中考特殊平行四邊形證明及計(jì)算經(jīng)典習(xí)題及答案知識(shí)講解

DSE金牌數(shù)學(xué)專題系列| 經(jīng)典專題系列初中數(shù)學(xué)中考特殊四邊形證明及計(jì)算一.解答題1.(1)如圖①，口ABCD的對角線AC,BD交于點(diǎn)O,直線EF過點(diǎn)O,分別交AD,BC于點(diǎn)E,F.求證：AE=CF.(2)如圖②，將。ABCD(紙片)沿過對角線交點(diǎn)O的直線EF折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)A1處，點(diǎn)B落在點(diǎn)B1處，F(xiàn)B1交CD于點(diǎn)G,A1B1分別交CD,DE于點(diǎn)H,I.求證：EI=FG.考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；翻折變換(折疊問題).分析：(1)由四邊形ABCD是平行四邊形，可得AD〃BC,OA=OC,又由平行線的性質(zhì)，可得N1=N2,繼而利用ASA,即可證得^AOE04COF,則可證得AE=CF.(2)根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)與折疊性質(zhì)，易得AFmCF.NAlNAmNCNBlNBmND,繼而可證得^AJE04CGF,即可證得EI=FG.解答：證明：(1)二?四邊形ABCD是平行四邊形，.??AD〃BC,OA=OC,AZ1=Z2,在^AOE和^COF中，rZL=Z2OA=OC,AAAOE^ACOF(ASA),AAE=CF；,Z3=Z4(2)二?四邊形ABCD是平行四邊形，???/人=/仁/8=/口，由(1)得AE=CF,由折疊的性質(zhì)可得：AE=A1E,ZA1=ZA,ZB1=ZB,.?.AFmCF.NAfNAmNGNBlNBmND,又?.?N1=N2,.'.N3=N4,：N5=N3,N4=N6,.??/5=/6,在4A1IE與八CGF中，rZA1=ZCZ5=Z&,AAA1IE^ACGF(AAS),?'.EI=FG.A1E=CF11國④ 圖②點(diǎn)評：此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、折疊的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì).此題難度適中，注意掌握折疊前后圖形的對應(yīng)關(guān)系，注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2.在△ABC中，AB=AC,^P為工ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，過點(diǎn)P分別作PE〃AC交AB于點(diǎn)E,PF〃AB交BC于點(diǎn)D,交AC于點(diǎn)F.若點(diǎn)P在BC邊上（如圖1）,此時(shí)PD=0,可得結(jié)論：PD+PE+PF=AB.請直接應(yīng)用上述信息解決下列問題：當(dāng)點(diǎn)P分別在△ABC內(nèi)（如圖2），△ABC外（如圖3）時(shí)，上述結(jié)論是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，PD，PE，PF與AB之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系，請寫出你的猜想，不需要證考點(diǎn)：平行四邊形的性質(zhì).專題：探究型.分析：在圖2中，因?yàn)樗倪呅蜳EAF為平行四邊形，所以PE=AF,又三角形FDC為等腰三角形，所以FD=PF+PD=FC,即PE+PD+PF=AC=AB，在圖3中，PE=AF可證，F(xiàn)D=PF-PD=CF，^PF-PD+PE=AC=AB.解答:解：圖2結(jié)論：PD+PE+PF=AB.圖2證明：過點(diǎn)P作MN〃BC分別交AB，AC于M，N兩點(diǎn)，PE#AC，PF〃AB，??四邊形AEPF是平行四邊形，MN#BC，PF#AB???四邊形BDPM是平行四邊形，AAE=PF，ZEPM=ZANM=ZC，VAB=AC，AZEMP=ZB，.\ZEMP=ZEPM，；?PE=EM，??PE+PF=AE+EM=AM.??四邊形BDPM是平行四邊形，??MB=PD.???PD+PE+PF=MB+AM=AB，即PD+PE+PF=AB.圖3結(jié)論：PE+PF-PD=AB.點(diǎn)評：此題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，難易程度適中，讀懂信息，把握規(guī)律是解題的關(guān)鍵.

點(diǎn)F.(1)(2)(3).如圖，△ABC是等邊三角形，點(diǎn)D是邊BC上的一點(diǎn)，以AD為邊作等邊△人口￡,過點(diǎn)C作CF〃DE交點(diǎn)F.(1)(2)(3)在（1）的條件下直接寫出△AEF和^ABC的面積比；明；若不成立，請說明理由.圖②考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).專題分析:證明題.（1）根據(jù)△ABC和^AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED〃CF,求證△ABD04CAF,進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；（2）在（1明；若不成立，請說明理由.圖②考點(diǎn)：平行四邊形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì).專題分析:證明題.（1）根據(jù)△ABC和^AED是等邊三角形，D是BC的中點(diǎn)，ED〃CF,求證△ABD04CAF,進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形即可；（2）在（1）的條件下可直接寫出△AEF和^ABC的面積比；(3)根據(jù)ED〃FC,結(jié)合NACB=60°得出NACF=NBAD,求證△ABD/^CAF,得出ED=CF,即可證明EF=DC.進(jìn)而求證四邊形EDCF是平行四邊形解答:(1),證明：?「△ABC是等邊三角形圖②D是BC的中點(diǎn)，.ADLBC,且NBADVZBAC=30°2「△AED是等邊三角形，.??AD=AE,NADE=60°,.\ZEDB=90°-ZADE=90°-60°=30?.?ED〃CF,AZFCB=ZEDB=30°,VZACB=60°,AZACF=ZACB-ZFCB=30°,???NACF=NBAD=30°,在△ABD和^CAF中，rZBAD=ZACFAB=CAlZfac=Zb.?.△ABDSCAF(ASA),?'.AD=CF,「AD=ED,.??ED=CF,又「EDaCF,.?.四邊形EDCF是平行四邊形，...EF=CD.（2）解：△AEF和^ABC的面積比為：1：4；AABDCAABDC RD(3)解：成立. 圖① 圖②理由如下：???ED〃FC,.??NEDB=NFCB,VZAFC=ZB+ZBCF=60°+ZBCF,ZBDA=ZADE+ZEDB=60°+ZEDBAZAFC=ZBDA,rZBDA=ZAFC在^ABD和^CAF中，ZB=ZFAC:AB=CA.△ABDSCAF(AAS),.AD=FC,VAD=ED,.ED=CF,又,?，ED〃CF,.四邊形EDCF是平行四邊形，.??EF=DC.點(diǎn)評：此題主要考查學(xué)生對平行四邊形的判定和性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、等邊三角形的性質(zhì)的理解和掌握.此題涉及到的知識(shí)點(diǎn)較多，綜合性較強(qiáng)，難度較大..如圖，在菱形ABCD中，AB=10,NBAD=60度.點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)；設(shè)點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0YW10).(1)點(diǎn)N為BC邊上任意一點(diǎn)，在點(diǎn)M移動(dòng)過程中，線段MN是否一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分并說明理由；(2)點(diǎn)N從點(diǎn)B(與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同)以每秒2個(gè)單位長的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，在什么時(shí)刻，梯形ABNM的面積最大并求出面積的最大值；(3)點(diǎn)N從點(diǎn)B(與點(diǎn)M出發(fā)的時(shí)刻相同)以每秒a(aN2)個(gè)單位長的速度沿著射線BC方向(可以超越C點(diǎn))移動(dòng)，過點(diǎn)M作MP#AB,^BC于點(diǎn)P.當(dāng)^MPN^^ABC時(shí)，設(shè)△MPN與菱形ABCD重疊部分的面積為S,求出用t表示S的關(guān)系式，井求當(dāng)S=0時(shí)的值.考點(diǎn)：菱形的性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；全等三角形的性質(zhì).專題:壓軸題.分析：(1)菱形被分割成面積相等的兩部分，那么分成的兩個(gè)梯形的面積相等，而兩個(gè)梯形的高相等，只需上下底的和相等即可.(2)易得菱形的高，那么用t表示出梯形的面積，用t的最值即可求得梯形的最大面積.(3)易得△MNP的面積為菱形面積的一半，求得不重合部分的面積，讓菱形面積的一半減去即可.解答：解：(1)設(shè):BN=a,CN=10-a(0<a<10)因?yàn)?，點(diǎn)M從點(diǎn)A以每秒1個(gè)單位長的速度沿著AD邊向點(diǎn)D移動(dòng)，點(diǎn)M移動(dòng)的時(shí)間為t秒(0<t<10)所以，AM=1xt=t(0<t<10),MD=10-t(0<t<10).所以，梯形AMNB的面積=(AM+BN)x菱形高:2=(t+a)x菱形高;2；梯形MNCD的面積=(MD+NC)x菱形高:2=[(10-t)+(10-a)]x菱形高:2當(dāng)梯形AMNB的面積=梯形MNCD的面積時(shí)，即t+a=10,(0<t<10),(0<a<10)所以，當(dāng)t+a=10,(0<t<10),(0<a<10)時(shí)，可出現(xiàn)線段MN一定可以將菱形分割成面積相等的兩部分.(2)點(diǎn)N從點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位長的速度沿著BC邊向點(diǎn)C移動(dòng)，設(shè)點(diǎn)N移動(dòng)的時(shí)間為t,可知0主5, _因?yàn)锳B=10,NBAD=60°,所以菱形高=5丁3,AM=1xt=t,BN=2xt=2t.所以梯形ABNM的面積=(AM+BN)x菱形高:2=3tx5,；Mx^^；3t(0<t<5).所以當(dāng)t=5時(shí)，梯形ABNM的面積最大，其數(shù)值為工常.(3)當(dāng)4MPN^AABC時(shí)， _則^ABC的面積=△MPN的面積，則△MPN的面積為菱形面積的一半為251二,1；因?yàn)橐缺赜蠱N〃AC,AN在C點(diǎn)外，所以不重合處面積為?:3x(at-10)2x3???重合處為S=25二母-,^乂(丁1。)_,4當(dāng)S=0時(shí)，即PM在CD上，.??a=2.點(diǎn)評:本題考查了菱形以及相應(yīng)的三角函數(shù)的性質(zhì)，注意使用兩條平行線間的距離相等等條件.5.如圖，在下列矩形ABCD中，已知：AB=a,BC=b(a<b),假定頂點(diǎn)在矩形邊上的菱形叫做矩形的內(nèi)接菱形，現(xiàn)給出(I)、(II)、(111)三個(gè)命題：命題(I)：圖①中，若AH=BG=AB,則四邊形ABGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；命題(II)：圖②中，若點(diǎn)E、F、G和H分別是AB、BC、CD和DE的中點(diǎn)，則四邊形EFGH是矩形ABCD的內(nèi)接菱形；命題(III)：圖③中，若EF垂直平分對角線AC,變BC于點(diǎn)E,交AD于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)O,則四邊形AECF是矩形ABCD的內(nèi)接菱形.請解決下列問題：(1)命題(I)、(I)、(I)都是真命題嗎？請你在其中選擇一個(gè)，并證明它是真命題或假命題；(2)畫出一個(gè)新的矩形內(nèi)接菱形(即與你在(1)中所確認(rèn)的，但不全等的內(nèi)接菱形).(3)試探究比較圖①，②，③中的四邊形ABGH、EFGH、AECF的面積大小關(guān)系.V3D .7D工 F口工 季考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；線段垂直平分線的性質(zhì)；三角形中位線定理；矩形的性質(zhì)；命題與定理.

分析:解答:（1）①先證明是平行四邊形，再根據(jù)一組鄰邊相等證明；分析:解答:②根據(jù)三角形中位線定理得到四條邊都相等；③先根據(jù)三角形全等證明是平行四邊形，再根據(jù)對角線互相垂直證明是菱形；（2）先作一條對角線，在作出它的垂直平分線分別與矩形的邊相交，連接四個(gè)交點(diǎn)即可.（3）分別表示出三個(gè)菱形的面積，根據(jù)邊的關(guān)系即可得出圖（1）圖（2）的面積都小于圖（3）的面積；根據(jù)a與b的大小關(guān)系，分a>2b,a=2b和a<2b三種情況討論.解：（1）都是真命題；若選（I）證明如下：???矩形ABCD,.??AD〃BC,VAH=BG,??四邊形ABGH是平行四邊形，.??AB=HG,.??AB=HG=AH=BG,??四邊形ABGH是菱形；若選（II）,證明如下：??矩形ABCD,.??AB=CD,AD=BC,ZA=ZB=ZC=ZD=90°,/E、F、G、H是中點(diǎn)，.??AE=BE=CG=DG,AH=HD=BF=FC,??△AEHSBEFSDGHSGCF,.??EF=FG=GH=HE,??四邊形EFGH是菱形；若選（III）,證明如下/EF垂直平分AC,.??FA=FC,EA=EC,又二?矩形ABCD,.??AD〃BC,.\ZFAC=ZECA,在^AOF和^COE中，^ZA0F=ZC0E=9Q°，AO=CO ,:Zfao=Zeco.?.△ADFSCOE（SAS）.??AF=CE,.??AF=FC=CE=EA,??四邊形AECF是菱形；（2）如圖4所示：AH=CF,EG垂直平分對角線FH,四邊形HEFG是菱形;(3(3)SABGH=a2，SEFGH=^ab,S菱形aecf」a2+b2S菱形aecf」a2+b2)2b2ba-a2=-(a2+b2)-2a2ba2b^-^>0(b'a)2b，S菱形AECF>SABGH*..a(屋+日 ia(a2+b2)-ab2a(a2+b2-b2)￡,2b qab= 2b = 2b -2b>0，S菱形AECF>SEFGH*a2--ab=a(a--b)2 2二當(dāng)a>寺，即0Vb<2a時(shí)，S菱形ABGH>S菱形EFGH；當(dāng)a=^b，即b=2a時(shí)，S菱形ABGH=S菱形EFGH；當(dāng)a<7b，即b>a時(shí)，S菱形ABGH<S菱形EFGH-■L_b綜上所述：當(dāng)°<b<2a時(shí)，SEFGH<SABGH<S菱形AECF-當(dāng)b=2a時(shí)，SEFGH=SABGH<S菱形AECF-當(dāng)b>2a時(shí)SABGH<SEFGH<S菱形AECF-1 2口jH'D圉④圖②點(diǎn)評：本題主要考查了菱形的判定與性質(zhì)，三角形中位線定理，全等三角形的判定與性質(zhì)以及矩形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn).注意第(3)題需要分類討論，以防錯(cuò)解..在平行四邊形ABCD中，NBAD的平分線交直線BC于點(diǎn)E，交直線DC的延長線于點(diǎn)F，以EC、CF為鄰邊作平行四邊形ECFG.(1)如圖1，證明平行四邊形ECFG為菱形；(2)如圖2，若NABC=90°，M是EF的中點(diǎn)，求NBDM的度數(shù)；(3)如圖3，若NABC=120°，請直接寫出NBDG的度數(shù).考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的性質(zhì)；正方形的判定與性質(zhì).分析：(1)平行四邊形的性質(zhì)可得AD〃BC，AB〃CD，再根據(jù)平行線的性質(zhì)證明NCEF=NCFE，根據(jù)等角對等邊可得CE=CF，再有條件四邊形ECFG是平行四邊形，可得四邊形ECFG為菱形；(2)首先證明四邊形ECFG為正方形，再證明^BME^ADMC可得DM=BM,NDMC=NBME,再根據(jù)NBMD=NBME+NEMD=NDMC+NEMD=90°可得到NBDM的度數(shù)；(3)分別連接GB、GC,求證四邊形CEGF是平行四邊形，再求證△ECG是等邊三角形.由AD〃BC及AF平分NBAD可得NBAE=NAEB,求證△BEG/^DCG,然后即可求得答案.解答：解：(1)證明：?.2尸平分NBAD,.\ZBAF=ZDAF,??四邊形ABCD是平行四邊形，.??AD〃BC,AB〃CD,AZDAF=ZCEF,ZBAF=ZCFE,.\ZCEF=ZCFE,.??CE=CF,又???四邊形ECFG是平行四邊形，??四邊形ECFG為菱形.(2)如圖，連接BM,MC,,.,/ABC=90°,四邊形ABCD是平行四邊形，??四邊形ABCD是矩形，又由(1)可知四邊形ECFG為菱形，ZECF=90°,???四邊形ECFG為正方形.,?ZBAF=ZDAF,.??BE=AB=DC,VM為EF中點(diǎn)，.\ZCEM=ZECM=45°,AZBEM=ZDCM=135°,在^BME和^DMC中，rBE=CDV/BEM=/DC肌、EM二CM.?.△BMESDMC(SAS),.??MB=MD,ZDMC=ZBME..\ZBMD=ZBME+ZEMD=ZDMC+ZEMD=90°,??.△BMD是等腰直角三角形，.??NBDM=45°；(3)ZBDG=60°,延長AB、FG交于H,連接HD.VAD〃GF,AB〃DF,.四邊形AHFD為平行四邊形，VZABC=120°,AF平分/BAD,.??NDAF=30°,NADC=120°,NDFA=30°,.△DAF為等腰三角形，.AD=DF,.平行四邊形AHFD為菱形，.△ADH,△DHF為全等的等邊三角形，.??DH=DF,NBHD=NGFD=60°,VFG=CE,CE=CF,CF=BH,.BH=GF,

在^BHD與^GFD中，「DHRF???ZBHD=ZGFD,,BH=G?.?.△BHDSGFD(SAS),.\ZBDH=ZGDF.\ZBDG=NBDH+NHDG=NGDF+NHDG=60°.點(diǎn)評：此題主要考查平行四邊形的判定方法，全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的判定與性質(zhì)，菱形的判定與性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，應(yīng)用時(shí)要認(rèn)真領(lǐng)會(huì)它們之間的聯(lián)系與區(qū)別，同時(shí)要根據(jù)條件合理、靈活地選擇方法..在△ABC中，NBAC=90°,人8=人0若點(diǎn)D在線段BC上，以AD為邊長作正方形ADEF,如圖1,易證:ZAFC=ZACB+ZDAC；(1)若點(diǎn)D在BC延長線上，其他條件不變，寫出ZAFC、ZACB、ZDAC的關(guān)系，并結(jié)合圖2給出證明;(2)若點(diǎn)D在CB延長線上，其他條件不變，直接寫出ZAFC、ZACB、ZDAC的關(guān)系式.圖1 圖2 圄m考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).專題：幾何綜合題.分析：(1)ZAFC、ZACB、ZDAC的關(guān)系為：ZAFC=ZACB-ZDAC,理由為：由四邊形ADEF為正方形，得到AD=AF,且ZFAD為直角，得到ZBAC=ZFAD,等式左右兩邊都加上ZCAD得到ZBAD=ZCAF,再由AB=AC,人口二人尸，利用SAS可得出三角形ABD與三角形ACF全等，根據(jù)全等三角形的對應(yīng)角相等可得出ZAFC=ZADB,又ZACB為三角形ACD的外角，利用外角的性質(zhì)得到ZACB=ZADB+ZDAC,變形后等量代換即可得證；ZAFC、ZACB、ZDAC的關(guān)系式是ZAFC+ZACB+ZDAC=180°,可以根據(jù)ZDAF=ZBAC=90°,等號(hào)兩邊都減去ZBAF,可得出ZDAB=ZFAC,再由AD=AF,AB=AC,利用SAS證明三角形ABD與三角形AFC全等，由全等三角形的對應(yīng)角相等可得出ZAFC=ZADB,根據(jù)三角形ADC的內(nèi)角和為180°,等量代換可得證.解答：解：（1）關(guān)系：NAFC=NACB-NDAC,…（2分）證明：???四邊形ADEF為正方形，.??AD=AF,NFAD=90°,VZBAC=90°,ZFAD=90°,.??NBAC+NCAD=NFAD+NCAD,即NBAD=NCAF,...（3分）在^ABD和^ACF中，rAB=AC,ZBAD=ZADB,H二AF???△ABD"ACF（SAS）,...（4分）AZAFC=ZADB,,ZZACB是^ACD的一個(gè)外角，AZACB=ZADB+ZDAC,...（5分）.\ZADB=ZACB-ZDAC,VZADB=ZAFC,.\ZAFC=ZACB-ZDAC；...（6分）（2）NAFC、NACB、NDAC滿足的關(guān)系式為：NAFC+NDAC+NACB=180°,...（8分）證明：???四邊形ADEF為正方形，.\ZDAF=90°,AD=AF,又NBAC=90°,AZDAF=ZBAC,Z.ZDAF-ZBAF=ZBAC-NBAF,即NDAB=NFAC,在^ABD和^ACF中，ZDAB=ZFAC,,AB=AC.?.△ABDSACF（SAS）,AZADB=ZAFC,在^ADC中，NADB+NACB+NDAC=180°,貝UNAFC+NACB+ZDAC=180°.點(diǎn)評：此題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，以及三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握判定及性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵.8.已知四邊形ABCD是正方形，O為正方形對角線的交點(diǎn)，一動(dòng)點(diǎn)P從B開始，沿射線BC運(yùn)動(dòng)，連接DP,作CNXDP于點(diǎn)M,且交直線AB于點(diǎn)N,連接OP,ON.(當(dāng)P在線段BC上時(shí)，如圖1：當(dāng)P在BC的延長線上時(shí)，如圖2)(1)請從圖1,圖2中任選一圖證明下面結(jié)論：①BN=CP；②OP=ON,且OPLON；(2)設(shè)AB=4,BP=x，試確定以O(shè)、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；分段函數(shù)；三角形的面積；全等三角形的判定與性質(zhì).專題：代數(shù)幾何綜合題.分析：(1)根據(jù)正方形的性質(zhì)得出DC=BC,NDCB=NCBN=90°,求出NCPD=NDCN=NCNB,證△DCP04CBN,求出CP=BN^F^OBN/^OCP,推出ON=OP,NBON=NCOP,求出NPON=NCOB即可；(2)同法可證圖2時(shí)，OP=ON,OPLON,圖1中，S四邊形0PBN=S^obn+s△80「，代入求出即可；圖2中，S四邊形OBNP=Sapob+Sapbn，代入求出即可. ’解答：(1)證明:如圖1,??正方形ABCD,.??OC=OB,DC=BC,ZDCB=ZCBA=90°,ZOCB=ZOBA=45°,ZDOC=90°,DC〃AB,VDPXCN,AZCMD=ZDOC=90°,AZBCN+ZCPD=90°,ZPCN+ZDCN=90°,AZCPD=ZCNB,.?DC〃AB,AZDCN=ZCNB=ZCPD,?,在△DCP和^CBN中rZDCB=ZCBNZCPD=ZBNC,、DC二BC.?.△DCPSCBN,.??CP=BN,??,在△OBN和^OCP中rOB=OCZ0CP=Z0BN,;CP=BN.?.△OBNSOCP,AON=OP,ZBON=ZCOP,AZBON+ZBOP=ZCOP+ZBOP,即NNOP=NBOC=90°,AONXOP,即ON=OP,ON±OP.(2)解：?「AB=4，四邊形ABCD是正方形，AO到BC邊的距離是2，圖1中，S四邊形OPBN=S^OBN+”BOP，△x(4-x)x2」xxx2，TOC\o"1-5"\h\z\o"CurrentDocument"2 2=4(0<x<4)，圖2中，S四邊形OBNP=SAPOB+”PBN=xxx2+-x(x-4)xx\o"CurrentDocument"2 2△x2-x(x>4)，2即以0、P、B、N為頂點(diǎn)的四邊形的面積y與x的函數(shù)關(guān)系是： 12 -鼻￡一工i 乙

點(diǎn)評：本題考查了正方形性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，分段函數(shù)等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，解Q)小題的關(guān)鍵是能運(yùn)用性質(zhì)進(jìn)行推理，解(2)的關(guān)鍵是求出符合條件的所有情況，本題具有一定的代表性，是道比較好的題目，注意：證明過程類似.9.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)E,K分別在BC,AB上，點(diǎn)G在BA的延長線上，且CE=BK=AG.(1)求證：①DE=DG；?DE±DG(2)尺規(guī)作圖：以線段DE,DG為邊作出正方形DEFG(要求：只保留作圖痕跡，不寫作法和證明)；(3)連接(2)中的KF,猜想并寫出四邊形CEFK是怎樣的特殊四邊形，并證明你的猜想：CE1 $正方形ABCD(4)當(dāng)時(shí)，請直接寫出 的值.CB0 衛(wèi)正方形DEPG考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；作圖一復(fù)雜作圖.分析：(1)由已知證明DE、DG所在的三角形全等，再通過等量代換證明DELDG；(2)根據(jù)正方形的性質(zhì)分別以點(diǎn)G、E為圓心以DG為半徑畫弧交點(diǎn)F,得到正方形DEFG；(3)由已知首先證四邊形CKGD是平行四邊形，然后證明四邊形CEFK為平行四邊形；(4)由已知表示出(4)由已知表示出S正方形ABCD

日正方服DEFG的值.解答：(1)證明：二?四邊形ABCD是正方形，ADC=DA,ZDCE=ZDAG=90°.XVCE=AG,.?.△dcesdag,.??DE=DG,ZEDC=ZGDA,又?.?/ADE+NEDC=90°,.\ZADE+ZGDA=90°ADEXDG.(2)解：如圖.(3)解：四邊形CEFK為平行四邊形.證明：設(shè)CK、DE相交于M點(diǎn)??四邊形ABCD和四邊形DEFG都是正方形，.??AB〃CD,AB=CD,EF=DG,EF〃DG,VBK=AG,.??KG=AB=CD,??四邊形CKGD是平行四邊形，

.??CK=DG=EF,CK〃DG,.??NKME=NGDE=NDEF=90°,AZKME+ZDEF=180°,.??CK〃EF,??四邊形CEFK為平行四邊形.(4)解：?嘿上CEn??設(shè)CE=x,CB=nx,.??CD=nx,??DE2=CE2+CD2=n2x2+x2=(n2+1)x2,.?BC2=n2x2,S正方形甌DB匚2門2S正方形DEF—DE2m3 ￡一點(diǎn)評：此題考查的知識(shí)點(diǎn)是正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行四邊形的判定及作圖，解題的關(guān)鍵是先由正方形的性質(zhì)通過證三角形全等得出結(jié)論，此題較復(fù)雜.10.如圖，點(diǎn)P是正方形ABCD對角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E在射線BC上，且PB=PE,連接PD,O為AC中點(diǎn).（1）如圖1,當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，試猜想PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，不用說明理由；（2）如圖2,當(dāng)點(diǎn)P在線段OC上時(shí)，（1）中的猜想還成立嗎？請說明理由；（3）如圖3,當(dāng)點(diǎn)P在AC的延長線上時(shí)，請你在圖3中畫出相應(yīng)的圖形（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）并判斷（1）中的猜想是否成立？若成立，請直接寫出結(jié)論；若不成立，請說明理由.考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì).分析：（1）根據(jù)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，利用三角形的全等判定可以得出PE±PD,PE=PD；（2）利用三角形全等得出，BP=PD,由PB=PE,得出PE=PD,要證PE，PD；從三方面分析，當(dāng)點(diǎn)E在線段BC上（E與B、C不重合）時(shí)，當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，當(dāng)點(diǎn)E在BC的延長線上時(shí)，分別分析即可得出；（3）利用PE=PB得出P點(diǎn)在BE的垂直平分線上，利用垂直平分線的性質(zhì)只要以P為圓心，PB為半徑畫弧即可得出E點(diǎn)位置，利用（2）中證明思路即可得出答案.解答：解：（1）當(dāng)點(diǎn)P在線段AO上時(shí)，

rAB=AD在^ABP和^ADP中，/BAP=/DAP二45",:AP=AP.?.△ABPSADP,.??BP=DP,VPB=PE,.??PE=PD,過點(diǎn)P做PMLCD,于點(diǎn)乂，作PNLBC,于點(diǎn)N,VPB=PE,PN±BE,.??BN=NE,VBN=DM,.??DM=NE,在RtAPNE與RtAPMD中，,?PD=PE,NE=DM,ARtAPNE0R3PMD,.\ZDPM=ZEPN,,?ZMPN=90°,.?.NDPE=90°,故PE±PD,PE與PD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系分別為：PE=PD,PE±PD；(2)二?四邊形ABCD是正方形，AC為對角線，ABA=DA,ZBAP=ZDAP=45°,?.?PA=PA.?.△BAPSDAP(SAS),APB=PD,又?.?PB=PE,APE=PD.PE±PD.(i)當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，點(diǎn)P恰好在AC中點(diǎn)處，此時(shí)，(ii)當(dāng)點(diǎn)EPE±PD.?「△ADPSABP,.\ZABP=ZADP,AZCDP=ZCBP,VBP=PE,AZCBP=ZPEC,.\ZPEC=ZPDC,VZ1=Z2,.\ZDPE=ZDCE=90°,APEXPD.綜合(i)(ii),PE±PD；(3)同理即可得出：PE±PD,PD=PE.點(diǎn)評：此題主要考查了正方形的性質(zhì)以及全等三角形的判定與性質(zhì)和尺規(guī)作圖等知識(shí)，此題涉及到分類討論思想，這是數(shù)學(xué)中常用思想同學(xué)們應(yīng)有意識(shí)的應(yīng)用.鞏固訓(xùn)練:.如圖，矩形ABCD的對角線交于點(diǎn)O,AE±BD,CFLBD,垂足分別為E,F,連接AF,CE.(1)求證：四邊形AECF是平行四邊形；(2)若NBAD的平分線與FC的延長線交于點(diǎn)6,則4ACG是等腰三角形嗎？并說明理由.考點(diǎn)：平行四邊形的判定；全等三角形的判定；等腰三角形的判定；矩形的性質(zhì).專題：證明題；幾何綜合題；探究型.分析：(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)可知：AB=CD,NABE=NCDF,NAEB=NCFD=90°,得到△ABE^ACDF,所以AE〃CF,AE=CF,可證四邊形AECF為平行四邊形；(2)因?yàn)锳E〃FG,得至1」/6=26人￡.利用AG平分NBAD,得到NBAG=NDAG,從而求得NODA=NDAO.所以NCAG=NG,可得△CAG是等腰三角形.解答：(1)證明：二?矩形ABCD,.??AB〃CD,AB=CD..??NABE=NCDF,又NAEB=NCFD=90°,.??AE〃CF,.△ABESCDF,.AE=CF..四邊形AECF為平行四邊形.(2)解：△ACG是等腰三角形.理由如下：???AE〃FG,AZG=ZGAE.VAG平分/BAD,AZBAG=ZDAG.又oa=|ac=|bd=od,AZODA=ZDAO..?/BAE與/ABE互余，/ADB與/ABD互余，???NBAE=NADE..\ZBAE=ZDAO,.??NEAG=NCAG,?'.NCAG=NG,?.△CAG是等腰三角形.點(diǎn)評：本題考查三角形全等的性質(zhì)和判定方法以及等腰三角形的判定，判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、SSA、HL.判定兩個(gè)三角形全等，先根據(jù)已知條件或求證的結(jié)論確定三角形，然后再根據(jù)三角形全等的判定方法，看缺什么條件，再去證什么條件..如圖，在RtAABC中，NBAC=90°,E,F分別是BC,AC的中點(diǎn)，延長BA到點(diǎn)D,使人口士18.連接DE,DF.(1)求證：AF與DE互相平分;(2)若BC=4,求DF的長.考點(diǎn)：平行四邊形的判定.專題：計(jì)算題；證明題.分析：(1)連接EF、AE,證四邊形AEFD是平行四邊形即可.(2)注意應(yīng)用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半和平行四邊形的性質(zhì)：平行四邊形的對邊相等，求得AE長即可.解答：(1)證明：連接EF,AE.??點(diǎn)E,F分別為BC,AC的中點(diǎn)，，?EF〃AB,EF」AB.2XVAD^AB,??EF=AD.XVEF#AD,??四邊形AEFD是平行四邊形.AF與DE互相平分.(2)解：在RtAABC中，E為BC的中點(diǎn)，BC=4,??AE」BC=2.2又V四邊形AEFD是平行四邊形，?DF=AE=2.D點(diǎn)評：本題考查了平行四邊形的判定，有中點(diǎn)時(shí)需考慮運(yùn)用三角形的中位線定理或者直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.3.如圖，以△ABC三邊為邊在BC同側(cè)作三個(gè)等邊△ABD、△BCE、△ACF.請回答下列問題：(1)求證：四邊形ADEF是平行四邊形；(2)當(dāng)4ABC滿足什么條件時(shí)，四邊形ADEF是矩形.考點(diǎn)：平行四邊形的判定；等邊三角形的性質(zhì)；矩形的判定.專題：證明題；探究型.分析：1、本題可根據(jù)三角形全等證得DE=AF,AD=EF,即可知四邊形ADEF是平行四邊形2、要使四邊形ADEF是矩形，必須讓NFAD=90°,則NBAC=360°-90°-60°-60°=150°解答：證明：(1)..?等邊△ABD、△BCE、△ACF,.??DB=AB,BE=BC.又NDBE=60°-NEBA,NABC=60°-NEBA,AZDBE=ZABC.AADBE^ACBA.ADE=AC.又?.?AC=AF,.'.AF=DE.同理可證：△ABC/^FCE,證得EF=AD.???四邊形ADEF是平行四邊形.(2)假設(shè)四邊形ABCD是矩形，二?四邊形ADEF是矩形，??.NDAF=90°.又???等邊△ABD、△BCE、△ACF,?'.NDAB=NFAC=60°..\ZBAC=360-ZDAF-ZFAC-ZDAB=150°.當(dāng)^ABC滿足NBAC=150°時(shí)，四邊形ADEF是矩形.點(diǎn)評：此題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)和平行四邊形的判定.4.已知：如圖，矩形ABCD中，AB=2,AD=3,E、F分別是AB、CD的中點(diǎn).(1)在邊AD上取一點(diǎn)M,使點(diǎn)A關(guān)于BM的對稱點(diǎn)C恰好落在EF上.設(shè)BM與EF相交于點(diǎn)N,求證：四邊形ANGM是菱形；(2)設(shè)P是AD上一點(diǎn)，NPFB=3NFBC,求線段AP的長.考菱形的判定；矩形的性質(zhì).點(diǎn).八、、：專計(jì)算題；證明題.題：分 (1)設(shè)AG交MN于O,由題意易得AO=GO,AG,MN,要證四邊形ANGM是菱形，還需證明析：OM=ON,又可證明AD〃EF〃BC.?'.MO：ON=AO：OG=1：1,?'.MO=NO；(2)連接AF,由題意可證得NPFA=NFBC=NPAF,，PA=PF,apa=7；DF2+PD2=14-(3-PA)2，求得PA=1.J解 (1)證明：設(shè)AG交MN于O,貝U答：?「A、G關(guān)于BM對稱，.??AO=GO,AG±MN.「E、F分別是矩形ABCD中AB、CD的中點(diǎn)，.??AE=BE,AE〃DF且AE=DF,AD〃EF〃BC.AMO：ON=AO：OG=1：1.???MO=NO.AAG與MN互相平分且互相垂直.A四邊形ANGM是菱形.(2)解：連接AF,?.?AD〃EF〃BC,AZPAF=ZAFE,ZEFB=ZFBC.XVEFXAB,AE=BE,AAF=BF,ANAFE=NEFB.ANPAF=NAFE=NEFB=NFBC.AZPFB=ZPFA+ZAFE+ZEFB=ZPFA+2ZFBC=3ZFBC.ANPFA=NFBC=NPAF.APA=PF.A在RtAPFD中，根據(jù)勾股定理得：PA=PF=.；df2+F[]2=1+(3-PA)2,解得：pa/.■--1點(diǎn)本題主要考查菱形和平行四邊形的識(shí)別及推理論證能力.對角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

評：.如圖1,在4ABC中，AB=BC=5,AC=6.△ECD是^ABC沿BC方向平移得到的，連接AE、AC和BE相交于點(diǎn)O.（1）判斷四邊形ABCE是怎樣的四邊形，說明理由；（2）如圖2,P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（圖2）,（不與點(diǎn)B、C重合），連接PO并延長交線段AE于點(diǎn)Q,QRXBD,垂足為點(diǎn)R.四邊形PQED的面積是否隨點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)而發(fā)生變化？若變化，請說明理由；若不變，求出四邊形PQED的面積.考點(diǎn)：菱形的判定與性質(zhì).專題：動(dòng)點(diǎn)型；數(shù)形結(jié)合.分析：（1）利用平移的知識(shí)可得四邊形ABCE是平行四邊形，進(jìn)而根據(jù)AB=BC可得該四邊形為菱形；（2）利用證明三角形全等可得四邊形PQED的面積為三角形BED的面積，所以不會(huì)改變；進(jìn)而利用三角形的面積公式求解即可.解答：解：（1）四邊形ABCE是菱形，證明如下：「△ECD是由△ABC沿BC平移得到的，AEC#AB,<EC=AB,??四邊形ABCE是平行四邊形，（2分）XVAB=BC,??四邊形ABCE是菱形.（4分）（2）由菱形的對稱性知，△PBO04QEO,:?SAPBO=S^QEO（7分）「△ECD是由△ABC平移得到的，.??ED〃AC,ED=AC=6,XVBE±AC,ABE±ED,（8分）,，S四邊形PQED=SAQEO+S四邊形POED=SAPBO+S四邊形POED=S△BED=|xBExED=|x8x6=24.（10分）點(diǎn)評：考查菱形的判定及相關(guān)性質(zhì)；把不規(guī)則圖形的面積轉(zhuǎn)化為較簡單的規(guī)則圖形的面積是解決本題的關(guān)鍵..如圖，已知矩形ABCD,AD=4,CD=10,P是AB上一動(dòng)點(diǎn)，M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn).（1）求證：四邊形PMEN是平行四邊形；（2）請直接寫出當(dāng)AP為何值時(shí)，四邊形PMEN是菱形；（3）四邊形PMEN有可能是矩形嗎？若有可能，求出AP的長；若不可能，請說明理由.APBAPB考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的判定；菱形的判定.分析：(1)根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)和平行四邊形的判定定理可證明.(2)當(dāng)DP=CP時(shí)，四邊形PMEN是菱形，P是AB的中點(diǎn)，所以可求出AP的值.(3)四邊形PMEN是矩形的話，NDPC必需為90°,判斷一下^DPC是不是直角三角形就行.解答：解：(1)：M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，AME#PC,EN〃PD,???四邊形PMEN是平行四邊形；(2)當(dāng)AP=5時(shí)，?.?PA=PB=5,AD=BC,NA=NB=90°,.?.△padspbc,APD=PC,?「M、N、E分別是PD、PC、CD的中點(diǎn)，A.NE=PM-PD,ME=PN」PC,2 2APM=ME=EN=PN,A四邊形PMEN是菱形；(3)假設(shè)△DPC為直角三角形.設(shè)PA=x,PB=10-x,DP=.116+工，CP='16+(10-k)2?DP2+CP2=DC216+x2+16+(10-x)2=102x2-10x+16=0x=2或x=8.故當(dāng)AP=2或AP=8時(shí)，能夠構(gòu)成直角三角形.點(diǎn)評：本題考查平行四邊形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性質(zhì)，知道矩形的四個(gè)角都是直角，對邊相等等性質(zhì).7.如圖：矩形ABCD中，AB=2,BC=5,E、P分別在AD、BC上，且DE=BP=1.(1)判斷△BEC的形狀，并說明理由？(2)判斷四邊形EFPH是什么特殊四邊形？并證明你的判斷;(3)求四邊形EFPH的面積.E考點(diǎn)：矩形的判定與性質(zhì)；三角形的面積；勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四邊形的判定與性質(zhì).專題：計(jì)算題；證明題.分析：(1)根據(jù)矩形性質(zhì)得出CD=2,根據(jù)勾股定理求出CE和BE,求出CE2+BE2的值，求出BC2,根據(jù)勾股定理的逆定理求出即可；(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)和平行四邊形的判定，推出平行四邊形DEBP和AECP,推出EH〃FP,EF〃HP,推出平行四邊形EFPH,根據(jù)矩形的判定推出即可；(2)根據(jù)三角形的面積公式求出CF,求出EF,根據(jù)勾股定理求出PF,根據(jù)面積公式求出即可.解答：(1)△BEC是直角三角形，理由是：???矩形ABCD,.\ZADC=ZABP=90°,AD=BC=5,AB=CD=2,由勾股定理得：CE= +DE'二1-'22+12=:5,同理BE=25,.??CE2+BE2=5+20=25,VBC2=52=25,.??BE2+CE2=BC2,AZBEC=90°,/.△BEC是直角三角形.(2)解：四邊形EFPH為矩形，證明：???矩形ABCD,/AD=BC,AD〃BC,DE=BP,/?四邊形DEBP是平行四邊形，/BE〃DP,AD=BC,AD〃BC,DE=BP,/AE=CP,/?四邊形AECP是平行四邊形，?/AP〃CE,/?四邊形EFPH是平行四邊形，VZBEC=90°,/?平行四邊形EFPH是矩形.(3)解：在RT^PCD中NFCLPD,由三角形的面積公式得：PD-CF=PC-CD,/EF=CE-CF=5--U5,5 57PF=-.-PC2-CF2^，o?.?S矩形FPH=ERpF］，答：四邊形EFPH的面積電.點(diǎn)評：本題綜合考查了勾股定理及逆定理，矩形、平行四邊形的性質(zhì)和判定，三角形的面積等知識(shí)點(diǎn)的運(yùn)用，主要培養(yǎng)學(xué)生分析問題和解決問題的能力，此題綜合性比較強(qiáng)，題型較好，難度也適中.8.如圖，四邊形ABCD是正方形，點(diǎn)P是BC上任意一點(diǎn)，DELAP于點(diǎn)E,BFXAP于點(diǎn)F,CHXDE于點(diǎn)H,BF的延長線交CH于點(diǎn)G.(1)求證：AF-BF=EF；(2)四邊形EFGH是什么四邊形？并證明；(3)若AB=2,BP=1,求四邊形EFGH的面積.考點(diǎn)：正方形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理.分析：(1)利用全等三角形的判定首先得出△AED04BFA,進(jìn)而得出AE=BF,即可證明結(jié)論；(2)首先得出四邊形EFGH是矩形，再利用^AED0ABFA,同理可得：△AED0△DHC,進(jìn)而得出EF=EH,即可得出答案；(3)首先求出AP的長，再利用三角形面積關(guān)系得出BF,AF的長，進(jìn)而求出EF的長即可得出答案.解答：(1)證明：?「DELAP于點(diǎn)E,BFXAP于點(diǎn)F,CHXDE于點(diǎn)H,.\ZAFB=ZAED=ZDHC=90°,.\ZADE+ZDAE=90°,又?.?/DAE+NBAF=90°,.\ZADE=ZBAF,在^AED和^BFA中，rZAED=ZAFB'/EDA=/FAB,，知二AB.?.△AEDSBFA,.??AE=BF,??AF-AE=EF,即AF-BF=EF；(2)證明：,?ZAFB=ZAED=ZDHC=90°,??四邊形EFGH是矩形，.?△AED04BFA,同理可得：△AED^^DHC,.?.△AEDSBFASDHC,.??DH=AE=BF,AF=DE=CH,ADE-DH=AF-AE,.??EF=EH,A矩形EFGH是正方形；(3)解：＞28=2,BP=1,AAP='J5,*/S△abp="^xBFxAP=^xBFxi：5=1x2x,,?BF―2??虧?BF— ,VZBAF=ZPAB,ZAFB=ZABP=90°.?.△ABFMAPB,?坦———AFAB2?AF————,5. 4-^5