體能測試時間安排的優(yōu)化方案

/2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽承諾書我們仔細(xì)閱讀了中國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽的競賽規(guī)則.我們完全明白，在競賽開始后參賽隊員不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人（包括指導(dǎo)教師）研究、討論與賽題有關(guān)的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反競賽規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴(yán)格遵守競賽規(guī)則，以保證競賽的公正、公平性。如有違反競賽規(guī)則的行為，我們將受到嚴(yán)肅處理。我們參賽選擇的題號是（從A/B/C/D中選擇一項填寫）：D 我們的參賽報名號為（如果賽區(qū)設(shè)置報名號的話）：所屬學(xué)校（請?zhí)顚懲暾娜荷綎|城市建設(shè)職業(yè)學(xué)院參賽隊員(打印并簽名)：1.李德生2.郝海濤3.李穩(wěn)穩(wěn)指導(dǎo)教師或指導(dǎo)教師組負(fù)責(zé)人(打印并簽名)：數(shù)模組日期：2007年賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：2007高教社杯全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽編號專用頁賽區(qū)評閱編號（由賽區(qū)組委會評閱前進行編號）：賽區(qū)評閱記錄（可供賽區(qū)評閱時使用）：評閱人評分備注全國統(tǒng)一編號（由賽區(qū)組委會送交全國前編號）：全國評閱編號（由全國組委會評閱前進行編號）：體能測試時間安排的優(yōu)化方案摘要：本論文對體能測試時間安排問題進行了簡化，建立了數(shù)學(xué)模型。我們針對學(xué)生該怎樣分組、怎樣合理安排班級測試次序，以及怎樣使人均測試時間最短等問題進行了分析討論，并用線性規(guī)劃模型對測試時間安排進行了優(yōu)化，最終設(shè)計出一個合理的體能測試時間表。建立模型的主要目的是使測試總時間最短，次要目的是在滿足整個測試所用時間段最少的條件下，盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間。我們通過分析，最終確定以10人為一組，對問題進行了研究。對此我們建立了三個模型，逐次解決了每個時間段測試的最多組數(shù)、各個時間段內(nèi)班級的分配情況和如何合理安排各班級具體的測試時間等問題。首先，利用簡化思想在不考慮班級錄入時間的情況下，得出了能夠獨立完成每個項目的最短周期，建立了一個在極值條件下的數(shù)學(xué)模型，并用LINGO軟件求出了最優(yōu)解，即在8:00-12:10和13:30-16:45這兩個時間段內(nèi)所能測試的最多組數(shù)，分別為69組和54組。但經(jīng)過模型驗證發(fā)現(xiàn)，模型結(jié)果與實際情況并不是非常一致，原因可能是我們在建立模型時忽略了一些問題，假設(shè)過于簡單。于是我們對模型進行了進一步的優(yōu)化，得出相對合理的結(jié)果，分別為68組和53組。其次，通過對第一個模型進行分析，得出要完成所有測試，最少需要四個時間段，于是建立了第二個模型，求解各個時間段內(nèi)班級的分配問題。然后，我們用MATLAB軟件求得了一個以班級為單位、具體的測試時間表，從而滿足整個測試所用時間段數(shù)最少，且能節(jié)省學(xué)生等待時間。最后，根據(jù)對模型和數(shù)據(jù)的分析以及聯(lián)系實際情況，對學(xué)校以后的體能測試提出了一些有意義的建議。關(guān)鍵詞：線性規(guī)劃;最短周期;優(yōu)化思想;錄入時間;測試時間一、問題重述每個學(xué)校都可以通過體能測試來了解各個學(xué)生的身體狀況，以此設(shè)置相應(yīng)的體育鍛煉課程，增強學(xué)生的體質(zhì)。[1]某學(xué)校安排各班學(xué)生進行體能測試，測試的項目、測量儀器以及每個學(xué)生的平均測試時間等內(nèi)容如下表1所示。在測試時，每個學(xué)生測試每個項目前都要錄入個人學(xué)號，平均需時5秒。儀器在每個學(xué)生測量完畢后學(xué)號將自動后移一位，若前后測試的學(xué)生的學(xué)號相連，則可省去錄入時間，且同一班學(xué)生的學(xué)號是相連的。學(xué)校安排每天測試的兩個時間段為8：00－12：10與13：30－16：45。五項測試的場所最多能容納150個學(xué)生，且測試項目沒有固定的先后順序。參加體能測試的各班人數(shù)見下表2。學(xué)校對測試的要求：整個測試所需時間最少，同一個班的所有學(xué)生須在同一時間段內(nèi)完成所有項目的測試，且在測試時間段最少的基礎(chǔ)上盡量減少學(xué)生的等待時間。用數(shù)學(xué)符號和語言表述各班測試時間安排問題，給出該數(shù)學(xué)問題的算法，盡量用清晰、直觀的圖表形式為學(xué)校工作人員及各班學(xué)生表示出測試時間的安排計劃，并且說明該計劃怎樣滿足學(xué)校的上述要求和條件。最后，給學(xué)校以后的體能測試就以下幾個方面提出建議：如引進各項測量儀器的數(shù)量；測試場所的人員容量；一個班的學(xué)生是否需要分成幾個組進行測試等，并說明自己的理由。表1測量儀器數(shù)量及所用時間測試項目測量儀器（臺）儀器的單位測試時間（秒）身高與體重310(每人)立定跳遠(yuǎn)120(每人)肺活量120(每人)握力215(每人)臺階試驗2210(每5人)表2體能測試的各班人數(shù)班號123456789101112131415人數(shù)414544442644422020383725454545班號161718192021222324252627282930人數(shù)442030393538382825303620243233班號313233343536373839404142434445人數(shù)413351392020443738394240375050班號4647484950515253545556人數(shù)4243414245421939751717二、問題分析本題要解決的主要問題是使整個測試所需時間最少。而決定這一問題的關(guān)鍵點有兩個，一是測試儀器的充分利用，二是合理安排班級次序，盡量使每個時間段內(nèi)測試的人數(shù)最多。對于測試儀器的充分利用問題，由于各個項目儀器每次測試人數(shù)分別為1人（身高與體重），1人（立定跳遠(yuǎn)），1人（肺活量），1人（握力），5人（臺階試驗），而臺階試驗測試儀有兩臺，所以我們不妨設(shè)10人為一小組對每組的測試時間進行研究。在不考慮所有錄入時間時，每組獨立完成每個測試項目的時間分別為100/3秒（身高與體重測量儀3臺），200秒（立定跳遠(yuǎn)測量儀1臺），200秒（肺活量測量儀1臺），150/2秒（握力測量儀2臺），210秒（臺階試驗測量儀2臺），可以看出做臺階測試試驗所用的時間是最長的，而一個時間段時間一定，若使測試人數(shù)達到最大，臺階測試儀必須充分利用。所以我們可將各個項目獨立進行的周期T定為210秒，在這一周期內(nèi)既可滿足各個項目能夠順利進行，又最大限度的利用了時間。由于每個組做身高與體重測試需要100秒，做握力測試需要150秒，顯然在210秒這一周期內(nèi)，只用一臺身高與體重測量儀和一臺握力測量儀就可滿足要求。當(dāng)考慮每組內(nèi)學(xué)生之間的錄入時間時，由于每個儀器錄入學(xué)號的平均需時5秒，如果前后測試的學(xué)生學(xué)號相連就可省去錄入時間，故在測試時盡量減少錄入時間就要使每組學(xué)生的學(xué)號相連。臺階測試儀1測肺活量握力測試儀身高體重立定跳遠(yuǎn)前五號臺階測試儀2后五號圖1體能測試流程圖為了使問題更加簡化，我們可要求每個班的學(xué)生在測試前按學(xué)號的順序進行排隊并分組。即1-10號為第一組，10-20號為第二組…其他學(xué)號依次類推。為了減少做除臺階測試試驗外其他四項測試的錄入時間，如圖1示，我們規(guī)定每組的前5人進入一臺臺階試驗測量儀，后5人進入另一臺臺階試驗測量儀，即1-5號進入臺階測試儀1，5-10號進入臺階測試儀2，215秒后10人可同時測試完，這10人又可組成學(xué)號相連的一組。進行其他項目的測試。而進行其他測試時10人是按既定順序排隊的，這樣就可得到每個組獨立進行各測試項目的真實時間分別為105/3秒，205秒，205秒，155/2秒,215秒，所以周期應(yīng)為215秒。由于考慮臺階測試儀充分利用，因此對于一個組來說，首要的選擇是臺階測試儀。第i組進行臺階測試儀測試時，第i-1組可同步進行其他四項測試。第i-1組中的最后一個人，完成四項測試的第一項時間為20+20*9=200。因此，第i組進行完臺階測試時，可立即進行其他四項測試。最后一組的最后一名同學(xué)完成其他四項測試的時間為：65+20*9=245?？梢杂镁€性規(guī)劃建立數(shù)學(xué)模型[2]，來解決此問題，其目標(biāo)函數(shù)為每個時間段所能完成測試的組數(shù)最多，約束條件為時間段的時間長度。通過對模型一的求解和分析，我們可以得到每個時間段所能測試的最多人數(shù)和所用最少時間段總數(shù)。另外在滿足整個測試所用時間段最小的條件下，還要盡量節(jié)省學(xué)生的等待時間，問題中的等待時間我們可以認(rèn)為是學(xué)生等待測試的時間。由于完成各項目測試都有固定的周期，即在整個測試過程中的等待時間為常數(shù)，從而學(xué)生的等待時間長短取決于測試地點外的等待時間的長短。對于這個問題，我們可以通過合理安排各班級在每個時間段內(nèi)的測試順序解決，從而我們建立了模型三，用線性規(guī)劃來優(yōu)化此問題。據(jù)此可建立模型二，目標(biāo)函數(shù)為最后一個時間段安排的人數(shù)最少，這樣可保證學(xué)生完成測試的時間最少，即學(xué)生等待測試的時間最少。約束條件為每個時間段所能測試的最多人數(shù)和參加體能測試的學(xué)生總數(shù)。這樣即可保證前幾個時間段學(xué)生人數(shù)盡量達到飽和，從而解決了整個測試所需時間最少的問題。三、模型假設(shè)1、在測試過程中各個測試儀器都能正常工作；2、每個學(xué)生在轉(zhuǎn)換測試項目時所用的時間不計；3、每個班級在安排測試的時間前都能保證到達測試地點；4、學(xué)生在測試完所有項目測試后能迅速離開，并不再占用場所空間；5、測試不受天氣等各種因素的影響；6、臺階試驗測試儀在測試人數(shù)不足5人時也可進行測試；7、體能測試時按照圖1所示體能測試流程圖進行。四、符號說明——學(xué)生總?cè)藬?shù)；——每組獨立完成每個項目的周期?！趇個測試時間段所能完成測試的組數(shù)。（i=1,2）Hi——第i個測試時間段的時長。（單位：秒）（i=1,2）——第j個時間段所能測試的最多學(xué)生總數(shù)；（j=1，2，3，4）——第i個班級的人數(shù)；(i=1,2,...,56）——0-1變量，=1表示第i個班級在第j個時間段進行測試；=0表示第i個班級不在第j個時間段進行測試；(i=1,2,...,56；j=1，2，3，4）五、模型建立與求解５.1求解各個時間段所能測試的組數(shù)的模型因為我們以10人為一組，根據(jù)各班學(xué)生人數(shù)可知有些班級可能存在分組后剩余學(xué)生現(xiàn)象，這幾名同學(xué)就會與其他班級的人數(shù)組成一組進行測試，而此時該組在做各個項目測試時就增加了一個班級之間的錄入時間5秒，為了簡化模型我們在建立模型時先不予考慮班級間的錄入時間。以臺階試驗測試儀為例，當(dāng)不考慮班級之間的錄入時間時，在每個時間段剛開始時第一組直接進入測試，第二組在等待一個周期的時間后進入測試。隨著時間的增加，每隔一個周期就有一個組進入測試，直到該時間段結(jié)束。這樣我們可以建立模型求解臺階試驗測試儀在每個階段內(nèi)測試得最多組數(shù)。目標(biāo)函數(shù):保證每個時間段內(nèi)測試人數(shù)最多約束條件:-245每個時間段的時長約束，以及保證最后一組可測試完其他四項的時間約束。[]次數(shù)取整約束用LINGO[3]軟件對兩個時間段依次求解得:(程序見附錄一，附錄二)=68，即在上午時間段內(nèi)測試的小組的個數(shù)為68；=53，即在下午時間段內(nèi)測試的小組的個數(shù)為53。模型一的驗證：假設(shè)臺階實驗測試儀放置在最前邊，那么上午時間段的最后一組測完臺階測試時累計時間為68*215+245=14865秒，剩余時間為15000-14865=135秒。同理，下午時剩余時間為11700-11640=60秒。5.2求解各時間段內(nèi)班級分配情況的模型由模型1的結(jié)果可知在上午時間段最多可測試完680人，在下午時間段最多可測試530人，即在一天兩個時間段最多可測試完1210人。由表1我們可知學(xué)生總?cè)藬?shù)為2036人，故在四個時間段內(nèi)所有的學(xué)生都可以測試完。但是我們需要將所有班級合理分配到四個時間段內(nèi)，力求在前三個時間段內(nèi)測試學(xué)生的人數(shù)盡可能多、第四時間段內(nèi)測試的人數(shù)最少才能使整個測試所需時間最少。從而使學(xué)生的等待時間最少。于是我們可以建立此模型，。目標(biāo)函數(shù)：保證第4個時間段內(nèi)測試的人數(shù)最少約束條件：每個時間段內(nèi)測試的最多人數(shù)的條件約束測試學(xué)生總?cè)藬?shù)約束用LINGO軟件對該模型進行求解得:(程序見附錄三)時間段班號總?cè)藬?shù)第一天上午3,4,7,9,10,11,17,18,19,20,21,22,26,28,29,32,47,50,51680第一天下午1,2,5,6,12,13,14,24,25,27,33,44,46,49530第二天上午8，15，16，30，31，34，35，36，37，38，39，40，43，45，46，53，54，55680第二天下午23，41，42，52，56146由于模型1是在不考慮班級間錄入時間條件下建立的模型，但在實際生活中這種情況不可能發(fā)生，所以應(yīng)該考慮其班級間的錄入時間，由于是5的倍數(shù)的班級人數(shù)與下一個班級相連時班級間錄入時間可不計，因此由模型2算得的結(jié)果可以看出，每個時間段內(nèi)班級間需要加入的錄入時間為13*5=65，5*5=25，11*5=55，3*5=15，而我們在前三個時間段內(nèi)剩余時間可由模型2得出的結(jié)果得出為135秒，60秒，135秒除去每個時間段須減去的錄入時間仍然可以滿足要求。每個時間段前i個班的總?cè)藬?shù)為 ，i=1，2，…，n第一天和第二天上下午的班級數(shù)分別為n=19,14,18,5。以n=19為例，每個時間段的班級排好順序以后，第一個班級必須在開始時到達測試地點，第i+1個班級到達測試地點的時刻就是第個組測試完成的時刻，所以其中q是第一個滿足的i值，j=n-q+1。對于各個班測試的具體時間安排我們可以借助MATLAB軟件[4]來編程排序得到各個班測試的具體時間安排如下表：（程序見附錄三）工作人員用表：第一天上午序號班號人數(shù)測試開始時間序號班號人數(shù)測試開始時間19208:00:0011193910:05:50217208:07:1012213810:20:15318308:14:2513223810:34:40420358:25:0514263610:49:05550458:35:5015282410:59:5563448:53:4516293211:10:4574449:08:1017323311:21:3587429:22:3518474311:32:35910389:40:3519514211:46:501011379:51:25序號班號人數(shù)測試開始時間序號班號人數(shù)測試開始時間1253013:30:008242515:03:102272013:40;45914115:10:203445013:47:551052615:24:45424514:05:501164415:35:355122514:20:1012335115:50:006134514:30:5513414116:08:007144514:45:1514494216:22:25第一天下午第二天上午序號班號人數(shù)測試開始時間序號班號人數(shù)測試開始時間18208:00:0010343910:02:05235208:07:1011374410:16:30336208:14:201238371034:30445508:21:3013393810:45:20515458:39:2514403910:59:45654758:53:4515433711:14:10716449:22:2516464211:28:35830339:36:5017533911:43:00931419:47:4018551711:57:25第二天下午序號班號人數(shù)測試開始時間1424013:30:002232813:44:203414213:51:354521914:09:355561714:13:15學(xué)生用表：班號序號人數(shù)時間段開始時間班號序號人數(shù)時間段開始時間1941一、下午15:10:20291632一、上午11:10:452445一、下午14:05:5030833二、上午9:36:503644一、上午8:53:4531941二、上午9:47:404744一、上午9:08:10321733一、上午11:21:3551026一、下午15:24:45331251一、下午15:50:0061144一、下午15:35:35341039二、上午10:02:057842一、上午9:22:3535220二、上午8:07:108120二、上午8:00:0036320二、上午8:14:209120一、上午8:00:00371144二、上午10:16:3010938一、上午9:40:35381237二、上午1034:30:00111037一、上午9:51:25391338二、上午10:45:2012525一、下午14:20:10401439二、上午10:59:4513645一、下午14:30:55411341一、下午16:08:0014745一、下午14:45:1541342二、下午13:51:3515545二、上午8:39:2542140二、下午13:30:0016744二、上午9:22:25431537二、上午11:14:1017220一、上午8:07:1044350一、下午13:47:5518330一、上午8:14:2545450二、上午8:21:30191139一、上午10:05:50461642二、上午11:28:3520435一、上午8:25:05471843一、上午11:32:35211238一、上午10:20:15491442一、下午16:22:25221338一、上午10:34:4050545一、上午8:35:5023228二、下午13:44:20511942一、上午11:46:5024825一、下午15:03:1052419二、下午14:09:3525130一、下午13:30:00531739二、上午11:43:00261436一、上午10:49:0554675二、上午8:53:4527220一、下午13:40;45551817二、上午11:57:25281524一、上午10:59:5556517二、下午14:13:15六、結(jié)果分析由以上計劃表我們可以看出，同一個班內(nèi)所有學(xué)生都能在同一個時間段內(nèi)完成所有的項目測試。由以上模型知，由于保證了在每個時間段內(nèi)測試的學(xué)生個人數(shù)最多，故滿足了整個測試所需時間段數(shù)最少條件，且能最大限度節(jié)省學(xué)生等待時間。測試時最多有三個組測試，即一個組進行臺階測試，另兩個組進行其它四項測試。由于學(xué)生測試完后立即離去，因此，測試場地最多人數(shù)可估算為班級最多人數(shù)加一個組的人數(shù)即為75+10=85人小于150人，可滿足場地要求.通過以上分析，我們可知該計劃能滿足學(xué)校所有要求。七、模型的評價與推廣本文的主要優(yōu)點：1、本文根據(jù)問題要求利用優(yōu)化的思想，一步一步地討論了模型的建立情況，使所建立的模型最大限度的接近實際問題。2、本文建立的模型具有一般性，而且簡單易懂可操作性強，同時還可以推廣到其他的問題上如排隊問題、體檢問題等。本文的主要缺點：由于所學(xué)知識有限我們無法直接將數(shù)據(jù)引入到LINGO和MATLAB程序中進行，從而使數(shù)據(jù)輸入過于復(fù)雜。向?qū)W校提出的建議：1.由于臺階試驗測試儀的特殊性（每次測試5人且測試時間較長），所以在體能測試時應(yīng)以學(xué)校擁有的臺階試驗測試儀的數(shù)量為準(zhǔn)分組，規(guī)定：每組人數(shù)=5*臺階試驗測試儀的數(shù)量，并且盡量保證每組內(nèi)學(xué)生學(xué)號相連。2.通過對模型的分析，現(xiàn)有儀器存在配置不合理的問題，因為只要保證有兩臺臺階試驗測試儀、其余儀器各一臺即可得到最優(yōu)化模型，所以有兩臺身高體重測量儀和一臺握力測量儀是多余的。而若想提高測試效率，則應(yīng)盡量降低獨立完成每個測試項目的人均測試時間，以目前學(xué)校情況如果可以同廠家進行協(xié)商用兩臺身高體重測量儀和一臺握力測量儀調(diào)換或者另行購買一臺臺階試驗測試儀則會在一定程度上提高測試效率。若同時增加兩臺階試驗測試儀、一臺肺活量測量儀和一臺立定跳遠(yuǎn)測量儀，則可使測試效率增加一倍，但購買費用則會大大增加，而且學(xué)校每年只進行一次體能測試，故可能不是最佳方案。在現(xiàn)實中，每個學(xué)?？筛鶕?jù)自身的實際情況加以選擇。3.通過估算所有儀器同時工作時的飽和容量為85人小于150的容量。若不再打算引進儀器則可選擇一個較小的場地進行測試，以減少資源的浪費。或者校方可適當(dāng)增加某些儀器的數(shù)量，減少測試時間。參考文獻[1]《華南新聞》（19971031二版），《香港教署推出首個學(xué)生體能測試指標(biāo)》，/huanan/9710/31/newfiles/b1130.html，訪問時間2007/09/21。[2]姜啟源謝金星葉俊，《數(shù)學(xué)建模》（第三版），北京：高等教育出版社，2006年[3]袁新生邵大宏郁時煉，《LINGO和EXCEL在數(shù)學(xué)建模中的運用》，北京：科學(xué)出版社1997[4]張威，《MATALB基礎(chǔ)與編程入門》，西安：西安電子子科技大學(xué)出版社，2004年附錄附錄一：LINGO軟件編程：一、data:h1=15000-245;t=215;enddatamax=s1;t*s1<h1-245;@gin(s1);end運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:0Objectivevalue:68.00000VariableValueReducedCostH115000.000.000000T215.00000.000000S168.00000-1.000000RowSlackorSurplusDualPrice168.000001.0000002135.00000.000000二：data:h2=11700;t=215;enddatamax=s2;t*s2<h2-245;@gin(s2);end運行結(jié)果：Globaloptimalsolutionfoundatiteration:0Objectivevalue:53.00000VariableValueReducedCostH211700.000.000000T215.00000.000000S253.00000-1.000000RowSlackorSurplusDualPrice153.000001.000000260.000000.000000附錄二model:sets:ban/1..56/:y;zu/1..4/;links(ban,zu):x;endsetsdata:y=4145444426444220203837254545454420303935383828253036202432334133513920204437383942403750504243414245421939751717;enddatamin=@sum(ban(i):x(i,4)*y(i));@sum(ban(i):x(i,1)*y(i))<=680;@sum(ban(i):x(i,2)*y(i))<=530;@sum(ban(i):x(i,3)*y(i))<=680;@sum(ban(i):x(i,4)*y(i))<=530;@for(links(i,j):@bin(x(i,j)));@for(ban(i):@sum(zu(j):x(i,j))=1);endGlobaloptimalsolutionfoundatiteration:3080Objectivevalue:146.0000VariableValueReducedCostY(1)41.000000.000000Y(2)45.000000.000000Y(3)44.000000.000000Y(4)44.000000.000000Y(5)26.000000.000000Y(6)44.000000.000000Y(7)42.000000.000000Y(8)20.000000.000000Y(9)20.000000.000000Y(10)38.000000.000000Y(11)37.000000.000000Y(12)25.000000.000000Y(13)45.000000.000000Y(14)45.000000.000000Y(15)45.000000.000000Y(16)44.000000.000000Y(17)20.000000.000000Y(18)30.000000.000000Y(19)39.000000.000000Y(20)35.000000.000000Y(21)38.000000.000000Y(22)38.000000.000000Y(2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