新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義7.1《不等關(guān)系與不等式》(原卷版)

§7.1不等關(guān)系與不等式最新考綱考情考向分析1.了解現(xiàn)實(shí)世界和日常生活中存在著大量的不等關(guān)系.2.了解不等式(組)的實(shí)際背景.以理解不等式的性質(zhì)為主，本節(jié)在高考中主要以客觀題形式考查不等式的性質(zhì)；以主觀題形式考查不等式與其他知識(shí)的綜合.屬低檔題.1.兩個(gè)實(shí)數(shù)比較大小的方法(1)作差法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a－b>0?ab,a－b＝0?ab,a－b<0?ab))(a，b∈R)(2)作商法eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(a,b)>1?ab,\f(a,b)＝1?ab,\f(a,b)<1?ab))(a∈R，b>0)2.不等式的基本性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)內(nèi)容特別提醒對(duì)稱性a>b??傳遞性a>b，b>c??可加性a>b??可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>0))?注意c的符號(hào)eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c<0))?同向可加性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b,c>d))??同向同正可乘性eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a>b>0,c>d>0))??可乘方性a>b>0?(n∈N＋，n>1)a，b同為正數(shù)可開(kāi)方性a>b>0?(n∈N＋，n>1)3.不等式的一些常用性質(zhì)(1)倒數(shù)的性質(zhì)①a>b，ab>0?eq\f(1,a)eq\f(1,b).②a<0<b?eq\f(1,a)eq\f(1,b).③a>b>0,0<c<d?eq\f(a,c)eq\f(b,d).④0<a<x<b或a<x<b<0?eq\f(1,b)eq\f(1,x)eq\f(1,a).(2)有關(guān)分?jǐn)?shù)的性質(zhì)若a>b>0，m>0，則①eq\f(b,a)<eq\f(b＋m,a＋m)；eq\f(b,a)>eq\f(b－m,a－m)(b－m>0).②eq\f(a,b)>eq\f(a＋m,b＋m)；eq\f(a,b)<eq\f(a－m,b－m)(b－m>0).概念方法微思考1.若a>b，且a與b都不為0，則eq\f(1,a)與eq\f(1,b)的大小關(guān)系確定嗎？2.兩個(gè)同向不等式可以相加和相乘嗎？題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)兩個(gè)實(shí)數(shù)a，b之間，有且只有a>b，a＝b，a<b三種關(guān)系中的一種.()(2)若eq\f(a,b)>1，則a>b.()(3)一個(gè)不等式的兩邊同加上或同乘以同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)方向不變.()(4)a>b>0，c>d>0?eq\f(a,d)>eq\f(b,c).()(5)ab>0，a>b?eq\f(1,a)<eq\f(1,b).()題組二教材改編2.若a，b都是實(shí)數(shù)，則“eq\r(a)－eq\r(b)>0”是“a2－b2>0”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件3.設(shè)b<a，d<c，則下列不等式中一定成立的是()A.a－c<b－d B.ac<bdC.a＋c>b＋d D.a＋d>b＋c題組三易錯(cuò)自糾4.若a>b>0，c<d<0，則一定有()A.eq\f(a,c)－eq\f(b,d)>0 B.eq\f(a,c)－eq\f(b,d)<0C.eq\f(a,d)>eq\f(b,c) D.eq\f(a,d)<eq\f(b,c)5.設(shè)a，b∈R，則“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的()A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件6.若－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則α－β的取值范圍是__________.題型一比較兩個(gè)數(shù)(式)的大小例1(1)若a<0，b<0，則p＝eq\f(b2,a)＋eq\f(a2,b)與q＝a＋b的大小關(guān)系為()A.p<qB.p≤qC.p>qD.p≥q(2)已知a>b>0，比較aabb與abba的大小.跟蹤訓(xùn)練1(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，則M，N的大小關(guān)系為_(kāi)_______.(2)若a>0，且a≠7，則()A.77aa<7aa7B.77aa＝7aa7C.77aa>7aa7D.77aa與7aa7的大小不確定題型二不等式的性質(zhì)例2(1)對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，c，d，下列命題中正確的是()A.若a>b，c≠0，則ac>bcB.若a>b，則ac2>bc2C.若ac2>bc2，則a>bD.若a>b，則eq\f(1,a)<eq\f(1,b)(2)已知四個(gè)條件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出eq\f(1,a)<eq\f(1,b)的是______.(填序號(hào))跟蹤訓(xùn)練2(1)已知a，b，c滿足c<b<a，且ac<0，那么下列選項(xiàng)中一定成立的是()A.ab>ac B.c(b－a)<0C.cb2<ab2 D.ac(a－c)>0(2)若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列不等式：①a＋b<ab；②|a|>|b|；③a<b；④ab<b2中，正確的不等式有________.(填序號(hào))題型三不等式性質(zhì)的應(yīng)用命題點(diǎn)1應(yīng)用性質(zhì)判斷不等式是否成立例3已知a>b>0，給出下列四個(gè)不等式：①a2>b2；②2a>2b－1；③eq\r(a－b)>eq\r(a)－eq\r(b)；④a3＋b3>2a2b.其中一定成立的不等式為()A.①②③ B.①②④C.①③④ D.②③④命題點(diǎn)2求代數(shù)式的取值范圍例4已知－1<x<4,2<y<3，則x－y的取值范圍是________，3x＋2y的取值范圍是________.引申探究若將本例條件改為－1<x＋y<4，2<x－y<3，求3x＋2y的取值范圍.跟蹤訓(xùn)練3(1)若a<b<0，則下列不等式一定成立的是()A.eq\f(1,a－b)>eq\f(1,b) B.a2<abC.eq\f(|b|,|a|)<eq\f(|b|＋1,|a|＋1) D.an>bn(2)已知－1<x<y<3，則x－y的取值范圍是________.一、選擇題1.下列命題中，正確的是()A.若a>b，c>d，則ac>bdB.若ac>bc，則a>bC.若eq\f(a,c2)<eq\f(b,c2)，則a<bD.若a>b，c>d，則a－c>b－d2.若eq\f(1,a)<eq\f(1,b)<0，則下列結(jié)論正確的是()A.a2>b2 B.1>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))b>eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))aC.eq\f(b,a)＋eq\f(a,b)<2 D.aeb>bea3.若a>b>0，則下列不等式中一定成立的是()A.a＋eq\f(1,b)>b＋eq\f(1,a) B.eq\f(b,a)>eq\f(b＋1,a＋1)C.a－eq\f(1,b)>b－eq\f(1,a) D.eq\f(2a＋b,a＋2b)>eq\f(a,b)4.(2018·沈陽(yáng)模擬)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，則下列不等式成立的是()A.xy>yz B.xz>yzC.xy>xz D.x|y|>z|y|5.設(shè)x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sinx＋cosx)2，則()A.P>Q B.P<QC.P≤Q D.P≥Q6.若α，β滿足－eq\f(π,2)<α<β<eq\f(π,2)，則2α－β的取值范圍是()A.－π<2α－β<0 B.－π<2α－β<πC.－eq\f(3π,2)<2α－β<eq\f(π,2) D.0<2α－β<π7.設(shè)0<b<a<1，則下列不等式成立的是()A.ab<b2<1 SKIPIF1<0C.2b<2a<2 D.a2<ab<18.若a＝eq\f(ln3,3)，b＝eq\f(ln4,4)，c＝eq\f(ln5,5)，則()A.a<b<c B.c<b<aC.c<a<b D.b<a<c9.已知實(shí)數(shù)x，y滿足ax>ay(0<a<1)，則下列關(guān)系式恒成立的是()A.ln(x2＋1)>ln(y2＋1)B.sinx>sinyC.x3<y3D.eq\f(1,x2＋1)>eq\f(1,y2＋1)10.設(shè)0<b<a<1，則下列不等式成立的是()A.alnb>blna B.alnb<blnaC.aeb<bea D.aeb＝bea二、填空題11.已知a＋b>0，則eq\f(a,b2)＋eq\f(b,a2)與eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)的大小關(guān)系是________.12.已知有三個(gè)條件：①ac2>bc2；②eq\f(a,c)>eq\f(b,c)；③a2>b2，其中能成為a>b的充分條件的是________.13.已知a，b，c，d均為實(shí)數(shù)，有下列命題：①若ab>0，bc－ad>0，則eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0；②若ab>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則bc－ad>0；③若bc－ad>0，eq\f(c,a)－eq\f(d,b)>0，則ab>0.其中正確的命題是________.(填序號(hào))14.設(shè)α∈eq\b\l