促進《數(shù)學分析》習題課高效教學的探討

促進《數(shù)學分析》習題課高效教學的探討促進?數(shù)學分析》習題課高效教學的探討

中圖分類號：G642；O17-4文獻標識碼：A文章編號：2095-2457〔2022〕03-0060-002

Discussionofpromotingtheefficientteachingofmathematicalanalysisexerciseclass

LIAOChun-yan

〔DepartmentofMathematics，SchoolofScience，HunanUniversityofScienceandTechnology，Yongzhou425199，China〕

【Abstract】Mathematicalanalysisexercisesclassisanimportantpartofmathematicalanalysisteaching.Itcannotonlystrengthentheunderstandingofconceptsbutalsoflexiblyapplytheconcepts，theorems，andpropertiesinvolvedinthethecurriculumtosolvethemathematicalproblems.Asanimportantteachingcompensationmeans，exercisesclassisparticularlyimportantinthemathematicalanalysis，whichisrelativelyabstract，complex，diversifiedcomputingskills.

【Keywords】MathematicalAnalysis；MathematicalConcepts；MathematicalSkills

數(shù)學家王梓坤院士曾說：“對于數(shù)學，練習尤其重要。通過練習，不僅可以增加知識，更重要的是，可以培養(yǎng)我們解決問題的能力。不做足夠多而且有一定難度的練習題，是不可能學好數(shù)學的〞。

數(shù)學分析課程的特點是邏輯性強，抽象，內(nèi)容深刻、細致；在課堂上能聽懂，能看得懂，但是一旦做題卻無從下手[1]。這是因為數(shù)學分析中的計算技巧性非常強，只了解該課程中的根本的理論和辦法，不掌握相應的計算技巧，是很難順利解決問題的。論證訓練是數(shù)學分析課程中最根本的，也是最應重視的內(nèi)容之一，也是最難的內(nèi)容之一。習題課作為一種重要的教學補償伎倆，在數(shù)學分析課程中尤其重要。

習題課可以有多種多樣的發(fā)展方式，但是真正上好習題并不是一件容易的事情，如果不認真安頓，不合理設計，就達不到預期的效果。上好一節(jié)習題課，并不是單純的多講解幾道習題，而是要教會學生如何更加深刻的理解書上的概念和知識，并且靈活的應用書上的知識解決問題，同時能夠把握知識點之間的聯(lián)系，從而更高層次的理解《笛Х治鮒械母拍睢⒍《理。

1精選習題，增進數(shù)學分析概念的理解，滲透數(shù)學思想教育

數(shù)學分析中的概念很抽象，比方一致連續(xù)和連續(xù)的概念，一致收斂和收斂的概念，第一型曲線積分及第二型曲線積分的概念等等，僅僅從概念的字面意思上我們是很難辨別兩個概念之間的區(qū)別，所以我們在課堂上不僅要選擇適宜的例題，在習題課中需注重加深這類鄰近概念的區(qū)別理解。針對學生掌握知識能力的實際，對于學生容易混同的概念，計算時容易出錯之處，都應該適時適當?shù)脑诹曨}課中安頓，給予充沛體現(xiàn)。

示例求曲面積分〔x+y+z〕dσ，其中S為球面x2+y2+z2=a2〔a>0〕，我們在求解該曲面積分的時候很自然的將x2+y2+z2=a2代入積分式子，有

〔x2+y2+z2〕dσ=a2dσ=a2dσ=4πa，

但是如果換成求積分〔x2+y2+z2〕dv時，其中Ω為x2+y2+z2=a2〔a>0〕所圍成的閉區(qū)域，很多同學在做本題的過程中，也將x2+y2+z2=a2代入上面的式子，得

〔x2+y2+z2〕dv=a2dv=πa6

而造成錯誤。導致錯誤的基本原因就是學生對兩類曲面積分的概念和三重積分的概念了解的不是很透徹，造成做題的錯誤。實際上曲面積分是對面積的積分，自然可以將x2+y2+z2=a2〔a>0〕代入被積函數(shù)，而三重積分是對該曲面所圍成的區(qū)域求積分，也就是球面x2+y2+z2=a2〔a>0〕所圍成的整個球體內(nèi)部，自然不能簡單的將球面方程代入。所以在習題課中，我們應根據(jù)這些容易混同，容易出錯，概念不容易辨別的地方，通過習題課加強概念的理解，通過比照強化概念的理解。

2注重習題的多變、開放與創(chuàng)新

習題課可以加深對所學概念的理解，培養(yǎng)學生準確概括的思維能力。所以在習題課中，任課教師應該認真對待選題工作，做到新穎靈活、多變開放、激勵學生打破常規(guī)銳意創(chuàng)新，使學生在多元的練習題中，提高思維的靈活性及發(fā)明性。也可以加強學生一題多解，一題多變的訓練。

示例求不定積分？蘩dx，我們慣常的做法是用第二類換元法，令x=2sint，但是事實上這道題目卻有近十種的解題思路，示例令t=，或者將原式化成？蘩dx，再令x=進行求解，在課堂上我們是無法做到將全部的辦法進行講解，這就要求在習題課中，老師應該盡量激勵學生發(fā)散思維，從多角度進行思考，培養(yǎng)學生解決問題的能力。在數(shù)學分析中，很多題目只要稍微改變了下條件，做題的方式完全不同。示例求三重積分？蘩？蘩？蘩Ωzdxdydz，其中Ω是由z=x2+y2和z=1所圍成的閉區(qū)域。這道題目常用“截面法〞或“投影法〞去做，學生往往只選擇其中一種辦法進行求解，求解出來了就不論了，老師應該激勵學生同時用兩種辦法去求。在求解的過程中學生不難發(fā)現(xiàn)用截面法去求解更加容易，老師進一步激勵學生總結(jié)為什么這道題目用“截面法〞來做更加容易呢？學生在做題的過程中不難發(fā)現(xiàn)當被積函數(shù)僅僅是關于z的函數(shù)，且截面積D〔z〕容易求解的時候用“截面法〞更加容易。同時們也可以改換一下被積函數(shù)，將其換成？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz，還是用“截面法〞嗎？引導學生回憶三重積分的性質(zhì)，我們發(fā)現(xiàn)被奇函數(shù)僅僅是關于的函數(shù)，而其積分區(qū)域關于平面yoz對稱，很快得出其結(jié)論？蘩？蘩？蘩Ωxdxdydz=0，這樣極大的簡化了我們的運算。

在習題課中，讓學生對知識進行系統(tǒng)的概括，體會以及靈活應用。所選習題針對所學的內(nèi)容改其一點，或者有步驟的改多個知識點，對重點深入研討，以求得到新的結(jié)果。

3注重數(shù)學技能的培養(yǎng)

什么是數(shù)學技能？數(shù)學技能就是解題問題的能力，不僅能解決一般的問題，而且能解決需要某種程度的獨立思考、判斷力和想象力的問題。在數(shù)學分析課程中，學生的普遍的感受是難及抽象，似乎能理解，又似乎不知道從哪里下手做題。很多教師經(jīng)過多年的教學，內(nèi)容熟悉了，題目見得多，做的多，自然而然一看就會。這也導致很多教師在教學中忽略了對數(shù)學技能的研究，不足對學生適當?shù)囊龑?。如果教師本身講究解題策略，卻不能很好的引導學生如何去解題，學生也未必能有廣大的思路，快速解決問題。教師的作用在于善于引導學生，啟發(fā)學生，學生和老師的共同配合，才能到達更加理想化的解題思路，主動思考，發(fā)現(xiàn)問題，提出疑問，解決問題，從而提升自己的解題能力。

示例在講授高斯公式的應用中，計算zdxdy，其中∑為上半球面x2+y2+z2=1，高斯公式需要封閉的曲面，如果滿足不了封閉性，怎么辦？補一個曲面z=0，補了之后怎么辦呢？借了要還，將借的曲面減去即可，有

zdxdy=zdxdy-zdxdy=πa3。

4充沛了解學生實際，優(yōu)化教學模式

現(xiàn)今，像我校這類地方性本科院校，生源總體水平下降，數(shù)學專業(yè)的很多學生都是調(diào)劑過來，還有很多職高對口的學生，學生之間差別較大，而教師相對缺乏，《笛Х治隹緯探萄《難度大，教學課時多，面對這種情況，如何保證數(shù)學分析課程的教學質(zhì)量是我們目前急需解決的難題。為此，我們可以通過一段時間的教學，充沛了解學生的實際，針對不同的學生的學習情況，及對專業(yè)知識掌握的程度，在習題課教學中采用分層次小班教學，可以按照不同的教學目的，教學要求，有針對性的講解習題。

示例教師在習題課程中可以給學生提供至少三種練習題：根底題、提高題、綜合性技巧性的難題。學生可以依據(jù)自身的實際，選擇適當?shù)念}做，但是現(xiàn)在多數(shù)高校的開課都是大班上課，如果要兼顧到每一位同學，是很難的，所以我們可以適當?shù)睦貌煌问降牡诙n堂，將課堂上無法全面兼顧的內(nèi)容移過來，開設多樣化，多層次，多內(nèi)容的習題課的第二課堂