中考數(shù)學一輪知識復習和鞏固練習考點07 一元二次方程、分式方程的解法及應用（基礎鞏固） (含詳解)

考向07一元二次方程、分式方程的解法及應用—基礎鞏固【知識梳理】考點一、一元二次方程1.一元二次方程的定義只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的整式方程，叫做一元二次方程．它的一般形式為SKIPIF1<0(a≠0)．2.一元二次方程的解法（1）直接開平方法：把方程變成SKIPIF1<0的形式，當m＞0時，方程的解為SKIPIF1<0；當m＝0時，方程的解SKIPIF1<0；當m＜0時，方程沒有實數(shù)解．（2）配方法：通過配方把一元二次方程SKIPIF1<0變形為SKIPIF1<0的形式，再利用直接開平方法求得方程的解．（3）公式法：對于一元二次方程SKIPIF1<0，當SKIPIF1<0時，它的解為SKIPIF1<0．（4）因式分解法：把方程變形為一邊是零，而另一邊是兩個一次因式積的形式，使每一個因式等于零，就得到兩個一元一次方程，分別解這兩個方程，就得到原方程的解．方法指導：直接開平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法，配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法．3．一元二次方程根的判別式一元二次方程根的判別式為．△>0方程有兩個不相等的實數(shù)根；△＝0方程有兩個相等的實數(shù)根；△<0方程沒有實數(shù)根．上述由左邊可推出右邊，反過來也可由右邊推出左邊．方法指導：△≥0方程有實數(shù)根.4．一元二次方程根與系數(shù)的關系如果一元二次方程(a≠0)的兩個根是，那么．考點二、分式方程1.分式方程的定義分母中含有未知數(shù)的有理方程，叫做分式方程．方法指導：（1）分式方程的三個重要特征：①是方程；②含有分母；③分母里含有未知量.

（2）分式方程與整式方程的區(qū)別就在于分母中是否含有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù))，分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，不含有未知數(shù)的方程是整式方程，如：關于的方程和都是分式方程，而關于的方程和都是整式方程.2.分式方程的解法去分母法，換元法．3.解分式方程的一般步驟

(1)去分母，即在方程的兩邊都乘以最簡公分母，把原方程化為整式方程；

(2)解這個整式方程；

(3)驗根：把整式方程的根代入最簡公分母，使最簡公分母不等于零的根是原方程的根，使最簡公分母等于零的根是原方程的增根.口訣：“一化二解三檢驗”.方法指導：解分式方程時，有可能產(chǎn)生增根，增根一定適合分式方程轉化后的整式方程，但增根不適合原方程，可使原方程的分母為零，因此必須驗根．考點三、一元二次方程、分式方程的應用1．應用問題中常用的數(shù)量關系及題型(1)數(shù)字問題(包括日歷中的數(shù)字規(guī)律)關鍵會表示一個兩位數(shù)或三位數(shù)，對于日歷中的數(shù)字問題關鍵是弄清日歷中的數(shù)字規(guī)律．(2)體積變化問題關鍵是尋找其中的不變量作為等量關系.(3)打折銷售問題其中的幾個關系式：利潤＝售價-成本價(進價)，利潤率＝SKIPIF1<0×100%．明確這幾個關系式是解決這類問題的關鍵．(4)關于兩個或多個未知量的問題重點是尋找到多個等量關系，能夠設出未知數(shù)，并且能夠根據(jù)所設的未知數(shù)列出方程.(5)行程問題對于相遇問題和追及問題是列方程解應用題的重點問題，也是易出錯的問題，一定要分析其中的特點，同向而行一般是追及問題，相向而行一般是相遇問題．注意：追及和相遇的綜合題目，要分析出哪一部分是追及，哪一部分是相遇.(6)和、差、倍、分問題增長量＝原有量×增長率；現(xiàn)有量＝原有量+增長量；現(xiàn)有量＝原有量-降低量．2．解應用題的步驟(1)分析題意，找到題中未知數(shù)和題給條件的相等關系；(2)設未知數(shù)，并用所設的未知數(shù)的代數(shù)式表示其余的未知數(shù)；(3)找出相等關系，并用它列出方程；(4)解方程求出題中未知數(shù)的值；(5)檢驗所求的答數(shù)是否符合題意，并做答．方法指導：方程的思想，轉化(化歸)思想，整體代入，消元思想，分解降次思想，配方思想，數(shù)形結合的思想用數(shù)學表達式表示與數(shù)量有關的語句的數(shù)學思想．注意：①設列必須統(tǒng)一，即設的未知量要與方程中出現(xiàn)的未知量相同；②未知數(shù)設出后不要漏棹單位；③列方程時，兩邊單位要統(tǒng)一；④求出解后要雙檢，既檢驗是否適合方程，還要檢驗是否符合題意．【基礎鞏固訓練】一、選擇題

1.用配方法解方程時，原方程應變形為（）A．B．C．D．2．關于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0的兩個實數(shù)根分別是SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A．1 B．12 C．13 D．253．關于x的一元二次方程kx2+2x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，則k的取值范圍是（）A．k＞﹣1 B．k≥﹣1 C．k≠0 D．k＜1且k≠04．若關于x的一元二次方程的常數(shù)項為0，則m的值等于（）A．1 B．2C．1或2D．05．在一幅長為80cm，寬為50cm的矩形風景畫的四周鑲一條相同寬度的金色紙邊，制成一幅矩形掛圖，如圖所示，如果要使整個掛圖的面積是5400cm2，設金色紙邊的寬為SKIPIF1<0cm，那么SKIPIF1<0滿足的方程是（）.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．甲、乙兩地相距S千米，某人從甲地出發(fā)，以v千米/小時的速度步行，走了a小時后改乘汽車，又過b小時到達乙地，則汽車的速度（）A.SKIPIF1<0 B.SKIPIF1<0C.SKIPIF1<0 D.SKIPIF1<0二、填空題7．方程﹣=0的解是．8．如果方程ax2＋2x＋1＝0有兩個不等實根，則實數(shù)a的取值范圍是______．9．某種商品原價是120元，經(jīng)兩次降價后的價格是100元，求平均每次降價的百分率．設平均每次降價的百分率為SKIPIF1<0，可列方程為__．10．當SKIPIF1<0為時，關于SKIPIF1<0的一元二次方程SKIPIF1<0有兩個相等的實數(shù)根；此時這兩個實數(shù)根是.11．如果分式方程SKIPIF1<0=SKIPIF1<0無解,則m=.12．已知關于x的方程SKIPIF1<0－SKIPIF1<0=m有實數(shù)根，則m的取值范圍是.三、解答題13.（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0.14．一列火車從車站開出，預計行程450千米，當它開出3小時后，因特殊任務多停一站，耽誤30分鐘，后來把速度提高了0.2倍，結果準時到達目的地，求這列火車的速度.15．已知關于x的方程x2+（2m﹣1）x+m2=0有實數(shù)根，（1）求m的取值范圍；（2）若方程的一個根為1，求m的值；（3）設α、β是方程的兩個實數(shù)根，是否存在實數(shù)m使得α2+β2﹣αβ=6成立？如果存在，請求出來，若不存在，請說明理由．16．如圖，利用一面墻，用80米長的籬笆圍成一個矩形場地（1）怎樣圍才能使矩形場地的面積為750平方米？（2）能否使所圍的矩形場地面積為810平方米，為什么？ 答案與解析一、選擇題

1.【答案】B；【解析】根據(jù)配方法的步驟可知在方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方，整理即可得到B項是正確的.2.【答案】C；【解析】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0，解得m=5（此時不滿足根的判別式舍去）或m=－1.原方程化為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0=SKIPIF1<03.【答案】D；【解析】依題意列方程組，解得k＜1且k≠0．故選D．4.【答案】B；【解析】有題意SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0.5.【答案】B；【解析】（80+2x）（50+2x）=5400，化簡得SKIPIF1<0.6.【答案】B；【解析】由已知，此人步行的路程為av千米，所以乘車的路程為SKIPIF1<0千米。又已知乘車的時間為b小時，故汽車的速度為SKIPIF1<0二、填空題7．【答案】x=6；【解析】去分母得：3（x﹣2）﹣2x=0，去括號得：3x﹣6﹣2x=0，整理得：x=6，經(jīng)檢驗得x=6是方程的根．故答案為：x=6．8．【答案】a＜1且a≠0；【解析】△＞0且a≠0.9．【答案】SKIPIF1<0；【解析】平均降低率公式為SKIPIF1<0(a為原來數(shù)，x為平均降低率，n為降低次數(shù)，b為降低后的量.)10．【答案】m=SKIPIF1<0；x1=x2=2．【解析】由題意得，△=(－4)2－4(m－SKIPIF1<0)=0即16－4m+2=0，m=SKIPIF1<0．當m=SKIPIF1<0時，方程有兩個相等的實數(shù)根x1=x2=2．11．【答案】-1；【解析】原方程可化為：ｘ＝ｍ．∵原分式方程無解∴ｘ=－1，故代入一次方程有ｍ＝－１．所以，當ｍ＝－１時，原分式方程無解.12．【答案】當ｍ≤SKIPIF1<0且ｍ≠０時；【解析】原方程可化為：ｍｘ２－ｘ＋１＝０當ｍ＝０時，得ｘ＝１，原分式方程無解，不符合題意舍去．當ｍ≠０時,⊿=１２－４ｍ≥０，解之ｍ≤SKIPIF1<0所以，當ｍ≤SKIPIF1<0且ｍ≠０時，原分式方程有實數(shù)根．三、解答題13.【答案與解析】（1）部分移項得： SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 ∴x＝2 經(jīng)檢驗：x＝2是原分式方程的根. （2）原方程可化為： SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<0 SKIPIF1<014.【答案與解析】設這列火車的速度為x千米/時根據(jù)題意，得SKIPIF1<0方程兩邊都乘以12x，得SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0經(jīng)檢驗，SKIPIF1<0是原方程的根答：這列火車原來的速度為75千米/時.15.【答案與解析】解：（1）根據(jù)題意得△=（2m﹣1）2﹣4m2≥0，解得m≤；（2）把x=1代入方程得1+2m﹣1+m2=0，解得m1=0，m2=﹣2，即m的值為0或﹣2；（3）存在．根據(jù)題意得α+β=﹣（2m﹣1），αβ=m2，∵α2+β2﹣αβ=6，∴（α+β）2﹣3αβ=6，即（2m﹣1）2﹣3m2=6，整理得m2﹣4m﹣5=0，解得m1=5，m2=﹣1，∵m≤；∴m的值為﹣1．16.【答案與解析】設AD=BC=xm，則AB=（80－2x）m（1）由題意得：x（80－2x）=750解得：x1