水木艾迪為你打造輕松考研

PAGEPAGE13水木艾迪為你打造輕松考研談考研數(shù)學(xué)要走對(duì)路找對(duì)點(diǎn)水木艾迪清華老師帶你把握命題策略與命題思路，努力締造居高臨下的知識(shí)洞察力。報(bào)告人：清華大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)系劉坤林1．2007試題基本情況（1）2007年考研數(shù)學(xué)試題難度問(wèn)題07年考題仍然以基本的概念，理論和技巧為主,注意考察基礎(chǔ)知識(shí)的理解與簡(jiǎn)單綜合運(yùn)用。各套試題共用題目比例有較大幅度提高，在大綱要求的共同范圍內(nèi)難度趨于統(tǒng)一。特別是數(shù)三數(shù)四連續(xù)幾年并無(wú)任何經(jīng)濟(jì)特色，正如我們?cè)谥v座和教學(xué)中強(qiáng)調(diào)的那樣，考的是數(shù)學(xué)，確切說(shuō)是理工類數(shù)學(xué)的能力。這是對(duì)08年考生的重要參考。2007年考研數(shù)學(xué)試題，與2006年相比，基本上維持了2006年的水平，難度略有提高，2007年難度系數(shù)較2006年提高了約0.05。四份考研數(shù)學(xué)試卷的設(shè)計(jì)，突出了對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科基本知識(shí)點(diǎn)理解的準(zhǔn)確性與全面性的考察，以及對(duì)數(shù)學(xué)基本計(jì)算與分析能力的考察，知識(shí)覆蓋面合理，題意明確，敘述準(zhǔn)確，檔次明顯，適于選拔考試。從考生的反映來(lái)看命題策略的這一基本情況，形成了一些反差：一部分考生認(rèn)為2007年考研數(shù)學(xué)試題難度大了一點(diǎn)，特別是數(shù)學(xué)三、四的部分考生認(rèn)為2007年考研數(shù)學(xué)試題較2006年難了。形成這一反差的主要原因是一些考生對(duì)考試大綱理解與解讀不夠深入不夠準(zhǔn)確，他們受到了所謂經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)的誤導(dǎo)。2004-2006年的考試特點(diǎn)早已說(shuō)明了的一個(gè)重要考試策略：四個(gè)試卷考試題目非?；?，沒有偏題怪題和超難度題目，考題特點(diǎn)是重在基本概念的準(zhǔn)確理解與過(guò)硬的基本計(jì)算能力?？佳袛?shù)學(xué)考的是數(shù)學(xué)，并非物理（對(duì)數(shù)學(xué)一、二：物理應(yīng)用題目趨于淡化，），更非經(jīng)濟(jì)（對(duì)數(shù)學(xué)三、四：與所謂經(jīng)濟(jì)類數(shù)學(xué)內(nèi)容相關(guān)的題目趨于淡化），更確切地說(shuō)，考研數(shù)學(xué)是考大學(xué)理工類數(shù)學(xué)三個(gè)學(xué)科。2006-2007數(shù)學(xué)一、二、三、四試題共用題達(dá)到空前的高比例，結(jié)論：四個(gè)試卷難易程度趨于相同。特別是數(shù)學(xué)三、四的考生，最好不要采用帶有經(jīng)濟(jì)類的教科書或輔導(dǎo)教材作考前的復(fù)習(xí)。（2）水木艾迪教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性和有效性水木艾迪考研輔導(dǎo)教學(xué)的全部?jī)?nèi)容與策略，就是引導(dǎo)考生作到對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)理解的準(zhǔn)確性、全面性和有效性，掌握綜合處理問(wèn)題的方法與技巧，特別是讓同學(xué)把握命題策略與命題思路，努力做到居高臨下的知識(shí)洞察力。07年考題進(jìn)一步說(shuō)明了我們?cè)谒景峡佳休o導(dǎo)中教學(xué)策略的正確性，教學(xué)內(nèi)容的準(zhǔn)確性和有效性，包括基礎(chǔ)班、強(qiáng)化班及考研三十六計(jì)沖刺班，對(duì)廣大學(xué)員的教學(xué)引導(dǎo)與訓(xùn)練，使更大面積的考生取得優(yōu)異成績(jī)。就四套試題的全局而言，水木艾迪考研輔導(dǎo)教學(xué)題型、方法與技巧在07年的考試中得到完美的體現(xiàn)，許多試題為水木艾迪考研輔導(dǎo)教學(xué)或模擬試題的原題，還有大量題目?jī)H僅有文字和符號(hào)的差別，問(wèn)題類型及所含知識(shí)點(diǎn)與所用方法完全相同，特別是水木艾迪考研數(shù)學(xué)的春季基礎(chǔ)班為考生奠定了堅(jiān)實(shí)的應(yīng)試基礎(chǔ)，三十六計(jì)則為廣大學(xué)員提供了全勝的銳利武器。2．幾點(diǎn)意見（共三點(diǎn)）：注意到考研數(shù)學(xué)的特點(diǎn)，意到數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn)設(shè)法了解命題策略與命題思路合理有效的復(fù)習(xí)策略（1）注意到考研數(shù)學(xué)的特點(diǎn):以大學(xué)本科數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，但又有明顯的不同之處，考察的重點(diǎn)是：對(duì)三個(gè)數(shù)學(xué)學(xué)科中基本知識(shí)點(diǎn)理解的準(zhǔn)確性與全面性；基本計(jì)算能力（概念的理解有助于計(jì)算的準(zhǔn)確性與快速有效性）；對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)所涉及的方法與技巧綜合運(yùn)用的能力；還要注意到數(shù)學(xué)的學(xué)科特點(diǎn):培養(yǎng)一點(diǎn)邏輯思維能力與悟性，數(shù)學(xué)是一類讓人思考和表達(dá)的學(xué)科：一是要思考，二是要表達(dá)，包括邏輯語(yǔ)言表達(dá)與基本計(jì)算表達(dá)。例1選駙馬問(wèn)題古代某個(gè)皇帝選駙馬,經(jīng)預(yù)選產(chǎn)生三個(gè)最聰明的候選人。決賽規(guī)則：三人面向考官按一字形排成一列，考官準(zhǔn)備了5頂帽子：三黑兩紅，從最后一個(gè)人開始給三位候選人各帶上個(gè)一頂帽子，最先說(shuō)出自己帽子的顏色的人被選定為駙馬。結(jié)論：幾分鐘沉默后，面向考官的第一人先說(shuō)出自己的帽子顏色（？）[證明]設(shè)面向考官的第一個(gè)人為1號(hào)，按順序，其余兩人為分別為2號(hào)和3號(hào)。以下是浮現(xiàn)在1號(hào)選手大腦中的思考過(guò)程：3號(hào)沒開口：3號(hào)可看到的是：1、2同色，或1、2異色，而沒開口則說(shuō)明1號(hào)2號(hào)全紅為不可能事件；只剩下1號(hào)2號(hào)異色或全黑。2號(hào)沒開口：若1號(hào)為紅，則2號(hào)必說(shuō)出自己帽子為黑色（1、2全紅為不可能事件），但沒說(shuō)出，此假設(shè)應(yīng)該否定，結(jié)論：1號(hào)為黑色。引申：系統(tǒng)辨識(shí)（SystemIdentificationblackBoxTheory）制勝考研數(shù)學(xué)的三個(gè)基本因素：制勝考研數(shù)學(xué)的三個(gè)基本因素：因素A概念理解的準(zhǔn)確性：90分因素B綜合運(yùn)用與技巧：分,.因素C氣質(zhì)與心態(tài)的平衡：分,.例2極限的保序性（保號(hào)性）及其應(yīng)用例2-1設(shè)在上一階可導(dǎo)，，，證明：存在，使；【證】不妨設(shè)，即，由極限的保序性，存在使得有：，滿足，即有，滿足；同理可有，滿足，因此，由連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理，，使得。例2-2（2005共用考題）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，則存在，使得(A)在上單調(diào)增加。(B)在上單調(diào)增加。(C)對(duì)任意的有。(D)對(duì)任意的有?！咀C】答案(C).由，則由極限保序性可推斷存在，使當(dāng)或時(shí)，，即與應(yīng)保持同號(hào)，因此：對(duì)任意的有，對(duì)任意的有。注：此結(jié)論在水木艾迪考研輔導(dǎo)教學(xué)及教材中稱為由導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(hào)決定的函數(shù)局部比較性質(zhì)。只由一點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)正負(fù)號(hào)，不能決定函數(shù)的增減性。函數(shù)的增減性屬于區(qū)間上或全局性質(zhì)。例2-3設(shè)在某鄰域內(nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且，則（）。(A)，但是曲線的拐點(diǎn)。(B)，且是的極小值。(C),且是曲線的拐點(diǎn)。(D)，且是的極小值?！窘狻看鸢笧椋–）。由題目的已知條件可得到：第一個(gè)信息是：，則，又因?yàn)樵谀赤徲騼?nèi)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，于是。第二個(gè)信息是：，根據(jù)極限的保序性知道，在的某去心鄰域內(nèi)，必有，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，。即知在兩側(cè)變號(hào)，于是可以斷定是曲線的拐點(diǎn)。即只有選項(xiàng)(C)正確?！咀ⅰ繉?duì)由極限保序性導(dǎo)致連續(xù)函數(shù)的保號(hào)性質(zhì)、積分的保序性、積分估值定理與比較性質(zhì)，可參考下列典型例題。例3溶液濃度問(wèn)題兩個(gè)同樣容積的燒瓶里分別放有甲乙兩種溶液，現(xiàn)用量杯從甲種溶液里取出一小杯放入乙種溶液，攪拌均勻后，再用同一量杯取出一杯放回甲種溶液內(nèi)，攪拌均勻。問(wèn)：甲中含乙與乙中含甲各為多少%？[解]方法1：列方程求解，勢(shì)必?zé)┈?。方?：利用邏輯分析，對(duì)甲種溶液進(jìn)行分析，不難發(fā)現(xiàn)，甲失去的量，就是甲從乙中得到的量。結(jié)論：甲中含乙與乙中含甲比例相同。數(shù)學(xué)引申：函數(shù)的輪換對(duì)稱性。例3-1（2006-1-15，10分）設(shè)區(qū)域計(jì)算二重積分?！窘馕雠c點(diǎn)評(píng)】利用對(duì)稱性可得到;這樣，。這是很典型的二重積分計(jì)算題，是水木艾迪2006考研數(shù)學(xué)原題。可參見水木艾迪2006考研數(shù)學(xué)強(qiáng)化班講義第十一講例17。例3-2（2005-2、3、4共用）設(shè)，為上的正值連續(xù)函數(shù)，為常數(shù)，則(D)(A)。(B)。(C)。(D)。[不可取的解法]取坐標(biāo)變換：令則，……..，需10分鐘?！窘馕雠c點(diǎn)評(píng)】本題考點(diǎn)是函數(shù)性質(zhì)，積分定義概念的準(zhǔn)確理解（本題為二重積分，還可以是三重積分，曲線曲面積分等），對(duì)稱性的應(yīng)用（實(shí)為函數(shù)性性質(zhì)與積分概念的有機(jī)結(jié)合，有這樣的功底，此題只需要40秒時(shí)間。在水木艾迪考研輔導(dǎo)教學(xué)及教材中，例如《2005考研數(shù)學(xué)應(yīng)試導(dǎo)引與進(jìn)階》（劉坤林等編寫，清華大學(xué)出版社2004年7月出版）。有許多此類題型與方法的訓(xùn)練。這樣的訓(xùn)練應(yīng)從函數(shù)初等性質(zhì)與定積分開始，例如水木艾迪2004暑期強(qiáng)化班第4-13題就是一個(gè)基礎(chǔ)性訓(xùn)練問(wèn)題：【正確解法】由輪換對(duì)稱性得到因此經(jīng)簡(jiǎn)單計(jì)算，園的面積是，于是。（30秒OK!）注：本題是水木艾迪2006考研數(shù)學(xué)教材原題（清華大學(xué)出版社）。例3-3：（）。(A)。(B)。(C)。(D)?！窘狻坑蓪?duì)稱性與積分概念，立即得知答案，選(B)。關(guān)于函數(shù)的廣義奇偶性（偶對(duì)稱與奇對(duì)稱）若的圖形有對(duì)稱軸，則應(yīng)有（將視為參數(shù)），令，則有，因此為偶函數(shù)。若的圖形有對(duì)稱中心，則應(yīng)有（將視為參數(shù)），令，則有，因此為奇函數(shù)。以上這種性質(zhì)稱為函數(shù)的廣義奇偶性或?qū)ΨQ性。例3-4（2007數(shù)2、3、4，本題滿分11分）設(shè)二元函數(shù)計(jì)算二重積分，其中?！窘狻?，其中為在第一象限部分。，其中，。；可用兩種方法計(jì)算：直角坐標(biāo)積分法：，或極坐標(biāo)積分法：。因此。點(diǎn)評(píng)：（1）分片定義的函數(shù)的積分可以分片計(jì)算；（2）用極坐標(biāo)計(jì)算會(huì)簡(jiǎn)單一點(diǎn)。（3）正確利用對(duì)稱性，可簡(jiǎn)化計(jì)算。參見水木艾迪相同例題參見水木艾迪2007模擬試題一套數(shù)二22題，2007模擬試題二套數(shù)二19題，數(shù)三18題。例3-5（2007數(shù)一）設(shè)曲面，則=____________?！窘狻浚ǚ椒?）由域與被積函數(shù)的對(duì)稱性有：（方法2）利用物理意義（方法3）化成二重積分考點(diǎn)：利用曲面積分概念及對(duì)稱性計(jì)算第一型曲面積分的基本計(jì)算題,木艾迪輔導(dǎo)中強(qiáng)調(diào)的星級(jí)考點(diǎn)。例4（體重估計(jì)問(wèn)題）本教室學(xué)生的最大體重者之體重大于58公斤。你作為檢測(cè)人員，如何制定檢測(cè)程序？其內(nèi)涵思想即是下題所用方法：例4-1設(shè)在上連續(xù)，且若，證明.[證]要證明，只須證明存在，使得。首先在上連續(xù)，必有最大最小值，又因此最大最小值不在端點(diǎn)取得，即存在，使得。其次，將在處展為Taylor公式進(jìn)行分析可得到結(jié)論。（2）設(shè)法了解命題策略與命題思路從上面幾個(gè)例題可以了解命題策略與命題思路的某些特點(diǎn)，水木艾迪考研輔導(dǎo)教學(xué)的全部?jī)?nèi)容與策略，就是引導(dǎo)考生作到對(duì)基本知識(shí)點(diǎn)理解的的準(zhǔn)確性、全面性和有效性，掌握綜合處理問(wèn)題的方法與技巧，特別是讓同學(xué)把握命題策略與命題思路，努力做到居高臨下的知識(shí)洞察力。我們進(jìn)一步看如下例題：例1（）。（A）.（B）.（C）.（D）不存在。[解]答案為（B）。由初等函數(shù)（）性質(zhì)，，使當(dāng)時(shí)，有，應(yīng)用夾逼定理得到。例2（2007數(shù)1，數(shù)2）設(shè)函數(shù)在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，令，，則下列結(jié)論正確的是（A）若，則必收斂（B）若，則必發(fā)散（C）若，則必收斂（D）若，則必發(fā)散【解】答案D。（方法1）畫出草圖，結(jié)論顯見。（方法2）證明D：，則,其中是某個(gè)確定的正數(shù)，于是存在使得，對(duì)任意，由，單調(diào)增加，得到，于是又存在使得，其中，因此，即必發(fā)散?？键c(diǎn)：用Lagrange定理分析函數(shù)性質(zhì)是水木艾迪考研數(shù)學(xué)強(qiáng)調(diào)的星級(jí)考點(diǎn)。參見水木艾迪考研數(shù)學(xué)36計(jì)例5-3，基礎(chǔ)班講義例4-42，例4-43，強(qiáng)化班第2講例28。（方法3）設(shè)=,則在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，，但發(fā)散，排除(C);設(shè)=,則在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但收斂，排除(B);又若設(shè)，則在上具有二階導(dǎo)數(shù)，且，但發(fā)散，排除(A).故應(yīng)選(D).例3（2007數(shù)1-1，數(shù)2、3、4中（B）為當(dāng)時(shí)，與等價(jià)的無(wú)窮小量是（A）（B）（C）（D）【解】答案B。（方法1）因此。（方法2），，，因此只有B正確。（方法3）=考點(diǎn)：泰勒公式與等價(jià)無(wú)窮小量的正確運(yùn)用，水木艾迪輔導(dǎo)的星級(jí)考點(diǎn)。參見水木艾迪考研數(shù)學(xué)36計(jì)例1-1，1-2，1-3等題目。例4（2007-數(shù)一、二、三、四共用）設(shè)函數(shù)在處連續(xù)，下列命題錯(cuò)誤的是（A）若存在，則（B）若存在，則（C）若存在，則存在（D）若存在，則存在【解】答案D?？键c(diǎn)：點(diǎn)連續(xù)概念，導(dǎo)數(shù)定義，無(wú)窮小量比階的概念與極限運(yùn)算法則。(D)的成立不一定保證導(dǎo)致可導(dǎo)的兩個(gè)極限存在。請(qǐng)看錯(cuò)誤做法：則存在。極限運(yùn)算法則錯(cuò)誤！例5（2006數(shù)2、3、4）設(shè)函數(shù)在處連續(xù),且,則【C】(A)且存在。(B)且存在。(C)且存在。(D)且存在【解析與點(diǎn)評(píng)】令，可得。于是進(jìn)一步有。應(yīng)選C。出自水木艾迪2006考研數(shù)學(xué)沖刺班36計(jì)例4-8，例4-9，基礎(chǔ)班例3.4,強(qiáng)化班第2講例14。還可參見清華大學(xué)出版社《大學(xué)數(shù)學(xué)考研清華經(jīng)典備考教程微積分上》（劉坤林、譚澤光編寫）第5章綜例5.3.2，例5.3.3。例6（2005-2-15：11分）設(shè)函數(shù)連續(xù)，且，求極限【解析與點(diǎn)評(píng)1】本題主要考點(diǎn)是：（1）含參積分處理方法；（2）極限分析計(jì)算與羅必達(dá)法則；（3）變限積分求導(dǎo)數(shù)；（4）積分中值定理。水木艾迪考研輔導(dǎo)班教學(xué)中含有不少此類例題，可參見基礎(chǔ)班綜合輔導(dǎo)第2講例2.21，例2.25,例2.27,水木艾迪考研輔導(dǎo)暑期強(qiáng)化班第4講例39-43，例55-56等例題，系列教材《2005考研數(shù)學(xué)應(yīng)試導(dǎo)引與進(jìn)階》中也有許多這樣的典型例題和方法，如例6.74,例6.78，例7.22等。劉坤林等編寫，清華大學(xué)出版社2004年7月出版。【解】首先取變換，則，因此 其中，時(shí)，上述第2個(gè)等號(hào)用了羅必達(dá)法則。例7設(shè)滿足,求的極值及漸近線。[解]令，則，于是。關(guān)于求導(dǎo)得到或。為駐點(diǎn)，為極大值，為單邊漸近線()。例8設(shè)在上連續(xù)，，且，，證明：至少存在兩點(diǎn)使得成立。[證]令，則又由的連續(xù)性可知，至少存在一點(diǎn)，使得即由Roll定理得，至少存在兩點(diǎn)使得成立即至少存在兩點(diǎn)。例9設(shè)，，則(A)在點(diǎn)不連續(xù).(B)在內(nèi)連續(xù)，但在點(diǎn)不可導(dǎo).(C)在內(nèi)可導(dǎo)，且滿足.(D)在內(nèi)可導(dǎo)，但不一定滿足. [B]【不可取的分析】先求分段函數(shù)的變限積分，再討論函數(shù)的連續(xù)性與可導(dǎo)性即可?！静恍枰脑斀狻慨?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，F(xiàn)(0)=0.即，于是在內(nèi)連續(xù)，但在點(diǎn)不可導(dǎo).故選(B).(3-5分鐘)【正確分析】可積，則