第27章 相似 專項(xiàng)訓(xùn)練2（含答案）

第27章相似專項(xiàng)訓(xùn)練專訓(xùn)1巧用位似解三角形中的內(nèi)接多邊形問(wèn)題名師點(diǎn)金：位似圖形是特殊位置的相似圖形，它具有相似圖形的所有性質(zhì)．位似圖形必須具備三個(gè)條件：(1)兩個(gè)圖形相似；(2)對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線相交于一點(diǎn)；(3)對(duì)應(yīng)邊互相平行或在同一直線上．三角形的內(nèi)接正三角形問(wèn)題1．如圖，用下面的方法可以畫(huà)△AOB的內(nèi)接等邊三角形，閱讀后證明相應(yīng)問(wèn)題．畫(huà)法：①在△AOB內(nèi)畫(huà)等邊三角形CDE，使點(diǎn)C在OA上，點(diǎn)D在OB上；②連接OE并延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)E′，過(guò)點(diǎn)E′作E′C′∥EC，交OA于點(diǎn)C′，作E′D′∥ED，交OB于點(diǎn)D′；③連接C′D′，則△C′D′E′是△AOB的內(nèi)接等邊三角形．求證：△C′D′E′是等邊三角形．(第1題)三角形的內(nèi)接矩形問(wèn)題2．如圖，求作：內(nèi)接于已知△ABC的矩形DEFG，使它的邊EF在BC上，頂點(diǎn)D，G分別在AB，AC上，并且有DEEF＝12.21教育網(wǎng)(第2題)三角形的內(nèi)接正方形問(wèn)題(方程思想)3．如圖，△ABC是一塊銳角三角形余料，邊BC＝120mm，高AD＝80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一邊QM在BC上，其余兩個(gè)頂點(diǎn)P，N分別在AB，AC上，則這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是多少？21(第3題)4．(1)如圖①，在△ABC中，點(diǎn)D，E，Q分別在AB，AC，BC上，且DE∥BC，AQ交DE于點(diǎn)P.求證：eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).【出處：21教育名師】(2)在△ABC中，∠BAC＝90°，正方形DEFG的四個(gè)頂點(diǎn)在△ABC的邊上，連接AG，AF，分別交DE于M，N兩點(diǎn)．①如圖②，若AB＝AC＝1，直接寫(xiě)出MN的長(zhǎng)；②如圖③，求證：MN2＝DM·EN.(第4題)專訓(xùn)2圖形的相似中五種熱門(mén)考點(diǎn)名師點(diǎn)金：相似是初中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，也是中考重點(diǎn)考查內(nèi)容之一，而針對(duì)成比例線段、相似三角形的判定與性質(zhì)、位似圖形等都是命題的熱點(diǎn)．成比例線段及性質(zhì)1．下列各組長(zhǎng)度的線段，成比例線段的是()A．2cm，4cm，4cm，8cmB．2cm，4cm，6cm，8cmC．1cm，2cm，3cm，4cmD．2.1cm，3.1cm，4.3cm，5.2cm2．若eq\f(a,2)＝eq\f(b,3)＝eq\f(c,4)＝eq\f(d,7)≠0，則eq\f(a＋b＋c＋d,c)＝________.3．如圖，樂(lè)器上的一根弦AB＝80cm，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂(lè)器板面上，支撐點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，則支撐點(diǎn)C到端點(diǎn)A的距離約為_(kāi)_______(eq\r(5)≈2.236，結(jié)果精確到0.01)．【版權(quán)所有：21教育】(第3題)平行線分線段成比例4．如圖，若AB∥CD∥EF，則下列結(jié)論中，與eq\f(AD,AF)相等的是()A.eq\f(AB,EF)B.eq\f(CD,EF)C.eq\f(BO,OE)D.eq\f(BC,BE)(第4題)(第5題)5．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，以AC為邊向三角形外作正方形ACDE，連接BE交AC于F，若BF＝eq\r(3)cm，則EF＝________.6．如圖，在△ABC中，eq\f(AM,MD)＝4，eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,3)，求eq\f(AE,EC)的值．(第6題)相似三角形的性質(zhì)與判定7．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E在AD上，且AEED＝31，CE的延長(zhǎng)線與BA的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，則S△AEFS四邊形ABCE為()A．34B．43C．79D．97(第7題)(第9題)8．若兩個(gè)相似多邊形的面積之比為14，周長(zhǎng)之差為6，則這兩個(gè)相似多邊形的周長(zhǎng)分別是________．9．將三角形紙片(△ABC)按如圖所示的方式折疊，使點(diǎn)B落在邊AC上，記為點(diǎn)B′，折痕為EF.已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)B′，F(xiàn)，C為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，那么BF的長(zhǎng)度是________．10．如圖，△ABC是直角三角形，∠ACB＝90°，CD⊥AB于D，E是AC的中點(diǎn)，ED的延長(zhǎng)線與CB的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F.(1)求證：FD2＝FB·FC；(2)若FB＝5，BC＝4，求FD的長(zhǎng)．(第10題)11．如圖，四邊形ABCD是正方形，BD是對(duì)角線，BE平分∠DBC交DC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BC的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且CE＝CF，BE的延長(zhǎng)線交DF于點(diǎn)M.(1)求證：BM⊥DF；(2)若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，求ME·MB.(第11題)相似三角形的應(yīng)用12．一天晚上，李明和張龍利用燈光下的影子長(zhǎng)來(lái)測(cè)量一路燈的高度．如圖，當(dāng)李明走到點(diǎn)A處時(shí)，張龍測(cè)得李明直立時(shí)身高AM與影子長(zhǎng)AE正好相等；接著李明沿AC方向繼續(xù)向前走，走到點(diǎn)B處時(shí)，李明直立(BN)時(shí)的影子恰好是線段AB，并測(cè)得AB＝1.25m，已知李明直立時(shí)的身高為1.75m，求路燈的高度CD(結(jié)果精確到0.1m)．21·cn·jy·com(第12題)13．某高中學(xué)校為高一新生設(shè)計(jì)的學(xué)生板凳的正面視圖如圖所示，其中BA＝CD，BC＝20cm，BC，EF平行于地面AD且到地面AD的距離分別為40cm、8cm.為使板凳兩腿底端A，D之間的距離為50cm，那么橫梁EF的長(zhǎng)應(yīng)為多少？(材質(zhì)及其厚度等忽略不計(jì))21教育名師原創(chuàng)作品(第13題)位似(第14題)14．如圖，已知正方形ABCD，以點(diǎn)A為位似中心，把正方形ABCD的各邊縮小為原來(lái)的一半，得正方形AB′C′D′，則點(diǎn)C′的坐標(biāo)為_(kāi)_______．15．如圖，在6×8的網(wǎng)格圖中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)均為1，點(diǎn)O和△ABC的頂點(diǎn)均是小正方形的頂點(diǎn)．(1)以O(shè)為位似中心，在網(wǎng)格圖中作△A′B′C′和△ABC位似，且相似比為12；(2)連接(1)中的AA′，求四邊形AA′C′C的周長(zhǎng)(結(jié)果保留根號(hào))．(第15題)答案eq\a\vs4\al(專訓(xùn)1)1．證明：∵E′C′∥EC，∴∠C′E′O＝∠CEO，eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(OE,OE′).又∵E′D′∥ED，∴∠D′E′O＝∠DEO，eq\f(DE,D′E′)＝eq\f(OE,OE′).∴∠CED＝∠C′E′D′，eq\f(CE,C′E′)＝eq\f(DE,D′E′).∴△CED∽△C′E′D′.又∵△CDE是等邊三角形，∴△C′D′E′是等邊三角形．(第2題)2．解：如圖，在AB邊上任取一點(diǎn)D′，過(guò)點(diǎn)D′作D′E′⊥BC于點(diǎn)E′，在BC上截取E′F′，使E′F′＝2D′E′，過(guò)點(diǎn)F′作F′G′⊥BC，過(guò)點(diǎn)D′作D′G′∥BC交F′G′于點(diǎn)G′，作射線BG′交AC于點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作GF∥G′F′，DG∥D′G′，GF交BC于點(diǎn)F，DG交AB于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作DE∥D′E′交BC于點(diǎn)E，則四邊形DEFG為△ABC的內(nèi)接矩形，且DEEF＝12.21世紀(jì)教育網(wǎng)版權(quán)所有3．解：設(shè)符合要求的正方形PQMN的邊PN與△ABC的高AD相交于點(diǎn)E.設(shè)正方形PQMN的邊長(zhǎng)為xmm，∵PN∥BC，∴△APN∽△ABC.∵△APN與△ABC的對(duì)應(yīng)點(diǎn)都經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，∴△APN與△ABC是以點(diǎn)A為位似中心的位似圖形．∴eq\f(AE,AD)＝eq\f(PN,BC).∴eq\f(80－x,80)＝eq\f(x,120).解得x＝48.即這個(gè)正方形零件的邊長(zhǎng)是48mm.點(diǎn)撥：利用位似圖形的性質(zhì)“位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比”，構(gòu)造方程，利用方程思想解決問(wèn)題．【來(lái)源：21·世紀(jì)·教育·網(wǎng)】4．(1)證明：在△ABQ和△ADP中，∵DP∥BQ，∴△ADP∽△ABQ，∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(AP,AQ).同理△ACQ∽△AEP，∴eq\f(PE,QC)＝eq\f(AP,AQ).∴eq\f(DP,BQ)＝eq\f(PE,QC).(2)①解：MN＝eq\f(\r(2),9).②證明：∵∠B＋∠C＝90°，∠CEF＋∠C＝90°.∴∠B＝∠CEF.又∵∠BGD＝∠EFC＝90°，∴△BGD∽△EFC.∴eq\f(DG,CF)＝eq\f(BG,EF).21·世紀(jì)*教育網(wǎng)∴DG·EF＝CF·BG.又∵DG＝GF＝EF，∴GF2＝CF·BG.由(1)得eq\f(DM,BG)＝eq\f(MN,GF)＝eq\f(EN,CF).∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(MN,GF)))eq\s\up12(2)＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(DM,BG)))·eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(EN,CF)))，即eq\f(MN2,FG2)＝eq\f(DM·EN,BG·CF)，∴MN2＝DM·EN.eq\a\vs4\al(專訓(xùn)2)1．A4cm4.D5.3cm(第6題)6．解：過(guò)D點(diǎn)作DN∥AC，交BE于N，如圖．易知△DMN∽△AME，△BDN∽△BCE.∵eq\f(BD,DC)＝eq\f(2,3)，∴eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,5).∴eq\f(DN,CE)＝eq\f(BD,BC)＝eq\f(2,5).∵eq\f(AM,MD)＝4，∴eq\f(AE,DN)＝eq\f(AM,MD)＝4.∴eq\f(AE,EC)＝eq\f(DN,EC)·eq\f(AE,DN)＝eq\f(2,5)×4＝eq\f(8,5).7．D8.6，129．4或eq\f(24,7)點(diǎn)撥：∵△ABC沿EF折疊，B和B′重合，∴BF＝B′F.設(shè)BF＝x，則CF＝8－x，當(dāng)△B′FC∽△ABC時(shí)，eq\f(B′F,AB)＝eq\f(CF,BC).∵AB＝6，BC＝8，∴eq\f(x,6)＝eq\f(8－x,8)，解得：x＝eq\f(24,7)，即BF＝eq\f(24,7)；當(dāng)△FB′C∽△ABC時(shí)，eq\f(FB′,AB)＝eq\f(FC,AC)，則eq\f(x,6)＝eq\f(8－x,6)，解得：x＝4.故BF＝4或eq\f(24,7).2·1·c·n·j·y10．(1)證明：∵E是Rt△ACD的斜邊的中點(diǎn)，∴DE＝EA.∴∠A＝∠1.∵∠1＝∠2，∴∠2＝∠A.∵∠FDC＝∠CDB＋∠2＝90°＋∠2，∠FBD＝∠ACB＋∠A＝90°＋∠A，∴∠FDC＝∠FBD.又∵∠F是公共角，∴△FBD∽△FDC.∴eq\f(FB,FD)＝eq\f(FD,FC).∴FD2＝FB·FC.www-2-1-cnjy-com(2)解：∵FB＝5，BC＝4，∴FC＝9.∵FD2＝FB·FC，∴FD2＝45.∴FD＝3eq\r(5).11．(1)證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝DC，∠BCE＝∠DCF＝90°.又∵CE＝CF，∴△BCE≌△DCF.21*cnjy*com∴∠CBE＝∠CDF.∴∠CBE＋∠BEC＝∠CDF＋∠DEM＝90°.∴BM⊥DF.(2)解：易知∠CBD＝45°.∵BE平分∠DBC，∴∠DBM＝∠FBM＝22.5°.由(1)知∠BMD＝∠BMF＝90°，∴∠BDM＝∠F＝67.5°.【來(lái)源：21cnj*y.co*m】∴BD＝BF.∴DM＝FM＝eq\f(1,2)DF.∵正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，∴BD＝BF＝2eq\r(2)，∴CF＝2eq\r(2)－2.在Rt△DCF中，DF2＝DC2＋CF2＝4＋(2eq\r(2)－2)2＝16－8eq\r(2).∴DM2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(DF,2)))eq\s\up12(2)＝4－2eq\r(2).∵∠CDF＝∠DBM，∠DME＝∠BMD，∴△DME∽△BMD.∴eq\f(DM,MB)＝eq\f(ME,DM)，即DM2＝ME·MB.∴ME·MB＝4－2eq\r(2).21*cnjy*com12．解：設(shè)CD＝xm．∵AM⊥EC，BN⊥EC，CD⊥EC，∴MA∥CD∥BN.又MA＝EA，∴EC＝CD＝xm．易知△ABN∽△ACD，∴eq\f(BN,CD)＝eq\f(AB,AC)，即eq\f(1.75,x)＝eq\f(1.25,x－1.75)，解得x＝6.125≈6.1，即路燈的高度CD約為6.1m.13．解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作CM∥AB，分別交EF，AD于點(diǎn)N，M，作CP⊥AD，分別交EF，AD于點(diǎn)Q，P.由題意得四邊形ABCM是平行四邊形，∴EN＝AM＝BC＝20cm.∴MD＝AD－AM＝50－20＝30(cm)．由題意知CP＝4