2020屆安徽省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟高三下學(xué)期卷數(shù)學(xué)（文）試題

/20/20/2020屆安徽省名校學(xué)術(shù)聯(lián)盟高三下學(xué)期押題卷數(shù)學(xué)（文）試題一、單選題1．（）A． B． C． D．【答案】C【解析】直接利用復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算化簡(jiǎn)即可.【詳解】解：．故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.2．已知集合，，則（）A． B． C． D．【答案】A【解析】直接找兩個(gè)集的公共元素即可.【詳解】解：因?yàn)榧?，，所以．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查集合的交集運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.3．若雙曲線：的實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的一半，則（）A． B． C．4 D．2【答案】C【解析】先將雙曲線的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出其實(shí)軸長(zhǎng)和虛軸長(zhǎng)，再利用實(shí)軸長(zhǎng)等于虛軸長(zhǎng)的一半，列方程可求出的值.【詳解】解：雙曲線：化為標(biāo)準(zhǔn)方程是：，由于實(shí)軸長(zhǎng)是虛軸長(zhǎng)的一半，故，解得.故選:C.【點(diǎn)睛】此題考查的是雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及基本概念，屬于基礎(chǔ)題.4．已知向量，滿足，，且在方向上的投影是，則實(shí)數(shù)（）A．2 B． C．1 D．【答案】D【解析】由題意可得，則可求得的值，代入向量的投影公式，化簡(jiǎn)可得結(jié)果.【詳解】由題意得，則在方向上的投影是，化簡(jiǎn)得，得，解得（舍去）或.所以.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查向量的坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義，需熟記投影的求法，屬基礎(chǔ)題.5．《數(shù)書九章》是我國(guó)宋代數(shù)學(xué)家秦九韶的著作，其中給出了求多項(xiàng)式值的秦九韶算法，如圖所示的程序框圖給出了一個(gè)利用秦九韶算法求某多項(xiàng)式值的實(shí)例，若輸入的，則輸出的值是（）A．22 B．46 C．94 D．190【答案】C【解析】由題意，模擬程序的運(yùn)行，依次寫出每次循環(huán)得到的的值，當(dāng)時(shí)，不滿足，結(jié)束循環(huán)，輸出.【詳解】解：模擬程序的運(yùn)行過程如下，輸入，，，，；，；，；，；，此時(shí)不滿足循環(huán)條件輸出.則輸出的值是94.故選：C.【點(diǎn)睛】此題考查了循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖的應(yīng)用，正解依次寫出每次循環(huán)得到的的值是解此題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題.6．在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，已知，，，則角的度數(shù)為（）A． B． C．或 D．【答案】B【解析】先由正弦定理求出角B，然后利用三角形內(nèi)角和定理求出角C即可.【詳解】由正弦定理，即，所以，因?yàn)?，故，故．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查利用正弦定理解三角形，側(cè)重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的理解和掌握，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.7．如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形內(nèi)有一個(gè)邊長(zhǎng)為1的正三角形，則向正方形中隨機(jī)投入一個(gè)點(diǎn)，其落在陰影部分的概率為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】利用幾何概型概率公式即可求解.【詳解】向正方形中隨機(jī)投入一個(gè)點(diǎn)，其落在陰影部分正三角形內(nèi)的概率為.故選:A.【點(diǎn)睛】本題主要考查了面積型幾何概型概率公式，屬于基礎(chǔ)題.8．函數(shù)的最大值是（）A． B．5 C．6 D．1【答案】B【解析】先由余弦的二倍角公式對(duì)函數(shù)化簡(jiǎn)，統(tǒng)一成余弦，然后配方利用余弦函數(shù)的有界性可求得其最大值.【詳解】，當(dāng)，即時(shí)，．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查了余弦的二倍角公式，配方法，屬于基礎(chǔ)題.9．偶函數(shù)對(duì)于任意實(shí)數(shù)x，都有成立，并且當(dāng)時(shí)，，則（）A． B．C． D．【答案】C【解析】推導(dǎo)出函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，可得出，代值計(jì)算可求得結(jié)果．【詳解】由于函數(shù)為上的偶函數(shù)，則，，所以，函數(shù)是以為周期的周期函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，所以，．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的周期性求函數(shù)值，利用函數(shù)的對(duì)稱性推導(dǎo)出函數(shù)的周期是解答的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．10．在長(zhǎng)方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】C【解析】連接，則可證是異面直線與所成角，在直角三角形中通過計(jì)算即可得結(jié)果.【詳解】連接，如圖所示：因?yàn)椋?，所以四邊形是平行四邊形，所以，故是異面直線與所成角，因?yàn)椋?，，分別是，的中點(diǎn)，所以，由勾股定理，得，在中，，，則.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查異面直線所成的角問題，考查了轉(zhuǎn)化與化歸的思想.求異面直線所成角的步驟：1.平移，將兩條異面直線平移成相交直線；2.定角，根據(jù)異面直線所成角的定義找出所成角；3.求角，在三角形中用余弦定理或正弦定理或三角函數(shù)求角；4.下結(jié)論．11．已知實(shí)數(shù)是給定的常數(shù)，函數(shù)的圖像不可能是（）A． B．C． D．【答案】B【解析】令時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)可得其在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以排除B，然后分別對(duì)和時(shí)，對(duì)函數(shù)求導(dǎo)求其單調(diào)區(qū)間，可知A,C,D都有可能.【詳解】，，當(dāng)時(shí)，令，得；令，得或.故函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，B項(xiàng)圖像不符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，A，C項(xiàng)圖像有可能符合題意；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，D項(xiàng)圖像有可能符合題意故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查函數(shù)圖像的識(shí)別與判斷，導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.12．如圖，已知，分別是橢圓：的左、右焦點(diǎn)，過的直線與過的直線交于點(diǎn)，線段的中點(diǎn)為，線段的垂直平分線與的交點(diǎn)（第一象限）在橢圓上，若為坐標(biāo)原點(diǎn)，則的取值范圍為（）A． B． C． D．【答案】D【解析】利用三角形的中位線、線段的中垂線、橢圓的定義對(duì)轉(zhuǎn)化，用P點(diǎn)的坐標(biāo)表示，通過P點(diǎn)在第一想象的范圍，求出范圍.【詳解】如圖所示，點(diǎn)在軸右邊，因?yàn)闉榈拇怪逼椒志€，所以．由中位線定理可得．設(shè)點(diǎn)．由兩點(diǎn)間的距離公式，得，同理可得，所以，故，因?yàn)?，，所以，故，所以．因?yàn)?，所以．故的取值范圍為．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的定義、直線和橢圓的關(guān)系、三角形中位線和線段的中垂線的幾何性質(zhì)，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于難題.二、填空題13．年新型冠狀病毒疫情期間，某機(jī)構(gòu)調(diào)查了甲、乙兩所醫(yī)院各名治愈出院患者的住院天數(shù)，繪制成莖葉圖如圖所示，則甲，乙兩所醫(yī)院各名治愈出院患者的住院天數(shù)的中位數(shù)之和是______.【答案】【解析】根據(jù)莖葉圖分別計(jì)算出甲、乙兩所醫(yī)院各名治愈出院患者的住院天數(shù)的中位數(shù)，相加即可得出結(jié)果.【詳解】甲醫(yī)院名治愈出院患者的住院天數(shù)的中位數(shù)是，乙醫(yī)院名治愈出院患者的住院天數(shù)的中位數(shù)是.故中位數(shù)之和為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用莖葉圖計(jì)算中位數(shù)，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．若，滿足約束條件，則的最大值為______.【答案】11【解析】作出不等式組表示的可行域,根據(jù)幾何意義求出目標(biāo)函數(shù)的最值;【詳解】解:作出不等式組，表示的可行域如圖陰影部分所示：平移直線，易知當(dāng)直線經(jīng)過可行域內(nèi)的點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值，且.故答案為:【點(diǎn)睛】本題簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃，考查數(shù)形結(jié)合思想，屬于基礎(chǔ)題.15．已知，則______．【答案】3【解析】把所求角轉(zhuǎn)化為已知角和特殊角的差，利用兩角差的正切公式即可求出結(jié)果.【詳解】故答案為：3【點(diǎn)睛】本題考查了兩角差的正切公式、特殊角的三角函數(shù)、角的轉(zhuǎn)化，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力、邏輯推理能力和轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于簡(jiǎn)單題目.16．已知三棱錐中，側(cè)棱底面，，，則三棱錐的外接球的表面積為______．【答案】【解析】根據(jù)三棱錐的結(jié)構(gòu)特征，利用補(bǔ)形法，得到三棱錐的外接球與正方體的外接球同一個(gè)，再求球的半徑，代入球的表面積公式，即可得到答案；【詳解】如圖所示，三棱錐可補(bǔ)形為一個(gè)邊長(zhǎng)為2的正方體，則三棱錐的外接球的半徑為．故三棱錐的外接球的表面積為．故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查球的表面積計(jì)算，考查空間想象能力、運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意補(bǔ)形法可快速求出三棱錐外接球的半徑.三、解答題17．已知數(shù)列為等差數(shù)列，，.（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）設(shè)數(shù)列的公差為，根據(jù)題意得到關(guān)于的方程，求出它們的值，再代入通項(xiàng)公式，即可得答案；（2）利用裂項(xiàng)相消法求和；【詳解】（1）設(shè)數(shù)列的公差為.由，得，解得.故.（2），所以.【點(diǎn)睛】本題考查等差數(shù)列基本量運(yùn)算、裂項(xiàng)相消法求和，考查運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.18．如圖所示，在四棱錐中，平面，是線段的中垂線，與交于點(diǎn)，，，，．（1）證明：平面平面；（2）求點(diǎn)到平面的距離．【答案】（1）證明見解析；（2）．【解析】（1）由已知線面垂直可得，結(jié)合，可得平面，即可證明結(jié)論.（2）根據(jù)已知求出三棱錐的體積，以及的面積，利用三棱錐的等體積法，即可求出到平面的距離.【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，所以．又因?yàn)?，，所以平面．又平面，所以平面平面．?）因?yàn)?，，，，所以由勾股定理得，．所以，．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由，得，即，解得．【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的性質(zhì)、線面垂直的判定、面面垂直的判定、利用三棱錐的等體積法求點(diǎn)到平面的距離等基本知識(shí)，考查了空間想象能力，數(shù)學(xué)運(yùn)算能力和邏輯推理能力，屬于中檔題.19．某學(xué)校六年級(jí)1?2兩個(gè)班級(jí)同時(shí)進(jìn)行一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試，已知滿分100分，分?jǐn)?shù)不小于60視為及格，否則視為不及格，現(xiàn)隨機(jī)抽取兩個(gè)班級(jí)各40名學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)，其結(jié)果如下表：數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試分?jǐn)?shù)1班的學(xué)生數(shù)11910732班的學(xué)生數(shù)881635（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別估計(jì)六年級(jí)1?2兩個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試的及格率；（2）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概率不超過的情況下認(rèn)為此次數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試中學(xué)生數(shù)學(xué)及格與班級(jí)有關(guān)？1班2班合計(jì)及格不及格合計(jì)（3）若按高分(大于等于80分為高分)與非高分的比例，從1班考試的分?jǐn)?shù)中抽取4個(gè)分?jǐn)?shù)，從2班考試的分?jǐn)?shù)中抽取5個(gè)分?jǐn)?shù)，記事件：從上面4個(gè)1班考試的分?jǐn)?shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，且都不是高分；事件：從上面5個(gè)2班考試的分?jǐn)?shù)中隨機(jī)抽取2個(gè)，一個(gè)是高分，一個(gè)不是高分.試通過計(jì)算說明這兩個(gè)事件中哪一個(gè)事件發(fā)生的概率大.附：，其中.【答案】（1）1班%，2班%；（2）列聯(lián)表答案見解析，不能；（3）事件.【解析】（1）直接利用及格率的公式求解；（2）完成列聯(lián)表，再利用獨(dú)立性檢驗(yàn)得到不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的情況下認(rèn)為此次競(jìng)賽考試的分?jǐn)?shù)及格與班級(jí)有關(guān)；（3）利用古典概型的概率公式求出,即得解.【詳解】（1）根據(jù)表中數(shù)據(jù)，分別估計(jì)六年級(jí)1班數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試的及格率為%，2班數(shù)學(xué)競(jìng)賽考試的及格率為%.（2）列聯(lián)表如下：1班2班合計(jì)及格293261不及格11819合計(jì)404080則的觀測(cè)值為.所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過的情況下認(rèn)為此次競(jìng)賽考試的分?jǐn)?shù)及格與班級(jí)有關(guān).（3）由題意，若按高分(大于等于80分為高分)與非高分的比例，則抽取了4個(gè)1班分?jǐn)?shù)，5個(gè)2班分?jǐn)?shù)，其中1?2班抽取的分?jǐn)?shù)中均含有1個(gè)是高分，設(shè)這4個(gè)1班分?jǐn)?shù)分別為，，，，其中，，代表不是高分，代表是高分，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，則所有可能的情況為，，，，，共6種，事件包含3種，故.設(shè)這5個(gè)2班分?jǐn)?shù)分別為，，，，，其中，，，代表不是高分，代表是高分，從中隨機(jī)抽取2個(gè)，則所有可能的情況為，，，，，，，，，共10種，事件包含4種，故.所以事件發(fā)生的概率大.【點(diǎn)睛】本題主要考查獨(dú)立性檢驗(yàn)的應(yīng)用，考查古典概型的概率的求法，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平.20．已知拋物線：經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與拋物線交于，兩點(diǎn).（1）求拋物線的方程；（2）在拋物線上是否存在定點(diǎn)，使得？若存在，求出點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.【答案】（1）；（2）存在，.【解析】（1）由拋物線過點(diǎn)，代入即可解得；（2）依題意，設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為，聯(lián)立直線與拋物線消去，列出韋達(dá)定理由，即，再結(jié)合，，，整理可得；【詳解】解：（1）因?yàn)閽佄锞€：經(jīng)過點(diǎn)，所以，解得.所以拋物線的方程是.（2）根據(jù)題意.設(shè)點(diǎn)，，直線的方程為.聯(lián)立消去得，則.則，.設(shè)點(diǎn)，因?yàn)?，即，結(jié)合，，，得，即，化簡(jiǎn)得，解得.所以，所以拋物線上存在定點(diǎn)，使得.【點(diǎn)睛】本題考查待定系數(shù)法求拋物線方程，直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.21．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)在區(qū)間上的最值;（2）若，且對(duì)任意恒成立，求的最大值（參考數(shù)據(jù)：）【答案】（1），；（2）．【解析】（1）首先求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，求出函數(shù)的單調(diào)性從而求得函數(shù)的最值；（2）依題意可得對(duì)任意恒成立，參變分離可得對(duì)任意恒成立．令利用導(dǎo)數(shù)說明其單調(diào)性，求出函數(shù)的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】解：（1）的定義域?yàn)?，，令，得；令，得，所以函?shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增．又，，顯然，所以，．（2）因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立，所以對(duì)任意恒成立．令，則．由于，所以在上單調(diào)遞增．又，，所以存在唯一的，使得，且當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．所以．又，即，所以．所以．因?yàn)?，所以又因?yàn)閷?duì)任意恒成立，所以．又，所以．【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值，以及不等式恒成立問題，屬于中檔題.22．在平面直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線的極坐標(biāo)方程為.（1）當(dāng)時(shí)，判斷直線與曲線的位置關(guān)系；（2）若直線與曲線相交所得的弦長(zhǎng)為，求的值.【答案】（1）相離；（2）或.【解析】（1）根據(jù)參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與普通方程的關(guān)系，進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解即可，利用圓心到直線的距離與半徑比較，得出直線與圓的位置關(guān)系.（2）由垂徑定理，得出圓心到直線的距離，進(jìn)而求出直線方程中參數(shù)的值.【詳解】（1）由得，所以曲線的普通方程為.當(dāng)時(shí)，由，得，得，得，代入公式得，即.故直線的直角坐標(biāo)方程為.因?yàn)閳A心到直線：的距離為.所以直線與圓相離.（2）由，得，代入公式得，即.由垂徑定理，得圓心到直線：的距離為.再由點(diǎn)到直線間的距離公式，得，解得或.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程和極坐標(biāo)方程與普通方程的轉(zhuǎn)化、直線和圓的位置關(guān)系、垂徑