函數(shù)的奇偶性與周期性教師版

函的偶與期A.基礎(chǔ)梳理．奇、偶函數(shù)的概一般地如對(duì)于函數(shù)f(x的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都f(－x＝()那函數(shù)f(x)叫做偶函數(shù)．一般地如對(duì)于函數(shù)f(x的定義域內(nèi)任意一個(gè)x都f(－x＝f那函數(shù)fx)叫做奇函數(shù)．奇函數(shù)的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)；偶函數(shù)的圖象關(guān)于y對(duì)稱(chēng)．．奇、偶函數(shù)的性奇數(shù)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)的區(qū)間上的單調(diào)性相反．在公共定義域內(nèi)①兩個(gè)奇函數(shù)的和是奇函數(shù)，兩個(gè)奇函數(shù)的積是偶函數(shù)；②兩個(gè)偶函數(shù)的和、積都是偶函數(shù)；③一個(gè)奇函數(shù)，一個(gè)偶函數(shù)的積是奇函數(shù)．．周期性周期函數(shù)函y＝(存一個(gè)非零常數(shù)T當(dāng)x取義域內(nèi)的任何值時(shí)，都有f(＋)＝(x)那么就稱(chēng)函數(shù)y＝(x)周期函數(shù)，稱(chēng)這個(gè)函數(shù)的周期．最小正周期如在周期函數(shù)fx的所有周期中存在一個(gè)最小的正數(shù)那么這個(gè)最小正數(shù)就叫做f()的最小正周期．B.方法與要點(diǎn)一條規(guī)奇、偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)．函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)是函數(shù)具有奇偶性的必要不充分條件．兩個(gè)性若奇函數(shù)fx)＝0處定義，則f(0)設(shè)f)，()的定義域分別是D，，么在它們的公共定義域上：1奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋＝偶，×偶＝偶，奇×偶＝奇．三種方判斷函數(shù)的奇偶性，一般有三種方法(1)義法；圖法(3)性質(zhì)法．三條結(jié)若對(duì)于R上的任意的x都f－x＝f)f(－x)f＋x，則＝f()的圖象關(guān)于直線x＝a對(duì)．若對(duì)于R上任意都有f(2－x)＝f)，且f－x)＝f(x其＜b，則：＝f(x)是以b)為周期的周期函數(shù)．

222x1若(＋a＝－fx或fx＋)＝或(x＋a＝－，么函數(shù)(x)周期函數(shù)，其中一個(gè)ff周期為＝2；若f＋a)＝(＋)(≠)，那么函數(shù)f)是周期函數(shù)，其中一個(gè)期為＝aC.雙基自測(cè)全國(guó))設(shè)fx)是周期為2的函數(shù)0≤x≤1時(shí)x)＝2x－xf111－－C.D.4

－＝．5解析f)ff．fx)＝－的象關(guān)于()．x

答案AA．軸稱(chēng)

B直線＝－x對(duì)稱(chēng)

C．標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)

D．直線y＝對(duì)解析fx)(∞∞f－xf)答案

1()x

fx)廣東)設(shè)函數(shù)f(x和()分別是R的偶函數(shù)和奇函數(shù)列論恒成立的()．Ax)＋()|偶函數(shù)

B(x－g()|是奇函數(shù)

()|＋g(是偶函數(shù)

D()|－gx)奇函數(shù)解析(x)|(x)|ABBDA.答案A．福建對(duì)于函fx)sin＋＋c(其中，a∈R，c∈Z)，選取a，的組值計(jì)算f(1)和f－1)，所得出的正確結(jié)果一定不能(．A．4和B．3和1．2和4D1和解析sinbcasin1c(1)f(2cDD.答案D．浙江若函數(shù)(x＝－x＋a為函數(shù)，則實(shí)數(shù)＝________.解析法一fx)f()xR|xR0xRa法二f(1)f1||aa0.答案0D.考點(diǎn)解析

22222233332222231222222223333222223122考點(diǎn)一判斷函數(shù)的奇偶性【例】下列數(shù)：①(x)

－＋

x－；②f＝－x③f(x＝ln(＋x＋1)；④()＝

－3

x

；⑤f)－＝其中奇函數(shù)的個(gè)數(shù)是()．＋A．2B．4D．5[審題視點(diǎn)]利函數(shù)奇偶性的定義判斷．解析(x)x

{1,1}(x(x)x1(x)xR(x(x)x)(xxf)(x)xxxx≥0fxR(xxln

xxxfx)(x)x(x)R(xf)2(x)xx<1f()ln(x(xlnln(x)答案D

f()判斷函數(shù)的奇偶性的一般方法是求函數(shù)的定義域(2)證(－)＝f(x)(－x)＝f)成立；或者通過(guò)舉反例證明上兩式不成立．如果二者皆未做到是不能下任何結(jié)論的，切忌主觀臆斷．【訓(xùn)練】判斷列函數(shù)的奇偶性：－f(x)；＋－

(2)f)x－x－a＋

222222222＋212－1－＋＋1222222222＋212－1－＋＋1＋1＝x解

，(1)解不等式組≠，得－≤x，0<x≤2因此函數(shù)f()的定義域是[－∪，則f()＝

－x

f－)＝

－4x＝－＝－f)－x所以f()是奇函數(shù)．f(x)定義域是－∞＋∞)．當(dāng)a，fx)x－x＋，f－)＝x－－＋＝x－x＋＝x)．因此f()是偶函數(shù)；當(dāng)a，f)＝＋，f－)＝a－|2a＋，f－)≠()，且f－)f(a)．因此f()既不是偶函數(shù)也不是函數(shù)．考點(diǎn)二函數(shù)奇偶性的應(yīng)用【例】已知fx)x

＋－1

(≠0)．判斷fx)的奇偶性；(2)證明：(x＞[審題視點(diǎn)(1)用定義判斷或用特值法否定；由奇偶性知須求對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的函數(shù)值大于解

法一f)的定義域是－∞，∪，＋∞)11＋1∵(x)x＝.－－x＋＋∴(－x＝＝＝(x)－2－故f()是偶函數(shù)．法二fx)的定義域是－∞0)∪(0，＋∞，∵＝，(－＝，∴fx)是奇函數(shù)．∵(x)f(－x＝x

11＋＋xx＋＝x

－1－

＝x－11)＝，

x2222x2222∴(－x＝()，∴(x)偶函數(shù)．證明當(dāng)x＞0時(shí)21,2－＞，所以f()＝

1＋－1

＞當(dāng)x＜0，－＞0，所以f－x＞0又fx是偶函數(shù)，∴(－x＝()，所以f(x＞綜上，均有f)＞根據(jù)函數(shù)的奇偶性討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間是常用的方法函數(shù)在對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相同數(shù)對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性相反具有奇偶性的函數(shù)的單調(diào)性的研究，只需研究對(duì)稱(chēng)區(qū)間上的單調(diào)性即可．【訓(xùn)練2已知奇函數(shù)fx的定義域?yàn)閇－，在區(qū)間[－內(nèi)減，求滿足f－)＋(1－

2

)＜的實(shí)數(shù)的值范圍．解∵(x的定義域?yàn)閇－2,2]≤，∴有≤，解得－1≤≤3.①又f()為奇函數(shù)，且在[上減，∴在[－2,2]上遞減，∴(1－)＜f－m)＝(m－1)－m－，即－＜＜1.綜合①②可知，－1m＜1.考點(diǎn)三函數(shù)的奇偶性與周期性【例?已知函數(shù)fx)是(－∞＋∞)上的奇函數(shù)且f(x的圖象關(guān)于x＝對(duì)當(dāng)x∈時(shí)，()＝2－1，求證：f(x是周期函數(shù)；當(dāng)∈時(shí)，求fx的解析式；計(jì)算f＋f＋f(2)f(2013)值．[審題視點(diǎn)]只需證明fx＋T)＝()，即可說(shuō)明f()為周期函數(shù)；由f)在[上解析式及f()圖象關(guān)于x＝1對(duì)求得f(x)在[上解析式；由周期性求和的值．證明函數(shù)fx)為奇函數(shù)，則f(－x＝－f，函數(shù)fx)圖象關(guān)于x＝1對(duì)，則f(2＋x)＝(－x＝－()所f＋)f[(2＋)＋＝f(2＋x)＝()所以f()是以為期的周期函數(shù)．解當(dāng)∈時(shí)－x∈[0,1]

又f()的圖象關(guān)于x＝對(duì)稱(chēng)，則fx)＝f－x)＝2

2

1∈．解

∵(0)＝，(1)，＝0f(3)f(－＝－f＝－又f()是以周期的周期函數(shù)．∴＋f＋f＋f＝(2＋＝f(0)f(1)判斷函數(shù)的周期只需證明fx＋T＝(xT≠0)便可證明函數(shù)是周期函數(shù)，且周期為T(mén)，數(shù)的周期性常與函數(shù)的其他