2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬考試（二）數(shù)學(xué)（理）試題

/22/22/2020年普通高等學(xué)校招生伯樂馬押題考試（二）數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知全集，集合，，，則（）A． B． C． D．【答案】D【解析】先求出集合B，再求得集合B的補(bǔ)集，由集合的交集運(yùn)算可得選項(xiàng).【詳解】，所以，又，所以，故選：D.【點(diǎn)睛】此題考查了交、補(bǔ)集的混合運(yùn)算，熟練掌握各自的定義是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四三象限【答案】A【解析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法計(jì)算化簡(jiǎn)得到z，，可得到選項(xiàng).【詳解】∵，∴，∴，故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，共軛復(fù)數(shù)，以及復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)象限，屬于基礎(chǔ)題.3．已知雙曲線（，）的頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為，則該雙曲線的離心率為（）A． B．3 C． D．【答案】B【解析】分別求出頂點(diǎn)到漸近線的距離、焦點(diǎn)到漸近線的距離，列出關(guān)于的方程，再結(jié)合，即可求得離心率的值.【詳解】由題意知：取雙曲線的頂點(diǎn)、焦點(diǎn)坐標(biāo)，取漸近線方程為，也即是，頂點(diǎn)到漸近線的距離為，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，，，故選：【點(diǎn)睛】本題考查了雙曲線的幾何性質(zhì)、離心率的求法、點(diǎn)到直線的距離公式，屬于基礎(chǔ)題.4．為了得到函數(shù)的圖像，可以將函數(shù)的圖像（）A．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度 B．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度C．向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度 D．向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度【答案】B【解析】結(jié)合二倍角公式和降冪公式化簡(jiǎn)得，再結(jié)合平移法則即可求解.【詳解】，由函數(shù)平移法則可知，將函數(shù)的圖像向右平移個(gè)長(zhǎng)度單位即可得到，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查二倍角公式與降冪公式及誘導(dǎo)公式的使用，由變換前后表達(dá)式求解平移量，解題關(guān)鍵是將不同名三角函數(shù)結(jié)合誘導(dǎo)公式轉(zhuǎn)化成同名，屬于中檔題5．記不等式組的解集為，，使成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】令，求出的最大值，即可.【詳解】可行域如圖所示由得，當(dāng)過時(shí)，，.故選：【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃問題與函數(shù)有解問題，屬于中檔題.6．函數(shù)在，的圖象大致為A． B．C． D．【答案】A【解析】根據(jù)函數(shù)奇偶性，對(duì)稱性，單調(diào)性和最值之間的關(guān)系進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：，則函數(shù)是奇函數(shù)，則圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，故排除．當(dāng)時(shí)，，則當(dāng)時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)，，時(shí)，，函數(shù)為減函數(shù)，則當(dāng)時(shí)，取得極大值同時(shí)也是最大值，故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷，利用函數(shù)與圖象之間的關(guān)系，結(jié)合導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性之間的關(guān)系以及函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵．7．已知圓：，點(diǎn)為直線上一動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)向圓作切線，，，為切點(diǎn)，則直線經(jīng)過定點(diǎn)（）A． B． C． D．【答案】D【解析】根據(jù)題意設(shè)的坐標(biāo)為，由切線的性質(zhì)得點(diǎn)、在以為直徑的圓上，求出圓的方程，將兩個(gè)圓的方程相減求出公共弦所在的直線方程，再求出直線過的定點(diǎn)坐標(biāo)．【詳解】解：因?yàn)槭侵本€的任一點(diǎn)，所以設(shè)，因?yàn)閳A的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、，所以，，則點(diǎn)、在以為直徑的圓上，即是圓和圓的公共弦，則圓心的坐標(biāo)是，，且半徑的平方是，所以圓的方程是，①又，②，②①得，，即公共弦所在的直線方程是：，即，由得，，所以直線恒過定點(diǎn)，，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了直線和圓的位置關(guān)系，圓和圓的位置關(guān)系，圓的切線性質(zhì)，以及直線過定點(diǎn)問題，屬于中檔題．8．函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，則的值可能為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】由輔助角公式可得.由，可得.根據(jù)在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，可得，求出的取值范圍，即得答案.【詳解】.，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有三個(gè)零點(diǎn)，.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查輔助角公式和函數(shù)的零點(diǎn)，屬于基礎(chǔ)題.9．現(xiàn)將3名醫(yī)生和5名護(hù)土分派到兩所醫(yī)院參加救護(hù)工作，其中一對(duì)護(hù)士是孿生姐妹必須分到同一所醫(yī)院，每所醫(yī)院至少分配一名醫(yī)生和兩名護(hù)士，那么符合要求的分配方案有（）A．36種 B．48種 C．54種 D．60種【答案】B【解析】分類完成：一類孿生姐妹護(hù)士單獨(dú)到一所醫(yī)院，另一類孿生姐妹和另一名護(hù)士到一所醫(yī)院，分別計(jì)算可得．【詳解】分兩種情況：孿生姐妹護(hù)士單獨(dú)到一所醫(yī)院，由種方案；孿生姐妹和另一名護(hù)士到一所醫(yī)院，由種方案；共有48方案，故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查分組分配問題，解題關(guān)鍵是確定完成這件事情的方法，分類還是分步．10．已知數(shù)列是等比數(shù)列，若，則（）A．有最小值 B．有最大值 C．有最小值 D．有最大值【答案】C【解析】根據(jù)等比中項(xiàng)的性質(zhì)得，，，代入構(gòu)造基本不等式的形式，運(yùn)用基本不等式求得最值.【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比，∵，∴，∴，∴，，∴，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，取等號(hào)，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查等比數(shù)列的性質(zhì)，基本不等式的應(yīng)用求最值，屬于中檔題.在利用基本不等式求最值時(shí)，要注意一正，二定，三相等.“一正”是指使用均值不等式的各項(xiàng)(必要時(shí)，還要考慮常數(shù)項(xiàng))必須是正數(shù)；“二定”是指含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)；“三相等”是指具備等號(hào)成立的條件，使待求式能取到最大或最小值.11．正方體的棱長(zhǎng)為，為的中點(diǎn)，為線段上靠近的一個(gè)三等分點(diǎn)，則過點(diǎn)，，的平面把正方體截得兩部分，則下半部分幾何體與上半部分幾何體的體積之比為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】首先根據(jù)題意，畫出相應(yīng)的圖形，根據(jù)相關(guān)性質(zhì)，確定出截面的位置，利用割補(bǔ)法求出截面下方幾何體的體積，減法運(yùn)算求得截面上方幾何的的體積，進(jìn)而求得比值，得到結(jié)果.【詳解】如圖，設(shè)點(diǎn)，，的平面交棱于點(diǎn)，棱的中點(diǎn)為，連接，，，，易知，∵四點(diǎn)，，，共面，∴，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形.∴.，∴，故選:A.【點(diǎn)睛】該題考查的是有關(guān)幾何體的問題，涉及到的知識(shí)點(diǎn)有截面圖形的確定，割補(bǔ)法求幾何體的體積，屬于簡(jiǎn)單題目.12．已知無窮等比數(shù)列滿下列足條件：當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，則首項(xiàng)的最小值是（）A． B．4 C． D．【答案】A【解析】結(jié)合數(shù)列遞推式，分類討論，時(shí)，由遞推式求出，不成等比數(shù)列，不成立，在時(shí)，，再分類，及，可得出結(jié)論．【詳解】∵下面分情況討論：當(dāng)時(shí)，，∴，∴，但是，不可能組成等比數(shù)列，矛盾；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)槭堑缺葦?shù)列，此時(shí)，這與矛盾；當(dāng)時(shí)，，∴，∴，時(shí)，，，…，，滿足題意．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推公式、等比數(shù)列的概念，解題方法是分類討論，根據(jù)的不同取值范圍，由遞推式確定數(shù)列各項(xiàng)，驗(yàn)證是否構(gòu)成等比數(shù)列，或由等比數(shù)列得出結(jié)論，驗(yàn)證是否滿足題設(shè)要求．二、填空題13．在某項(xiàng)測(cè)試中，測(cè)量結(jié)果，若在內(nèi)取值的概率為，則在內(nèi)取值的概率為______.【答案】【解析】由題意得出，由正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性可求得的值.【詳解】，由已知條件得，所以，因此，.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查利用正態(tài)密度曲線的對(duì)稱性求概率，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.14．已知拋物線的焦點(diǎn)為，為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)，當(dāng)周長(zhǎng)最小時(shí)，所在直線的斜率為______.【答案】【解析】過點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，由拋物線定義得，周長(zhǎng)等于，易得共線時(shí)，取得最小值．【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，從點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，從點(diǎn)向準(zhǔn)線作垂線，垂足為，則周長(zhǎng)，當(dāng)且僅當(dāng)，，三點(diǎn)共線時(shí)，取到最小值，此時(shí)，.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的點(diǎn)到定點(diǎn)與到焦點(diǎn)的距離之和的最小值問題，解題關(guān)鍵是利用定義把拋物線上的點(diǎn)以焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離．15．已知等腰直角三角形中，，順次為線段的九等分點(diǎn)，則的最大值為______．【答案】【解析】先建立平面直角坐標(biāo)系，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，將用坐標(biāo)表示出來，再求出最大值.【詳解】如圖建立平面直角坐標(biāo)系等腰直角三角形中，，，，，，，或時(shí)最大，此時(shí).故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)量積的運(yùn)算，只要想到方法便可迎刃而解，屬于中檔題.16．已知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)為，若，且，則不等式的解集為______.【答案】【解析】構(gòu)造新函數(shù)，求出，可得，確定是增函數(shù)，待求解不等式可化為，由此可解不等式．【詳解】由可得，所以，即.令，即，則單調(diào)遞增.不等式，而，所以不等式，∴，解得.故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查解函數(shù)不等式，解題關(guān)鍵是構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)確定新函數(shù)的單調(diào)性，不等式轉(zhuǎn)化為新函數(shù)的不等式，從而易求解．三、解答題17．在中，角的對(duì)邊分別是，且.（1）求角A的大??；（2）若，的面積是，求的周長(zhǎng).【答案】（1）；（2）15【解析】（1）根據(jù)正弦定理得到，化簡(jiǎn)得到，得到答案.（2）根據(jù)面積得到，再根據(jù)余弦定理得到，計(jì)算得到周長(zhǎng).【詳解】（1）在中，，所以，根據(jù)正弦定理，得，因?yàn)?，所以，所以，又，所以，所以，易知，所以，?（2）由題意得，得，由余弦定理，得，即，所以，故的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查了正弦定理，余弦定理，面積公式，意在考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力和計(jì)算能力.18．如圖，在四棱錐中，底面，是直角梯形，，，，是的中點(diǎn).（1）求證：平面平面；（2）若二面角的余弦值為，求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】（1）由已知底面，得，利用勾股定理逆定理得，從而有線面垂直后得證面面垂直；（2）以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，寫出各點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面和平面的一個(gè)法向量，由法向量夾角與二面角的關(guān)系求得，再由直線方向向量與平面法向量夾角的余弦值求得線面角的正弦值．【詳解】（1）因?yàn)槠矫?，平面，所?因?yàn)椋?，所以，?又，所以平面.因?yàn)槠矫?，所以平面平?（2）如圖，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸的正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，，則，，，，則，，，，易知為平面的一個(gè)法向量.設(shè)為平面的一個(gè)法向量，由，即∴，取，則，.依題意，，解得.于是，，.則.所以直線與平面所成角的正弦值為.【點(diǎn)睛】本題考查證明面面垂直，考查用空間向量法求二面角，直線與平面所成的角，證明垂直常用相應(yīng)的判定定理或性質(zhì)定理，求空間角常用空間向量法．19．已知橢圓的右頂點(diǎn)為，左焦點(diǎn)為，離心率，過點(diǎn)的直線與橢圓交于另一個(gè)點(diǎn)，且點(diǎn)在軸上的射影恰好為點(diǎn)，若．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過圓上任意一點(diǎn)作圓的切線與橢圓交于，兩點(diǎn)，以為直徑的圓是否過定點(diǎn)，如過定點(diǎn)，求出該定點(diǎn)；若不過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；（2）以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).【解析】（1）先根據(jù)離心率得，，再根據(jù)點(diǎn)B在橢圓上得B點(diǎn)縱坐標(biāo)，最后根據(jù)三角形面積公式解得，即得，（2）先考慮直線的斜率不存在情況，確定定點(diǎn)，再利用韋達(dá)定理以及向量數(shù)量積論證圓過坐標(biāo)原點(diǎn).【詳解】（1）∵，∴，，設(shè)，代人橢圓方程得：，∴，∴，∴，∴，∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，以為直徑的圓的圓心為或，半徑為2，以為直徑的圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或，因?yàn)閮蓤A都過坐標(biāo)原點(diǎn)，∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)其方程為，，，因?yàn)橹本€與圓相切，所以圓心到直線的距離，，所以，由，化簡(jiǎn)得：，∴，，∴，∴以為直徑的圓過坐標(biāo)原點(diǎn)，綜上，以為直徑的圓恒過坐標(biāo)原點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程以及圓過定點(diǎn)，考查綜合分析論證求解能力，屬中檔題.20．甲，乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，共比賽局，根據(jù)以往比賽勝負(fù)的情況知道，每局甲勝的概率和乙勝的概率均為.如果某人獲勝的局?jǐn)?shù)多于另一人，則此人贏得比賽.記甲贏得比賽的概率為.（1）求與的值；（2）試比較與的大小，并證明你的結(jié)論.【答案】（1），（2）【解析】【詳解】（1）若甲、乙比賽4局甲獲勝，則甲在4局比賽中至少勝3局所以同理（2）在局比賽中甲獲勝，則甲勝的局?jǐn)?shù)至少為局故所以又因?yàn)樗?，所?1．已知函數(shù)(其中e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，k∈R)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，證明：．【答案】（1）見解析；（2）見解析.【解析】試題分析：本題考查導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性的關(guān)系以及用導(dǎo)數(shù)證明不等式的問題．（1）求導(dǎo)數(shù)后，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)判斷出函數(shù)的單調(diào)性．（2）根據(jù)題意將證明的問題轉(zhuǎn)化為證明，即證，構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性證明即可．試題解析：（1）解：∵∴．①當(dāng)時(shí)，令，解得，∴當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．②當(dāng)時(shí)，恒成立，∴函數(shù)在R上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．當(dāng)時(shí)，在R上單調(diào)遞增.（2）證明：當(dāng)時(shí)，由（1）知函數(shù)單調(diào)遞增，不存在兩個(gè)零點(diǎn)．所以．設(shè)函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)為，則，設(shè)，解得，所以，要證，只需證，設(shè)設(shè)單調(diào)遞增，所以，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，故．22．在直角坐標(biāo)系中，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)）．以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，以軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為，若點(diǎn)的極坐標(biāo)為，點(diǎn)的極坐標(biāo)為．（1）寫出曲線的極坐標(biāo)方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若點(diǎn)，，求的面積．【答案】（1），；（2）【解析】曲線的參數(shù)方程消去，得到普通方程，再由，可以得曲線的極坐標(biāo)方程，將兩邊同時(shí)乘以后，再由，可得曲線的直角坐標(biāo)方程.將、兩點(diǎn)的極角分別代入曲線和曲線的極坐標(biāo)方程可以得到、兩點(diǎn)的極徑，再由三角形面積公式，即可得出的面積.【詳解】將消去參數(shù)，化為普通方程：，將代入得，曲線的極坐標(biāo)方程為：，將兩邊同時(shí)乘以得，再由得，曲線的直角坐標(biāo)方程為：，（2）將的極坐標(biāo)代入的極坐標(biāo)方程得，將點(diǎn)的極坐標(biāo)代入的極坐標(biāo)方程得．.【點(diǎn)睛】本題主要考查了參數(shù)方程、普通方程、極坐標(biāo)方程之間的相互轉(zhuǎn)化以及三角形的面積公式，理解極徑和極角的