九年級(jí)三角形的內(nèi)角外角和復(fù)習(xí)

三形內(nèi)和外和學(xué)法引1．我們知道，三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180這個(gè)結(jié)論的探索過(guò)程讓我們獲得了寶貴的體驗(yàn)形的形狀、大小與相互位置關(guān)系有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)。請(qǐng)結(jié)合下列圖形顧并與同伴交流三角形內(nèi)角和定理的發(fā)現(xiàn)過(guò)程：⑴如右圖的折疊相當(dāng)于把三角形的三個(gè)內(nèi)角

B

AAB

C剪下來(lái)拼合在一起；⑵．請(qǐng)你剪兩張重合的三角形硬紙片，在靠近各頂點(diǎn)處寫上字母，再把其中一張三角形硬紙片的三個(gè)角剪開(kāi)。如下圖，試試看，你有多少種方法可以拼出∠A+∠B+∠C=180°？有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形。有一個(gè)角是鈍角的三角形叫做鈍角三角形。兩條直角邊相等的直角三角形叫做等腰直角三角形。由三角形內(nèi)角和定理可得：直角三角形的兩個(gè)銳角互余.2．下面讓我們來(lái)關(guān)注一下三角形的外角與和它不相鄰的內(nèi)角的關(guān)系。在一張白紙上畫(huà)出如右圖所示的圖形，然后把∠A、∠剪下拼合在一起放到∠ACD上，看到剛“填滿”∠ACD；我們還可以不實(shí)際移動(dòng)而是依據(jù)前面給出的公理定理和已知條件通過(guò)畫(huà)輔助線，用推理的方法來(lái)證明這些結(jié)論的正確性。其實(shí)，∵∠ACD+∠ACB=180°，

A∠∠∠°，

B

CD∴∠ACD=∠A+∠B?？梢?jiàn)，三角形的一個(gè)外角等于兩個(gè)內(nèi)角的和；三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)內(nèi)角。3．下面我們完成下列練習(xí)：1．個(gè)三角形中最多有個(gè)直角；最多有個(gè)鈍角；2．一個(gè)三形最少有個(gè)內(nèi)角是銳角；3．一個(gè)三形至少有個(gè)角小于或等60

.4．在ABC中，若∠B=90°，則ABC為三角若－∠B=90°則△ABC三角形5.等腰三角形的一個(gè)外角為°，則它的三個(gè)內(nèi)角分別是．6．列說(shuō)法①三角形中有一個(gè)角為銳角的三角形叫銳角三角形。②△ABC中最大邊所對(duì)的角是71°，則該三角形是銳角形。③一個(gè)等腰三角形一定是銳角三角形。④一個(gè)三角形至少有一個(gè)角大于60°。正確的說(shuō)法有

（）.1

ECnB（A）．（B）個(gè)．（C）個(gè)．（D）4個(gè)．5△ABC中A＝61么△ABC是（ECnBA．銳角角形;B．直角三角形;C．鈍角三角形D．以上三種都有可能7．如圖，△ABC中，∠A=36°，AB=，BD平分∠，

AE∥．圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)有()（A）1個(gè)．（）個(gè)．（C4個(gè)．（D）5．

B

題圖

C()8圖知在△ABCAD分外角∠EACAD∥BC△ABC是

C

D（A）任意三角形．（）等邊三角形．（C）等腰三角形．（D）直角三角形．

BAE題圖1．如圖，D在BC邊的延長(zhǎng)線上，若∠，∠B=35°，則∠1=．2．如圖，∥，∠B°，∠D°，則∠E．BC

A1

D

C

B

F

E3

2

A

1CD

C

AFE

D

B題

題2圖

題圖

題4圖3．如圖，ABC中D在BC的延長(zhǎng)線上，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，延到E，連，則∠1，∠2，∠的大小關(guān)系是．4圖，∠A°，∠=35°，∠C°，則∠=．解題指例1三角形內(nèi)角和等于°，那么四邊形、五邊形、??n邊形的角和等于幾度呢？解：已知三角形內(nèi)角和等于，對(duì)

邊形的內(nèi)角和的問(wèn)題可以轉(zhuǎn)化為三角形內(nèi)角和問(wèn)題來(lái)解決──運(yùn)用化歸思想來(lái)解決．如圖(可以在

邊形內(nèi)任取一點(diǎn)P將

邊形分割n

個(gè)三角形n

邊形的內(nèi)角和n2)如圖(也可以從形任一頂點(diǎn)出發(fā)，將n邊形分割n－）個(gè)三角形，則邊的內(nèi)角和n2)

A

DDPPBB題12圖(1)

Cn

n

P

1

32如圖(也可以從邊形任一邊上取一點(diǎn)，連接不相鄰的頂點(diǎn)，將n邊形割（n三角形，n形的內(nèi)角和n2)．n4時(shí)，2)2)n＝5時(shí)，2)

BA題12圖(2)nnABAn題12圖(3)2

3232

四邊形的內(nèi)角和360

、五邊形的內(nèi)角和540

．另外，利用電腦軟件也可測(cè)得三角形、四邊形、五邊形的內(nèi)角和，從而根據(jù)規(guī)律得出計(jì)算n=41.07=64.95=73.98

邊形的內(nèi)角和的公式．如圖ABCABC+m=180.00=80.58

ABCD=104.91CDA=91.79

D=82.72

B

CABC+mBCD+mCDA+mDAB=360.00=112.22BCD=131.22CDE=115.52=107.97

ABE=73.07

C

DABC+mBCD+mCDE+mDEA+mEAB=540.00例2我們知道三角形的內(nèi)角和是，那么三角形的外角和（在說(shuō)三角形的外角和時(shí)，是指三角形不同頂點(diǎn)的外角之和）是多少度邊形的外角和呢？解：方一：其一在一張白紙上畫(huà)出如圖，把∠4、5、∠6剪下來(lái)拼在一起，剛好鋪成一個(gè)無(wú)縫的平面，可見(jiàn)∠＋∠5＋∠6＝360°。其二：如圖，由三角形的外角性質(zhì)可知：∠4=∠＋∠3；∠5=∠1＋∠3；∠6＝∠1＋∠2。

A∴∠4＋∠5＋∠6＝2（∠1＋∠＋∠3）＝360°。

其三：如圖∠1＋∠4=180°

D

C

∠2＋∠5=180°∠3＋∠6＝180°∴∠1＋∠2＋∠3＋∠4＋∠5＋∠6＝1803＝540°而∠1＋∠2＋∠3＝°∴∠4＋∠5＋∠6＝360°即:三角形的外角和為360°對(duì)于n邊形的外角和，可以先填寫下表多邊形的邊數(shù)多邊形內(nèi)角與外角的總和多邊形的內(nèi)角和多邊形的外角和

×180°°°°

……

3

11111不妨以五邊形為例（如圖②五邊形的每一個(gè)內(nèi)角與跟它相鄰的外角構(gòu)成一個(gè)平角，即為°.五邊形有5個(gè)這樣的平角為80°×5＝900°,要求其外11111角和,還需減去其內(nèi)角和:(

n

-2)×180°=(5-2)×180°=540°.∴五邊形的外角和為900°°=360°.對(duì)于n邊形,同樣的方法,同樣得到其外角和為°.真是神奇！方法二讓△ABC逐漸縮，直至A、B三個(gè)點(diǎn)重合（如圖③）此時(shí)，三角形的外角∠4、∠5、∠6合起來(lái)，剛好成為一個(gè)周角，大小為360°.類似地你可以把五邊形,甚至n形都縮為一點(diǎn),想象一下,你發(fā)現(xiàn)它的外角和是多少度了嗎?方法三三角形外角和,想象一,當(dāng)我們?cè)诶@三角形花壇行走一周回到出發(fā)點(diǎn)時(shí),我們走的方向共經(jīng)歷了三“轉(zhuǎn)折一共轉(zhuǎn)了360°.若n邊形花壇，則共經(jīng)歷n

次“轉(zhuǎn)折”,一共轉(zhuǎn)了360°.不管三角形的形狀小如何不同角和是°角和總

邊形的外角和也總360

．多邊形定義：一般的，由n條不在同一直線上的線段首尾順次連結(jié)組成的平面圖行稱為n邊形，又稱為多邊形。（注意：我們現(xiàn)在研究的多邊形均指凸多邊形例4知：如下圖,點(diǎn)D

ABC

內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，點(diǎn)

外角平分線的交點(diǎn)，用AAD

的代數(shù)式表D.并說(shuō)明理由∵BD平分∠，平分∠ACB∴∠1=∠ABC，∠2=∠ACB2F

B

1234E例

CG

∴∠1+∠2=（∠ABC+∠2（180-∠）-∠A2∴∠D=180°（∠∠）=180°-（90∠A）∠A2∴∠3+∠1=（∠ABC+∠CBF）×180°2同理：∠∠°，即∠=∠=90°，∴∠E=360°-∠D-∠-∠DCE=360°90-90°（90°+∠）=90°-∠．2例5求證：三角形的內(nèi)角和等于180°要求畫(huà)出圖形，寫出已知、求證和證明過(guò)程).解：已知：如圖，△ABC．求證：∠A++∠C=180°．

A證明：在邊上取點(diǎn)D作∥，DF∥∵DE

F

E∴∠∠B，∠2=∠4．∵DF∥AC

B

4213D例

C4

∴∠∠C，∠4=∠．∴∠∠A．等量代換)∵∠∠2+∠3=180o(一平角=180o)∴∠A+∠+∠C=180o(等量代換)例6知：如圖，AM,分別平BAD．求證M

12

()

．證明：∵AM

分別平BADBCD

，B

M

∴BAM，（）

1

2

D

（）（三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和）（1）（）得：A

例圖

C

性質(zhì)）1M2A組5．如果三角形的一個(gè)外角不大于和它相鄰的內(nèi)角，那么這個(gè)三角形是)（A）銳角三角形或直角三角形．（）鈍角三角形或銳角三角形．（C）直角三角形或鈍角三角形．（D）直角三角形．6．給出下列命題：⑴三角形的一個(gè)外角小于它的一個(gè)內(nèi)角．⑵若一個(gè)三角形的三個(gè)內(nèi)角之比為1：3：4，它肯定是直角三角形⑶三角形的最小內(nèi)角不能大于°⑷三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和其中真命題的個(gè)數(shù)是()（A）個(gè)．（B）個(gè)．（C）個(gè)．（D）4個(gè)．6．直角三角形兩銳角的平分線所夾的角是()（A）30°．（B）60°．（C）75．（D）135°．9．等腰三角形腰上的高與底邊的夾與頂角之間的關(guān)系是．11.如圖eq\o\ac(△,，)ABC中線BD相交于點(diǎn)H若∠=50°則∠BHC=．12．如圖，已知在△ABC中，平分外角∠，BD是∠ABC內(nèi)任一射線，交AD于．則∠DAC∠的大小關(guān)系是．三、解題

10)

E

A

D

A

15．已知是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，

B

H題11圖

C

C題12圖P

連、CP．

求證：∠BPC∠1+∠2+∠．B

題15圖

C5

16求證兩條直線平行一對(duì)同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直(要求畫(huà)出圖形，寫出已知、求證和證明過(guò)程.17．如圖，C表示燈塔．輪從A處出發(fā)以每小時(shí)18里