2020屆江蘇省南通市如皋中學(xué)高三創(chuàng)新班下學(xué)期高考沖刺模擬（三）數(shù)學(xué)試題

/27/27/2020屆江蘇省南通市如皋中學(xué)高三創(chuàng)新班下學(xué)期高考沖刺模擬（三）數(shù)學(xué)試題一、填空題1．已知三角形，，且，則三角形面積的最大值為______.【答案】【解析】首先根據(jù)正弦定理化簡以及將，代入化簡，利用余弦定理角，再利用基本不等式求得的最大值.【詳解】，利用正弦定理可得，，，，,，即，，所以面積的最大值是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查正余弦定理，以及三角形面積公式，基本不等式求最值，屬于中檔題型，熟練掌握定理及公式是解題的關(guān)鍵.2．已知，，則的取值范圍______.【答案】【解析】由向量模的幾何意義，分別求出向量和的軌跡，再利用模的幾何意義求的取值范圍.【詳解】首先建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，，，是以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓，設(shè)其上任一點(diǎn)為點(diǎn)，以點(diǎn)為圓心，半徑為2作圓，設(shè)圓上任一點(diǎn)為點(diǎn)，連接，即，如圖，表示兩圓圓上的點(diǎn)的連線，的最大值是圓心距加兩個(gè)圓的半徑，最小值是圓心距減兩個(gè)圓的半徑，所以的取值范圍是.故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)向量的幾何意義求取值范圍，重點(diǎn)考查數(shù)形結(jié)合分析問題的能力，屬于中檔題型.3．設(shè)函數(shù)，若對于任意正實(shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______.【答案】【解析】先由題意，得到，令，，根據(jù)函數(shù)單調(diào)性，得到在上單調(diào)遞減，得出，結(jié)合絕對值的幾何意義，分別討論，兩種情況，求出的范圍，即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)閷τ谌我庹龑?shí)數(shù)和實(shí)數(shù)，總存在，使得，所以，只需，令，，因?yàn)闉檎龑?shí)數(shù)，所以與單調(diào)遞減，因此函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以，因?yàn)椋?，因此，由絕對值的幾何意義可得，表示數(shù)軸上的數(shù)與的距離，又，即與的中點(diǎn)值為，若，根據(jù)絕對值的幾何意義，可知的最大值為，因?yàn)?，所以，因此為使原不等式恒成立，只需；若，根?jù)絕對值的幾何意義，可知的最大值為，因?yàn)?，所以，因此為使原不等式恒成立，只需；綜上，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查求絕對值不等式中的參數(shù)范圍，根據(jù)絕對值的幾何意義求解即可，涉及由單調(diào)性求函數(shù)的值域，屬于?？碱}型.4．已知正實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為__________【答案】【解析】先由以及基本不等式得范圍，再利用將轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)，最后根據(jù)函數(shù)單調(diào)性求得結(jié)果.【詳解】解：正實(shí)數(shù)，滿足，，可得.則.令，.即有，又函數(shù)在上單調(diào)遞減，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查均值不等式的應(yīng)用，考查了函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題.5．已知過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，過點(diǎn)的直線與相交于點(diǎn)，若直線與圓相切，則直線與的交點(diǎn)的軌跡方程為__________.【答案】【解析】【詳解】設(shè)直線AC，BD的斜率分別為，則直線AC，BD的方程分別為：，據(jù)此可得：，則：，直線CD的方程為：，整理可得：直線與圓相切，則：，據(jù)此可得：，由于：，兩式相乘可得：即直線與的交點(diǎn)的軌跡方程為.點(diǎn)睛：求軌跡方程，要注意曲線上的點(diǎn)與方程的解是一一對應(yīng)關(guān)系，檢驗(yàn)應(yīng)從兩個(gè)方面進(jìn)行：一是方程的化簡是否是同解變形；二是是否符合實(shí)際意義，注意軌跡上特殊點(diǎn)對軌跡的“完備性與純粹性”的影響.6．已知雙曲線：的左右頂點(diǎn)分別為、，是上一點(diǎn)，且△為等腰三角形，其外接圓的半徑為，則雙曲線的離心率為______.【答案】【解析】若M在第一象限，令，由條件可知△中、即可求得，進(jìn)而得到，結(jié)合雙曲線方程可得，根據(jù)雙曲線的離心率公式即可求得離心率【詳解】由題意，可得如下示意圖：若M在第一象限由已知有：，令且△外接圓的半徑為，∴根據(jù)正弦定理：，即，故，又余弦定理知：，即有，∴，由M在E上，則，有，又，∴，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了求雙曲線離心率，根據(jù)雙曲線上的三點(diǎn)構(gòu)成等腰三角形及其外接圓半徑，結(jié)合正余弦定理求未知點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在曲線上，以及雙曲線參數(shù)關(guān)系、離心率公式求離心率7．已知為銳角三角形的外心，若，，則的最大值______.【答案】【解析】設(shè)外接圓的半徑為，,求出，，在兩別分別乘以，可表示出，利用基本不等式可求出最值.【詳解】設(shè)外接圓的半徑為，,如圖，，，可得，同理可得，在兩別分別乘以得，整理得，，當(dāng)且僅當(dāng)，即等號成立,則的最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查向量關(guān)系的處理，考查基本不等式的應(yīng)用，屬于較難題.8．設(shè)正項(xiàng)數(shù)列滿足，，且，則數(shù)列前10項(xiàng)的和為______.【答案】440【解析】對進(jìn)行取值，計(jì)算，通過觀察可歸納的表達(dá)式，進(jìn)一步求得，然后可得，最后可得結(jié)果.【詳解】由，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，所以猜想可知：，，則用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)時(shí)，左邊==右邊假設(shè)時(shí)，等式成立，即則當(dāng)時(shí)，左邊=所以深對任意的，所以當(dāng)時(shí)，符合上式，所以則所以數(shù)列前10項(xiàng)的和為故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的應(yīng)用以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查分析問題的能力，屬中檔題.9．若對，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的最大值為______.【答案】【解析】令，即，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)，由遞增，由零點(diǎn)存在性定理可知存在使，可得，，代入，得關(guān)于的不等式，再通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性求得的取值范圍，再由，求的最大值.【詳解】令，所有，有意義，所以，所以在單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以使得，并且當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以，且所以，，所以，，所以，考慮函數(shù)，其中，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性可知在上單調(diào)遞減，因?yàn)椋越?，得到，所以，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以的最大值為.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，和導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，重點(diǎn)考查邏輯分析問題的能力，推理能力，運(yùn)算能力，屬于難題.10．直角坐標(biāo)系xOy中，已知MN是圓C：(x﹣2)2+(y﹣3)2=2的一條弦，且CM⊥CN，P是MN的中點(diǎn).當(dāng)弦MN在圓C上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線l：x﹣y﹣5=0上總存在兩點(diǎn)A，B，使得恒成立，則線段AB長度的最小值是_____.【答案】【解析】依題意,點(diǎn)P在以C為圓心以1為半徑的圓上,要使得∠APB恒成立,則點(diǎn)P在以AB為直徑的圓內(nèi)部,所以AB的最小值為圓的直徑的最小值.【詳解】因?yàn)镻為MN的中點(diǎn),所以CP⊥MN,又因?yàn)镃M⊥CN,所以三角形CMN為等腰直角三角形,所以CP=1,即點(diǎn)P在以C為圓心,以1為半徑的圓上,點(diǎn)P所在圓的方程為(x﹣2)2+(y﹣3)2=1,要使得∠APB恒成立,則點(diǎn)P所在的圓在以AB為直徑的圓的內(nèi)部,而AB在直線l：x﹣y﹣5=0上,C到直線l：x﹣y﹣5=0的距離d.所以以AB為直徑的圓的半徑的最小值為r=31,所以AB的最小值為2r=62.故答案為：62.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的關(guān)系的應(yīng)用,考查了點(diǎn)與圓的位置關(guān)系,圓的性質(zhì)等,屬于難題.11．將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)的圖象，若，滿足，則的最小值為______.【答案】【解析】先利用平移變換得到，然后根據(jù)，滿足，利用正弦函數(shù)的性質(zhì)得到或，即或求解.【詳解】函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位后得到函數(shù)，因?yàn)椋?，得或，?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)，，當(dāng)時(shí)，綜上：的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)圖象的變換以及正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.12．設(shè)為復(fù)數(shù)，且，當(dāng)取得最小值時(shí)，則此時(shí)復(fù)數(shù)______.【答案】【解析】設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，將用表示出來，再利用二倍角公式，二次函數(shù)性質(zhì)求最小值，可得與的值，即可得復(fù)數(shù).【詳解】設(shè)復(fù)數(shù)的輻角為，所以，，所以，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的三角形形式，涉及三角恒等變換及二次函數(shù)性質(zhì)，屬于中檔題.13．當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則的取值范圍是______.【答案】【解析】根據(jù)題意可得：時(shí)，不等式恒成立，求得的導(dǎo)數(shù)，可得單調(diào)區(qū)間和最值，討論，，，運(yùn)用不等式恒成立的思想，可得的范圍.【詳解】當(dāng)時(shí)，不等式恒成立即是當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，也即是，令，可得，可得：當(dāng)，；當(dāng)，，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，，，，所以，令，則，所以，（1）當(dāng)時(shí)，，此時(shí)，（2）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，此時(shí)需滿足的最小值①，的最大值②，②得且，兩式相加得，（3）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，此時(shí)需滿足的最小值③，的最大值④，③得：，且，兩式相加得，綜上所述故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了利用導(dǎo)數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性、恒成立問題，并求參數(shù)的取值范圍，屬于較難題.14．三角形中，，則的最大值為______.【答案】.【解析】把化成，用輔助角公式后再解不等式即可求解.【詳解】解：，，，由輔助角公式，所以，，，則的最大值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】考查用輔助角公式以及解不等式求最值，難題.二、解答題15．在中，已知.（1）求的值；（2）若是邊上一點(diǎn)，，，，求的長.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由正弦定理邊角互化得，再由余弦定理可得解；（2）在中，由余弦定理可得，進(jìn)而得，在中，由正弦定理可得解.【詳解】（1）因?yàn)?，，所以由正弦定理可知，?因?yàn)樵谥校?，所以所?（2）由余弦定理可知，在中，，因?yàn)?，所以，由正弦定理可知，在中，，所以，所?【點(diǎn)睛】本題主要考查了應(yīng)用正余弦定理解三角形，屬于中檔題.16．如圖，在四棱錐中，底面是矩形，點(diǎn)E在棱上（異于點(diǎn)P，C），平面與棱交于點(diǎn)F.（1）求證：；（2）若，求證：平面平面.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）根據(jù)四邊形是矩形，得到，利用線面平行的判定定理得到平面，再由線面平行的性質(zhì)定理得到.（2）根據(jù)四邊形是矩形，所以，再由，，得到，又，利用線面垂直的判定定理得到平面，再利用面面垂直的判定定理證明.【詳解】（1）因?yàn)樗倪呅问蔷匦危?又平面，平面，所以平面.因?yàn)槠矫?，平面平面，所?（2）因?yàn)樗倪呅问蔷匦?，所?因?yàn)椋?，所?又，點(diǎn)在棱上（異于點(diǎn)），所以點(diǎn)異于點(diǎn)，所以.又，平面，所以平面.又平面，所以平面平面.【點(diǎn)睛】本題主要考查線面平行的判定定理，性質(zhì)定理以及線面垂直，面面垂直的判定定理，還考查了轉(zhuǎn)化回歸的思想和邏輯推理的能力，屬于中檔題.17．已知橢圓：.（1）曲線：與相交于，兩點(diǎn)，為上異于，的點(diǎn)，若直線的斜率為1，求直線的斜率；（2）若的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，直線：.過的直線與相交于，（在第一象限）兩點(diǎn)，與相交于，是否存在使的面積等于的面積與的面積之和.若存在，求直線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）直線不存在，理由見解析【解析】(1)設(shè),,,利用點(diǎn)差法可得,從而求出;(2)假設(shè)存在滿足題意,設(shè),,,由,,,可得①,設(shè):,令,得,故②,再聯(lián)立直線與橢圓方程,得到韋達(dá)定理,將之與②聯(lián)立求解,若有解,則直線存在,若無解,則直線不存在.【詳解】(1)由已知設(shè),,,因?yàn)辄c(diǎn)均在橢圓上,所以,,兩式相減得,又,且,∴;(2)設(shè),,,則,,,假設(shè)存在使得的面積等于的面積與的面積之和,則,即①,設(shè):,令,得,∴②,把,將之代入,整理得,∴③,④,②③聯(lián)立得,⑤,把⑤代入④得,化簡得,由于此方程無解,故所求直線不存在.【點(diǎn)睛】本題考查了直線與橢圓相交的綜合應(yīng)用,考查了相關(guān)的面積問題,需要學(xué)生具備一定的計(jì)算分析能力,有一定難度.18．經(jīng)銷商用一輛J型卡車將某種水果從果園運(yùn)送（滿載）到相距400km的水果批發(fā)市場.據(jù)測算，J型卡車滿載行駛時(shí)，每100km所消耗的燃油量（單位：L）與速度（單位：km/h）的關(guān)系近似地滿足除燃油費(fèi)外，人工工資、車損等其他費(fèi)用平均每小時(shí)300元.已知燃油價(jià)格為每升（L）7.5元.（1）設(shè)運(yùn)送這車水果的費(fèi)用為（元）（不計(jì)返程費(fèi)用），將表示成速度的函數(shù)關(guān)系式；（2）卡車該以怎樣的速度行駛，才能使運(yùn)送這車水果的費(fèi)用最少？【答案】（1）；（2）卡車以100km/h的速度行駛.【解析】（1）由題意，分與兩種情況，分別計(jì)算，由此能將表示成速度的函數(shù)關(guān)系式．（2）當(dāng)時(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，故時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，由導(dǎo)數(shù)求得當(dāng)時(shí)，取得最小值，比較即可得解．【詳解】解：（1）由題意，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，∴.（2）當(dāng)時(shí)，是單調(diào)減函數(shù)，故時(shí)，取得最小值，當(dāng)時(shí)，，由，得.當(dāng)時(shí)，，函數(shù)單調(diào)遞增，∴當(dāng)時(shí)，取得最小值，由于，所以，當(dāng)時(shí)，取得最小值.答：當(dāng)卡車以100km/h的速度行駛時(shí)，運(yùn)送這車水果的費(fèi)用最少.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，推理論證能力；考查化歸與轉(zhuǎn)化思想．綜合性強(qiáng)，有一定的探索性，對數(shù)學(xué)思維能力要求較高，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答．19．已知函數(shù)（）.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）若時(shí)，，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】(1)1；(2).【解析】試題分析：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，據(jù)此求得導(dǎo)函數(shù)，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)確定函數(shù)的單調(diào)性，據(jù)此可得函數(shù)的最小值為；(2)結(jié)合題意構(gòu)造函數(shù)，然后分類討論和兩種情況可得實(shí)數(shù)的取值范圍是.試題解析：(1)當(dāng)時(shí)，函數(shù)的解析式為，則：，結(jié)合導(dǎo)函數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系可得函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，函數(shù)的最小值為：.（2）若時(shí)，，即（）令，則①若，由（1）知，即，故∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴.∴（）式成立.②若，令，則∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，由于，.故，使得，則當(dāng)時(shí)，，即.∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，即（）式不恒成立.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.點(diǎn)睛：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再由單調(diào)性來證明不等式是函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、不等式綜合中的一個(gè)難點(diǎn)，解題技巧是構(gòu)造輔助函數(shù)，把不等式的證明轉(zhuǎn)化為利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性或求最值，從而證得不等式，而如何根據(jù)不等式的結(jié)構(gòu)特征構(gòu)造一個(gè)可導(dǎo)函數(shù)是用導(dǎo)數(shù)證明不等式的關(guān)鍵.20．在等比數(shù)列中，已知設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，且（1）求數(shù)列通項(xiàng)公式；（2）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（3）是否存在等差數(shù)列，使得對任意，都有？若存在，求出所有符合題意的等差數(shù)列；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）詳見解析；（3）存在，且.【解析】（1）根據(jù)已知條件求得，由此求得數(shù)列通項(xiàng)公式.（2）利用，證得數(shù)列是等差數(shù)列.（3）由（2）求得和，假設(shè)存在符合題意的等差數(shù)列，結(jié)合求得.【詳解】（1）依題意，解得，所以.（2）依題意，，即①，所以②，②-①并化簡得，故，即.令代入得.所以.所以.所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列.（3）由（2）得，所以.所以.假設(shè)存在滿足題意的等差數(shù)列，使得對任意，都有，設(shè)，即對任意，都有，即③.首先證明滿足③的：（i）當(dāng)時(shí)，若，，則，不滿足③；（ii）當(dāng)時(shí)，若，，則.而，則，所以，則，不滿足③；所以.令，，所以在上遞增.所以當(dāng)時(shí)，.即當(dāng)時(shí)，，即.所以當(dāng)，時(shí)，.再證明：（iii）若，則當(dāng)時(shí)，，，這與③矛盾.（iv）若，同（i）可得矛盾.所以.當(dāng)時(shí)，，滿足，所以.綜上所述，存在唯一的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為，滿足題設(shè).【點(diǎn)睛】本小題主要考查等比數(shù)列通項(xiàng)公式的基本量計(jì)算，考查等差數(shù)列的證明，考查數(shù)列中的探究性問題，屬于難題.21．已知矩陣，向量，求向量，使得．【答案】【解析】【詳解】考察矩陣的乘法、待定系數(shù)法，容易題．設(shè)，由得：，22．在極坐標(biāo)系中，已知以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓與以為圓心，且過極點(diǎn)的圓相交于、兩點(diǎn).（1）分別求圓，圓的極坐標(biāo)方程；（2）求弦所在直線的極坐標(biāo)方程.【答案】（1）圓，圓；（2）.【解析】（1）根據(jù)題意，直接得出圓的極坐標(biāo)方程；求出圓的直角坐標(biāo)方程，再化為極坐標(biāo)方程即可；（2）聯(lián)立兩圓的極坐標(biāo)方程，得到交點(diǎn)的極坐標(biāo)為、，進(jìn)而可得弦所在直線的極坐標(biāo)方程.【詳解】（1）由題意，以極點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓的極坐標(biāo)方程為；圓的圓心為，其直角坐標(biāo)為，即，半徑為，所以其直角坐標(biāo)方程為：，即，化為極坐標(biāo)方程為；（2）由得，∵，∴或，∴、，化為直角坐標(biāo)為、，即，，所以直線的方程為：，因此弦所在直線的極坐標(biāo)方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查求圓的極坐標(biāo)方程，考查求直線的極坐標(biāo)方程，屬于常考題型.23．已知集合的“集合價(jià)”定義：含有個(gè)元素的集合其“集合價(jià)”為，例如含有一個(gè)元素的集合其“集合價(jià)”為.已知一個(gè)數(shù)集，，我們從集合的所有子集中，任意取出一個(gè)的子集.（1）求當(dāng)時(shí)，取出的集合的“集合價(jià)”為的概率；（2）設(shè)隨機(jī)變量為取出的集合的“集合價(jià)”，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.【答案】（1）；