實數(shù)的完備性

實數(shù)的完備性第一頁，共四十三頁，2022年，8月28日1即數(shù)列的單調(diào)有界定理在有理數(shù)域不成立。即柯西收斂準(zhǔn)則在有理數(shù)域不成立。第二頁，共四十三頁，2022年，8月28日2本節(jié)介紹刻畫實數(shù)完備性的另外三個定理：區(qū)間套定理、聚點定理和有限覆蓋定理，還將說明這六個基本定理的等價性。

一、區(qū)間套定理定義1設(shè)閉區(qū)間列{[]}具有如下性質(zhì)：(i)

(ii)[]則稱為閉區(qū)間套，或簡稱區(qū)間套.[][][·]第三頁，共四十三頁，2022年，8月28日3定理1（區(qū)間套定理）

若{[]}是一個區(qū)間套，則在實數(shù)系中存在唯一的一點，使證:

由條件(i)為遞增有界數(shù)列，依單調(diào)有界原理，有極限，

且遞減有界數(shù)列也有極限，并按區(qū)間套的條件(ii)有

且且（存在性）單調(diào)有界原理區(qū)間套定理第四頁，共四十三頁，2022年，8月28日4即證明是唯一的

.推論

若是區(qū)間套所確定的點,()[][]證:

（唯一性）第五頁，共四十三頁，2022年，8月28日5區(qū)間套定理主要用于存在性問題的研究.存在性的問題是數(shù)學(xué)分析的核心問題,許多問題都?xì)w結(jié)為證明存在某種性質(zhì)的點.一般來說,要證明存在性的問題,是要回答“有沒有”的問題.如果沒有實數(shù)的基本定理(單調(diào)有界定理,區(qū)間套定理等)，這種存在性的回答是非常困難的.用區(qū)間套證題通常分為三個步驟：(1)分析所要證明存在的點滿足的所謂“鄰域性質(zhì)”，由此構(gòu)造區(qū)間套（這一步往往是技術(shù)性的,有一定的難度）；(2)由區(qū)間套定理,確認(rèn)點的存在性（關(guān)鍵的一步）；(3)驗證所得到的點就是所要找的點.第六頁，共四十三頁，2022年，8月28日6在什么情況下應(yīng)用閉區(qū)間套定理呢？一般來說,證明問題需要找到具有某種性質(zhì)P的一個數(shù),常常應(yīng)用閉區(qū)間套定理將這個數(shù)“套”出來。怎樣應(yīng)用閉區(qū)間套定理呢?①首先構(gòu)造一個具有性質(zhì)P的閉區(qū)間.性質(zhì)要根據(jù)性質(zhì)P來定。②其次，通常采用二等分法，將此閉區(qū)間二等分，至少有一個閉區(qū)間具有性質(zhì)P。③繼續(xù)二等分法，得到滿足閉區(qū)間套定理條件的和具有性質(zhì)P的閉區(qū)間列，根據(jù)閉區(qū)間套定理，就得到唯一一個具有性質(zhì)P的數(shù)。第七頁，共四十三頁，2022年，8月28日7例1.用區(qū)間套定理證明“數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則”

.證:(必要性)

(充分性)寫作“幾乎所有的項”即在區(qū)間內(nèi)含有中除有限項外所有的項，

第八頁，共四十三頁，2022年，8月28日8[充分性]

即在區(qū)間內(nèi)含有中幾乎外所有的項.第九頁，共四十三頁，2022年，8月28日9仿以上方法得到閉區(qū)間列

由區(qū)間套定理，存在唯一的一個數(shù)

由推論得：因此在內(nèi)含有中除有限項外的所有項，第十頁，共四十三頁，2022年，8月28日10二、聚點定理設(shè)S為數(shù)軸上的點集，為定點（它可以屬于S，也可以不屬于S）。若的任何鄰域內(nèi)都含有S中無窮多個點，則稱為點集S的一個聚點。第十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日11整數(shù)集Z和自然數(shù)集N沒有聚點。任何有限數(shù)集沒有聚點.

聚點概念的另兩個等價定義:則稱為S的一個聚點。

若存在各項互異的收斂數(shù)列顯然，第十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日12三個定義等價性的證明:

設(shè)為S（按定義）的聚點，

())(無限地重復(fù)以上步驟，得到S中各項互異的數(shù)列證畢。注意這種技巧！第十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日13定理3.2.2((Weierstrass)聚點定理)實軸上的任意有界無限點集E至少有一個聚點。證：因為E是有界點集，現(xiàn)將等分為兩個子區(qū)間。因為E是無限點集，故兩個子區(qū)間中至少有一個含有E中無窮多個點，區(qū)間套定理聚點定理再將等分為兩個子區(qū)間，

第十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日14再將等分為兩個子區(qū)間，

則其中至少有一個子區(qū)間含有E中無窮多個點,將此等分子區(qū)間的手續(xù)無限的進行下去，得到一個區(qū)間列且第十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日15且其中每一個閉區(qū)間都含E中無窮多個點。由區(qū)間套定理，存在唯一的點由推論得：從而內(nèi)含有S中無窮多個點，按定義2，為S的一個聚點。第十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日16第十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日17例3.2.2（致密性定理）有界數(shù)列必含有收斂子列。證設(shè){xn}為有界數(shù)列,若{xn}中有無限多個相等的項，則由這些項組成的子列是一個常數(shù)列，總是收斂的。點集{xn}至少有一個聚點，

若{xn}中不含無限多個相等的項，則{xn}在數(shù)軸上對應(yīng)的點集必為有界無限點集，故由聚點定理，證畢。注：于是按定義，存在{xn}的一個收斂子列（以為其極限）.用聚點定理證明致密性定理第十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日18注：聚點定理和致密性定理在有理數(shù)域不一定成立。S是有界的無限有理點集，在實數(shù)域內(nèi)的唯一聚點為e，因而在有理數(shù)域沒有聚點。數(shù)列{xn}是有理數(shù)域內(nèi)的有界數(shù)列，但其極限是無理數(shù)e.從而任一子列均收斂于e。故{xn}在有理數(shù)域內(nèi)沒有收斂的子列。第十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日19定義3.（開覆蓋的定義）

設(shè)S為數(shù)軸上的點集，H為開區(qū)間的集合，即H的每一個元素都是形如的開區(qū)間.若S中任何一點都含在H中至少一個開區(qū)間內(nèi)，則稱H為S的一個開覆蓋，或稱H覆蓋S.若H中開區(qū)間的個數(shù)是無限的（有限）的，則稱H為S的一個無限開覆蓋（有限開覆蓋）。三、有限覆蓋定理第二十頁，共四十三頁，2022年，8月28日20也可以用以下方式定義開覆蓋:定義3’：設(shè)S為數(shù)軸上的點集,H為開區(qū)間的集合:若則稱H為S的一個開覆蓋,或稱H覆蓋S.第二十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日21函數(shù)f在(a,b)內(nèi)連續(xù)，這樣就得到一個開區(qū)間集:它是區(qū)間(a,b)的一個無限開覆蓋。是區(qū)間(0,1)的一個無限開覆蓋。如：第二十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日22例3.設(shè)則開區(qū)間集S沒有覆蓋區(qū)間I，不存在例4.設(shè)則開區(qū)間集S覆蓋區(qū)間I，只要自然數(shù)m充分大，有第二十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日23證明思路：(反證法+區(qū)間套定理)設(shè)不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋.1)構(gòu)造一區(qū)間套其中每一個區(qū)間不能用H中有限個開區(qū)間覆蓋;2)由區(qū)間套定理,存在唯一3)一定落在H中的某個開區(qū)間內(nèi):進而當(dāng)n大到一定程度時有矛盾!定理3.2.3((Heine-Borel)有限覆蓋定理)

設(shè)H為閉區(qū)間[a,b]的任一(無限)開覆蓋，則必可從H中選出有限個開區(qū)間來覆蓋[a,b].區(qū)間套定理有限覆蓋定理第二十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日24定理3.2.3((Heine-Borel)有限覆蓋定理)

證:(反證法)

設(shè)不能從H中選出有限個開區(qū)間覆蓋[a,b].將[a,b]等分為兩個子區(qū)間，則其中至少有一個子區(qū)間不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋,記這個子區(qū)間為

再將[a1,b1]等分為兩個子區(qū)間，其中至少有一個區(qū)間不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋.區(qū)間套定理有限覆蓋定理設(shè)H為閉區(qū)間[a,b]的任一(無限)開覆蓋，則必可從H中選出有限個開區(qū)間來覆蓋[a,b].第二十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日25記這個子區(qū)間為[a2,b2],重復(fù)上述步驟并不斷地進行下去，則得到一個閉區(qū)間列

且其中每一個閉區(qū)間都不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋.

第二十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日26由區(qū)間套定理，存在唯一的一點由于H是閉區(qū)間[a,b]的一個開覆蓋，由定理1的推論，當(dāng)n充分大時有這表明[an,bn]只須用H中的一個開區(qū)間就能覆蓋,這與挑選[an,bn]時的假設(shè)“不能用H中有限個開區(qū)間來覆蓋”相矛盾。

證畢.第二十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日27有限覆蓋定理對開區(qū)間不一定成立。注:構(gòu)成了開區(qū)間(0,1)的一個開覆蓋，但不能從中選出有限個開區(qū)間蓋住（0，1）.因為右端點始終為1，左端點有限個中必有一個最小者，第二十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日28一般來說，如果我們已知在閉區(qū)間[a,b]的每一點的某個鄰域內(nèi)都具有性質(zhì)P，每一點的鄰域（開區(qū)間）集覆蓋[a,b]，為了將性質(zhì)P擴充到整個閉區(qū)間[a,b]，這時用有限覆蓋定理能將覆蓋[a,b]的無限多個鄰域轉(zhuǎn)化為有限個鄰域。總之，要想將閉區(qū)間每一點的局部性質(zhì)擴充到整個閉區(qū)間，常常要用有限覆蓋定理。第二十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日29定理3.1.12（一致連續(xù)性定理）若函數(shù)在閉區(qū)間上連續(xù),則在上一致連續(xù).證明:例3.2.3有限覆蓋定理一致連續(xù)性定理第三十頁，共四十三頁，2022年，8月28日30第三十一頁，共四十三頁，2022年，8月28日31四、實數(shù)完備性基本定理的等價性實數(shù)完備性的六個基本定理，即：1.確界原理（定理1.1.1）；2.單調(diào)有界定理（定理2.1.7）；

4.區(qū)間套定理（定理3.2.1）；6.有限覆蓋定理（定理3.2.3）

5.聚點定理（定理3.2.2）3.柯西收斂準(zhǔn)則（定理2.10）；在實數(shù)系中這六個命題是相互等價的。在有理數(shù)系中這六個命題不一定成立。第三十二頁，共四十三頁，2022年，8月28日32實數(shù)集的完備性基本定理1.確界原理:非空數(shù)集必有上確界與下確界.單調(diào)有界定理:2.在實數(shù)系中,有界的單調(diào)數(shù)列必有極限.3.柯西收斂準(zhǔn)則:收斂4.區(qū)間套定理:若是一個區(qū)間套,則在實數(shù)系中存在唯一的一點使得且5.聚點定理(Bolzano-Weierstrass定理):實數(shù)集上的任一有界無限點集S至少有一個聚點.6.有限覆蓋定理(Heine-Borel定理):若H為閉區(qū)間的一個(無限)開覆蓋,則從H中可選出有限個開區(qū)間來覆蓋第三十三頁，共四十三頁，2022年，8月28日33

柯西收斂準(zhǔn)則

區(qū)間套定理

聚點定理

確界原理

有限覆蓋定理

單調(diào)有界定理

本教材中實數(shù)完備性基本定理的等價性的證明致密性定理一致連續(xù)定理例2例5例6第三十四頁，共四十三頁，2022年，8月28日34設(shè)則存在使得（零點定理）證:不妨設(shè)規(guī)定:若函數(shù)f(x)在區(qū)間I左端點的值小于零,右端點的值大于零,則稱函數(shù)f(x)在區(qū)間I上具有性質(zhì)P.取則具有性質(zhì)設(shè)的中點為若定理得證。（以下總設(shè)在中分點處的值都不為零）。若則取否則取則具有性質(zhì)且例5.用區(qū)間套定理證明零點定理第三十五頁，共四十三頁，2022年，8月28日35由閉區(qū)間套定理，存在唯一的一點ξ，使再由函數(shù)f(x)的連續(xù)性及歸結(jié)原則,有故由歸納法，得閉區(qū)間套：具有性質(zhì)且1）2）且設(shè)具有性質(zhì)仿上述構(gòu)造方法，可得到具有性質(zhì)第三十六頁，共四十三頁，2022年，8月28日36例6.用有限覆蓋定理證明聚點定理.證設(shè)S是無限有界點集,則存在M>0,使得設(shè)開區(qū)間集第三十七頁，共四十三頁，2022年，8月28日37很明顯,H覆蓋了閉區(qū)間[–

M,M].根據(jù)有限覆蓋設(shè)開區(qū)間集由H的構(gòu)造,所以矛盾.定理,存在

H中的有限子覆蓋第三十八頁，共四十三頁，2022年，8月28日38使得為的上界，而不是的上界，故存在，使得.(1)

則對每一個正整數(shù)n存在相應(yīng)的，即存在，使得分別取對任何正數(shù)存在整數(shù)使得不是的上界，例7.用數(shù)列的柯西收斂準(zhǔn)則證明確界原理．證設(shè)為非空有上界數(shù)集．由實數(shù)的阿基米德性，又對正整數(shù)是的上界，故有．結(jié)合（1）式得；同理有從而得于是，對任給的存在，使得當(dāng)時有第三十九頁，共四十三頁，2022年，8月28日39故存在，使得．首先，對任何和正整數(shù)n有，