物理極值問題的求法

物理極值問題的求法孫蓮紅江蘇泗洪縣新星中學江蘇泗洪223900運用數(shù)學工具處理物理問題的能力是高考重點考查的五種能力之一，其中極值的計算在教學中頻繁出現(xiàn)。因為極值問題范圍廣、習題多，會考、高考又經(jīng)常考查，應該得到足夠重視。另外物理極值，實質(zhì)是針對某一物理現(xiàn)象的動態(tài)范圍、發(fā)展變化趨勢及其極限，這是由物理條件所制約的。物理極值，經(jīng)常表現(xiàn)為物理約束條件下的最大或最小值，這與數(shù)學極值有本質(zhì)的區(qū)別。就思維表現(xiàn)看，求極值過程是歸納和演繹綜合運用過程。在錯綜復雜的變化條件中，要歸納出一般的狀態(tài)表現(xiàn)，又要在此基礎上，經(jīng)演繹推理，尋求特殊的極端模型。這也是建立理想化模型，也要理想化。顯然，解極值過程是綜合運用幾種常規(guī)的思維方法的高層次的思維過程。下面重點對數(shù)學方法求解物理極值問題作些說明。（一）利用三角函數(shù)求極值如果所求物理量表達式中含有三角函數(shù)，可利用三角函數(shù)的極值求解。若所求物理量表達式可化為“y=Asin”的形式，則y=Asin2α，在=45o時，y有極值。例1：如圖1所示。一輛四分之一圓弧小車停在不光滑水平地面上，質(zhì)量為m的小球從靜止開始由車頂無摩擦滑下，且小車始終保持靜止狀態(tài)，試分析：當小球運動到什么位置時，地面對小車的摩擦力最大?最大值是多少?OmgN圖1[解析]：設圓弧半徑為R，當小球運動到重力OmgN圖1解得小球?qū)π≤嚨膲毫椋篘=3mgcosθ，其水平分量為：Nx=3mgsinθcosθ=根據(jù)平衡條件，地面對小車的靜摩擦力水平向右，大小為：f=Nx=可以看出：當sin2θ=1,即θ=45o時，地面對小車的靜摩擦力最大，其值為：fmax=（二）用圖象法求極值通過分析物理過程遵循的物理規(guī)律，找到變量之間的函數(shù)關系，作出其圖象，由圖象可求得極值。例2：甲、乙兩物體同時、同地、同向由靜止出發(fā)，甲做勻加速直線運動，加速度為4米／秒2，4秒后改為勻速直線運動；乙做勻加速直線運動，加速度為2米／秒2，10秒后改為勻速直線運動，求乙追上甲之前它們之間的最大距離。[解析]：運用物理規(guī)律和圖形相結(jié)合求極值．是常用的一種比較直觀的方法。由題意可知，4秒后甲做勻速直線運動的速度為：V甲=a甲t甲＝44＝16(m／s)。乙10秒后做勻速運動的速度為：V乙＝a乙t乙＝210＝20(m／s)。481251020481251020V(m/s)t/s0A（8；16）甲乙16圖2即Smax＝416+416—816＝32(m)。

（三）利用一元二次方程判別式△=b2－4ac≥O求極值對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，用判別式法利用Δ＝b2-4ac≥0。(式中含y)若y≥A，則ymin＝A。若y≤A，則ymax＝A。例3：在一平直較窄的公路上，一輛汽車正以22m/s的速度勻速行駛，正前方有一輛自行車以4m/s的速度同向勻速行駛，汽車剎車的最大加速度為6m／s2，試分析兩車不相撞的條件。[解析]要使二者不相撞，則二者在任一時間內(nèi)的位移關系應滿足V0t-（式中S為汽車剎車時與自行車間距）代入數(shù)據(jù)整理得：3t2-18t+S>0，顯然，當滿足＝b2-4ac0，即＝182-43S0得：S27m，Smin=27m。當汽車剎車時與自行車間距為27米時是汽車不與自行車相撞的條件。（四）利用配方法求極值對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c，函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥=(x-A)2+常數(shù)：（1）當x＝A時，常數(shù)為極小值；或者函數(shù)解析式經(jīng)配方可變?yōu)閥=－(x－A)2+常數(shù)。（2）當x＝A時，常數(shù)為極大值。例4：如圖4所示，光滑軌道豎直放置，半圓部分的半徑為R，在水平軌道上停著一質(zhì)量為M=0.99kg的木塊。一質(zhì)量為0.01lkg的子彈以v=400m／s的水平速度射入木塊中，然后一起運動到最高點水平拋出。問圓半徑R為多大時平拋出的距離最遠并？求此最大值。[解析]：子彈和木快碰后一起運動，則碰后速度v’=mv／(m+M)=4m／s。當木塊運動到最高點時，由機械能守恒得此時速度v1滿足：(m+M)v12/2=(m+M)v’2／2－2(m+M)gR得v1=(16—40R)1/2(單位略)，而t可以用平拋的知識求解得到，那么平拋距離可寫成：s=v1t=4(0.4R—R2)1/2≤0.8m(R=0.2m時取得最大值)。

（五）其他求極值方法（1）利用排列組合求極值；（2）利用臨界條件求極值；（3）利用幾何法求極值；上述方法中可看出靈活應用數(shù)學手段是解題的保證。但題中關鍵條件要靠物理分析得出，其結(jié)果也必是物理解。物理極值問題要求有很強的思維能力，應當有針對性地訓練，有意識地掌握幾種求極值的方法，