函y＝(存一個非零常數T當x取義域內的任何值時，都有f(＋)＝(x)那么就稱函數y＝(x)周期函數，稱這個函數的周期．最小正周期如在周期函數fx的所有周期中存在一個最小的正數那么這個最小正數就叫做f()的最小正周期．B.方法與要點一條規(guī)奇、偶函數的定義域關于原點對稱．函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要不充分條件．兩個性若奇函數fx)＝0處定義，則f(0)設f)，()的定義域分別是D，，么在它們的公共定義域上：1奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋＝偶，×偶＝偶，奇×偶＝奇．三種方判斷函數的奇偶性，一般有三種方法(1)義法；圖法(3)性質法．三條結若對于R上的任意的x都f－x＝f)f(－x)f＋x，則＝f()的圖象關于直線x＝a對．若對于R上任意都有f(2－x)＝f)，且f－x)＝f(x其＜b，則：＝f(x)是以b)為周期的周期函數．

222x1若(＋a＝－fx或fx＋)＝或(x＋a＝－，么函數(x)周期函數，其中一個ff周期為＝2；若f＋a)＝(＋)(≠)，那么函數f)是周期函數，其中一個期為＝aC.雙基自測全國)設fx)是周期為2的函數0≤x≤1時x)＝2x－xf111－－C.D.4

－＝．5解析f)ff．fx)＝－的象關于()．x

答案AA．軸稱

B直線＝－x對稱

C．標原點對稱

D．直線y＝對解析fx)(∞∞f－xf)答案

1()x

fx)廣東)設函數f(x和()分別是R的偶函數和奇函數列論恒成立的()．Ax)＋()|偶函數

B(x－g()|是奇函數

()|＋g(是偶函數

D()|－gx)奇函數解析(x)|(x)|ABBDA.答案A．福建對于函fx)sin＋＋c(其中，a∈R，c∈Z)，選取a，的組值計算f(1)和f－1)，所得出的正確結果一定不能(．A．4和B．3和1．2和4D1和解析sinbcasin1c(1)f(2cDD.答案D．浙江若函數(x＝－x＋a為函數，則實數＝________.解析法一fx)f()xR|xR0xRa法二f(1)f1||aa0.答案0D.考點解析

22222233332222231222222223333222223122考點一判斷函數的奇偶性【例】下列數：①(x)

－＋

x－；②f＝－x③f(x＝ln(＋x＋1)；④()＝

－3

x

；⑤f)－＝其中奇函數的個數是()．＋A．2B．4D．5[審題視點]利函數奇偶性的定義判斷．解析(x)x

{1,1}(x(x)x1(x)xR(x(x)x)(xxf)(x)xxxx≥0fxR(xxln

xxxfx)(x)x(x)R(xf)2(x)xx<1f()ln(x(xlnln(x)答案D

f()判斷函數的奇偶性的一般方法是求函數的定義域(2)證(－)＝f(x)(－x)＝f)成立；或者通過舉反例證明上兩式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何結論的，切忌主觀臆斷．【訓練】判斷列函數的奇偶性：－f(x)；＋－

(2)f)x－x－a＋

222222222＋212－1－＋＋1222222222＋212－1－＋＋1＋1＝x解

，(1)解不等式組≠，得－≤x，0<x≤2因此函數f()的定義域是[－∪，則f()＝

－x

f－)＝

－4x＝－＝－f)－x所以f()是奇函數．f(x)定義域是－∞＋∞)．當a，fx)x－x＋，f－)＝x－－＋＝x－x＋＝x)．因此f()是偶函數；當a，f)＝＋，f－)＝a－|2a＋，f－)≠()，且f－)f(a)．因此f()既不是偶函數也不是函數．考點二函數奇偶性的應用【例】已知fx)x

＋－1

(≠0)．判斷fx)的奇偶性；(2)證明：(x＞[審題視點(1)用定義判斷或用特值法否定；由奇偶性知須求對稱區(qū)間上的函數值大于解

法一f)的定義域是－∞，∪，＋∞)11＋1∵(x)x＝.－－x＋＋∴(－x＝＝＝(x)－2－故f()是偶函數．法二fx)的定義域是－∞0)∪(0，＋∞，∵＝，(－＝，∴fx)是奇函數．∵(x)f(－x＝x

11＋＋xx＋＝x

－1－

＝x－11)＝，

x2222x2222∴(－x＝()，∴(x)偶函數．證明當x＞0時21,2－＞，所以f()＝

1＋－1

＞當x＜0，－＞0，所以f－x＞0又fx是偶函數，∴(－x＝()，所以f(x＞綜上，均有f)＞根據函數的奇偶性討論函數的單調區(qū)間是常用的方法函數在對稱區(qū)間上的單調性相同數對稱區(qū)間上的單調性相反具有奇偶性的函數的單調性的研究，只需研究對稱區(qū)間上的單調性即可．【訓練2已知奇函數fx的定義域為[－，在區(qū)間[－內減，求滿足f－)＋(1－

2

)＜的實數的值范圍．解∵(x的定義域為[－2,2]≤，∴有≤，解得－1≤≤3.①又f()為奇函數，且在[上減，∴在[－2,2]上遞減，∴(1－)＜f－m)＝(m－1)－m－，即－＜＜1.綜合①②可知，－1m＜1.考點三函數的奇偶性與周期性【例?已知函數fx)是(－∞＋∞)上的奇函數且f(x的圖象關于x＝對當x∈時，()＝2－1，求證：f(x是周期函數；當∈時，求fx的解析式；計算f＋f＋f(2)f(2013)值．[審題視點]只需證明fx＋T)＝()，即可說明f()為周期函數；由f)在[上解析式及f()圖象關于x＝1對求得f(x)在[上解析式；由周期性求和的值．證明函數fx)為奇函數，則f(－x＝－f，函數fx)圖象關于x＝1對，則f(2＋x)＝(－x＝－()所f＋)f[(2＋)＋＝f(2＋x)＝()所以f()是以為期的周期函數．解當∈時－x∈[0,1]

又f()的圖象關于x＝對稱，則fx)＝f－x)＝2

2

1∈．解

∵(0)＝，(1)，＝0f(3)f(－＝－f＝－又f()是以周期的周期函數．∴＋f＋f＋f＝(2＋＝f(0)f(1)判斷函數的周期只需證明fx＋T＝(xT≠0)便可證明函數是周期函數，且周期為T，數的周期性常與函數的其他