弧長及扇形的面積

第三章(Zhang)

圓第9節(jié)弧長及扇形的面積第一頁，共三十五頁。1課堂講(Jiang)解弧長公式

扇形面積公式2課時流程逐點導(dǎo)講練課堂小結(jié)作業(yè)提升第二頁，共三十五頁。我們在小學學習了圓的面積和扇形的面積，也學習了圓的周長，那么圓上一部分的長，也就是一條弧的長怎(Zen)么去求呢？現(xiàn)在重新學習圓的面積和扇形面積，比以前是不是有了更深的要求呢？下面我們就來學習本節(jié)內(nèi)容.第三頁，共三十五頁。1知(Zhi)識點弧長公式如圖，某傳送帶的一個轉(zhuǎn)動輪的半徑為10cm.(1)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)一周，傳送帶上的物品A

被傳送多少厘米？(2)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)1°,傳送帶上的物品A被

傳送多少厘米？(3)轉(zhuǎn)動輪轉(zhuǎn)n°，傳送帶上的物品A被傳送多少厘米？知1－導(dǎo)第四頁，共三十五頁。歸納知(Zhi)1－導(dǎo)（來自教材》）

在半徑為R的圓中，n°的圓心角所對的弧長的計算公式為：

l=__________________.第五頁，共三十五頁。（1）半徑為R的圓，周長是多少？（2）圓的周長可以看作是多少度的圓心角所對的??？（3）1°圓心角所對的弧長是多少？（4）n°圓心角所對的弧長是1°圓心角所對的弧長的多少倍？（5）n°圓心角所對的弧長是多少？（1）C=2πR（2）360°（3）（4）n倍（5）也(Ye)可以用ABl表示AB的長.知1－講n°o⌒⌒第六頁，共三十五頁。知(Zhi)1－講（來自《點撥》）1．弧、弧長、弧的度數(shù)間的關(guān)系：

弧相等表示弧長、弧的度數(shù)都相等；

度數(shù)相等的弧，弧長不一定相等；

弧長相等的弧，弧的度數(shù)不一定相等．2．易錯警示：在弧長公式

l＝

中，n表示1°的n

倍，180表示1°的180倍，n，180不帶單位．第七頁，共三十五頁。知(Zhi)1－講（來自教材）制作彎形管道時，需要先按中心線計算“展直長度”再下料.試計算如圖所示的管道的展直長度，即

的長（結(jié)果精確到0.1mm).例1解：R=40mm，n=110，所以

的長=76.8(mm).因此，管道的展直長度約為76.8mm.第八頁，共三十五頁。知(Zhi)1－講（來自《點撥》）〈衡陽〉如圖，⊙O的半徑為6cm，直線AB是⊙O的切線，切點為點B，弦BC∥AO，若∠A＝30°，則劣弧BC的長為________．例2導(dǎo)引：由切線性質(zhì)可知∠OBA＝90°.因為∠A＝30°，所以∠BOA＝60°，因為BC∥AO，所以∠CBO＝60°.又因為OB＝OC，所以△OBC為等邊三角形，所以∠BOC＝60°，代入公式l＝

＝2π(cm)．2πcm第九頁，共三十五頁?？?/p>

結(jié)知(Zhi)1－講（來自《點撥》）求弧長需要兩個條件：(1)弧所在圓的半徑；(2)弧所對的圓心角．

當題中沒有直接給出這兩個條件時，則需利用圓的相關(guān)知識：弦、弦心距、圓周角、切線等求出圓的半徑或弧所對的圓心角．第十頁，共三十五頁。知(Zhi)1－練（來自《典中點》）如圖，某田徑場的周長(內(nèi)圈)為400m，其中兩個彎道內(nèi)圈(半圓形)共長200m,直線段共長200m，而每條跑道寬約1m(共6條跑道).(1) 內(nèi)圈彎道半徑為多少米？(結(jié)果精確到0.1m)一個內(nèi)圈彎道與一個外圈彎道的長相差多少米？(結(jié)果精確到0.1m)1第十一頁，共三十五頁。知(Zhi)1－練（來自教材）解：(1)設(shè)內(nèi)圈彎道的半徑為rm．由題意知×2πr＝100.

解得r≈31.8.∴內(nèi)圈彎道的半徑約為31.8m.(2)設(shè)外圈彎道的半徑為Rm．

∵共有6條跑道，故外圈彎道的半徑R＝

∴一個外圈彎道的弧長為×2πR＝πR＝π＝(100＋6π)(m)．

∴一個內(nèi)圈彎道與一個外圈彎道的長相差約100＋6π－100＝6π≈18.8(m)．第十二頁，共三十五頁。【中考·三明】在在半徑為6的⊙O中，60°圓心角所對的弧(Hu)長是(

)A．πB．2πC．4πD．6π知1－練（來自《典中點》）2B第十三頁，共三十五頁。【中考·南寧】如圖，⊙O是△ABC的外(Wai)接圓，BC＝2，∠BAC＝30°，則BC的長等于(

)A.B.C.D.知1－練（來自《典中點》）3︵A第十四頁，共三十五頁?！局锌肌熍_(Tai)】如圖，在?ABCD中，∠B＝70°，BC＝6，以AD為直徑的⊙O交CD于點E，則DE的長為(

)A.πB.πC.πD.π知1－練（來自《典中點》）4︵B第十五頁，共三十五頁。2知識(Shi)點扇形面積公式知2－導(dǎo)

在一塊空曠的草地上有一根柱子，柱子上拴著一條長3m的繩子，繩子的另一端拴著一只狗.（1）這只狗的最大活動區(qū)域有多大？（2）如果這只狗只能繞柱子轉(zhuǎn)過n°角，

那么它的最大活動區(qū)域有多大？第十六頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講1.半徑為R的圓,面積是多少？2.圓面可以看作是多少度的圓心角所對的扇形？3.1°圓心角所對扇形面積是多少？1.S=πR22.360°3.若設(shè)⊙O半徑為R，n°的圓心角所對的扇形面積為S，則ABO思考1：第十七頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講思考2：扇形面積的大小與哪些因素有關(guān)系？扇形面積的大小與扇形的半徑和圓心角有關(guān).第十八頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講比較扇形面積公式與弧長公式，可以用弧長表示扇形面積：其中l(wèi)為扇形的弧長，R為半徑.第十九頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講（來自教材）扇形AOB的半徑為12cm，

∠

AOB=120°，求

的長(結(jié)果精確到0.1cm)和扇形AOB的面積(結(jié)果精確到0.1cm2).例3解：

的長=

25.1(cm).S扇形=

150.7(cm2).因此，

的長約為25.1cm，扇形AOB的面積約為150.7cm2.第二十頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講（來自《點撥》）〈廣東〉如圖，某數(shù)學興趣小組將邊長為3的正方形鐵絲框ABCD變形為以A為圓心，AB為半徑的扇形(忽略鐵絲的粗細)，則所得的扇形DAB的面積為(

)A．6

B．7

C．8

D．9例4D第二十一頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講（來自《點撥》）導(dǎo)引：由正方形的邊長為3，可得弧BD的弧長為6，然后利用扇形的面積公式：S扇形DAB＝

lR，計算即可．由條件可知：扇形的弧DCB的長就是正方形的邊BC與CD長的和，為6，半徑為3，則S扇形＝×6×3＝9.第二十二頁，共三十五頁?？?/p>

結(jié)知(Zhi)2－講（來自《點撥》）扇形的面積計算有兩個公式：1.當已知扇形的圓心角時，用公式S扇形＝

較為簡便；2.當知道扇形的弧長時，用公式S扇形＝

lR較為簡便．第二十三頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講（來自《點撥》）如圖，在⊙O中，弦BC垂直于半徑OA，垂足為點E，D是優(yōu)弧BC上的一點，∠ADB＝30°.(1)求∠AOC的度數(shù)；(2)若弦BC＝6，求圖中陰影部分的面積．例5第二十四頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講（來自《點撥》）導(dǎo)引：(1)根據(jù)垂徑定理得到相等的弧，再由同圓或等圓中，弧、圓心角、圓周角之間的關(guān)系求得∠AOC的度數(shù)；(2)先求出⊙O的半徑，再求出圓心角∠BOC的度數(shù)，利用面積差求出陰影部分的面積．第二十五頁，共三十五頁。知(Zhi)2－講（來自《點撥》）解：(1)∵弦BC垂直于半徑OA，∴BE＝CE，.

又∵∠ADB＝30°，∴∠AOC＝∠BOA＝60°.(2)∵BC＝6，∴CE＝

BC＝3.

在Rt△OCE中，∠OCE＝30°，

設(shè)OE＝x，則OC＝2x，CE＝

x＝3，解得x＝.∴OE＝

，OC＝2.∵，∴∠BOC＝2∠AOC＝120°，∴S陰影＝S扇形OBC－S△OBC

＝×π×(2)2－×6×＝4π－3.第二十六頁，共三十五頁?？?/p>

結(jié)知(Zhi)2－講（來自《點撥》）本例中求弓形面積可轉(zhuǎn)化為兩個規(guī)則的基本圖形(扇形、三角形)面積的差來解決．將所求面積轉(zhuǎn)化為其他幾個規(guī)則圖形面積的和或差，是求陰影面積最常用的方法．第二十七頁，共三十五頁。知(Zhi)2－練（來自《教材》）如圖，水平放置的一個油管的橫截面半徑為12cm，其中有油的部分油面高6cm，求截面上有油部分的面積(結(jié)果精確到0.1cm2).1第二十八頁，共三十五頁。知(Zhi)2－練（來自教材）解：如圖，連接OA，OB.設(shè)OC⊥AB于點C，交圓O于點D.∵CD＝6cm，OD＝OA＝12cm，∴OC＝12－6＝6(cm).在Rt△AOC中，AC＝∴AB＝12cm，cos∠COA＝∴∠COA＝60°.∴∠AOB＝120°.∴截面上有油部分的面積為S扇形AOB－S△AOB

＝≈88.4(cm2)．第二十九頁，共三十五頁?！局锌肌ぬm州】如圖，正方形ABCD內(nèi)(Nei)接于半徑為2的⊙O，則圖中陰影部分的面積為(

)A．π＋1B．π＋2C．π－1D．π－2知2－練（來自《典中點》）2D第三十頁，共三十五頁?！局?Zhong)考·桂林】如圖，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，OA＝3，OB＝2，將Rt△AOB繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°后得Rt△FOE，將線段EF繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°后得線段ED，分別以O(shè)，E為圓心，OA，ED長為半徑畫弧AF和弧DF，連接AD，則圖中陰影部分的面積是(

)A．πB.C．3＋πD