中考數(shù)學(xué)一輪知識(shí)復(fù)習(xí)和鞏固練習(xí)考點(diǎn)15 特殊三角形（能力提升） (含詳解)

考向15特殊三角形【知識(shí)梳理】考點(diǎn)一、等腰三角形1.等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).

(2)兩底角相等(等邊對(duì)等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60°.

3.判定：(1)如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等(等角對(duì)等邊)；

(2)三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個(gè)角為60°的等腰三角形是等邊三角形.

方法指導(dǎo)：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

考點(diǎn)二、直角三角形1.直角三角形：有一個(gè)角是直角的三角形叫做直角三角形.2性質(zhì)：(1)直角三角形中兩銳角互余.

(2)直角三角形中，30°銳角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半.

(3)在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對(duì)的銳角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.3．判定：(1)有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

(2)一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對(duì)的角是直角，這個(gè)三角形是直角三角形.

(3)如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個(gè)三角形是直角三角形，第三邊為斜邊.【專項(xiàng)訓(xùn)練】一、選擇題

1．已知等邊△ABC的邊長為a，則它的面積是（）

A．a(chǎn)2B．a(chǎn)2C．a(chǎn)2D．a(chǎn)22．在四邊形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)E，若AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．那么在下列四個(gè)結(jié)論中：（1）AC⊥BD；（2）BC=DE；（3）∠DBC=SKIPIF1<0∠DAB；（4）△ABE是正三角形，其中正確的是（）A．（1）和（2）B．（2）和（3）C．（3）和（4）D．（1）和（4）3.如圖，等腰三角形ABC中，∠BAC=90°，在底邊BC上截取BD=AB，過D作DE⊥BC交AC于E，連接AD，則圖中等腰三角形的個(gè)數(shù)是（）A．1B．2C．3D．44.如圖，三角形紙片ABC中，∠B=2∠C，把三角形紙片沿直線AD折疊，點(diǎn)B落在AC邊上的E處，那么下列等式成立的是（）A．AC=AD+BDB．AC=AB+BDC．AC=AD+CDD．AC=AB+CD5．邊長為a的等邊三角形，記為第1個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接得到一個(gè)正六邊形，記為第1個(gè)正六邊形，取這個(gè)正六邊形不相鄰的三邊中點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)等邊三角形，記為第2個(gè)等邊三角形，取其各邊的三等分點(diǎn)，順次連接又得到一個(gè)正六邊形，記為第2個(gè)正六邊形（如圖），…，按此方式依次操作，則第6個(gè)正六邊形的邊長為（）A.SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D.SKIPIF1<06.如圖，過邊長為1的等邊△ABC的邊AB上一點(diǎn)P，作PE⊥AC于E，Q為BC延長線上一點(diǎn)，當(dāng)PA=CQ時(shí)，連PQ交AC邊于D，則DE的長為（）A． B． C． D．不能確定二、填空題7．如圖，C為線段AE上一動(dòng)點(diǎn)(不與點(diǎn)A，E重合)，在AE同側(cè)分別作正三角形ABC和正三角形CDE，AD與BE交于點(diǎn)O，AD與BC交于點(diǎn)P，BE與CD交于點(diǎn)Q，連結(jié)PQ.以下五個(gè)結(jié)論：

①AD=BE；②PQ∥AE；③AP=BQ；④DE=DP；⑤∠AOB=60°.

恒成立的有______________(把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上).8．如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H．若MH=8cm，則BG=cm．9.若直角三角形兩直角邊的和為3，斜邊上的高為SKIPIF1<0，則斜邊的長為.10.如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，△BPC是等邊三角形，則△CDP的面積是_________；△BPD的面積是_________.

11．如圖，P是正三角形ABC內(nèi)的一點(diǎn)，且PA=6，PB=8，PC=10.若將△PAC繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)后，得到△P′AB，則點(diǎn)P與點(diǎn)P′之間的距離為_________，∠APB=_________.

12．.以等腰三角形AOB的斜邊為直角邊向外作第2個(gè)等腰直角三角形ABA1，再以等腰直角三角形ABA1的斜邊為直角邊向外作第3個(gè)等腰直角三角形A1BB1，……，如此作下去，若OA=OB=1，則第n個(gè)等腰直角三角形的面積Sn=________.三、解答題13.已知：在△ABC中，∠ABC=90°，點(diǎn)E在直線AB上，ED與直線AC垂直，垂足為D，且點(diǎn)M為EC中點(diǎn)，連接BM，DM．

（1）如圖1，若點(diǎn)E在線段AB上，探究線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系，并直接寫出你得到的結(jié)論；

（2）如圖2，若點(diǎn)E在BA延長線上，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出你的猜想并加以證明；

（3）若點(diǎn)E在AB延長線上，請(qǐng)你根據(jù)條件畫出相應(yīng)的圖形，并直接寫出線段BM與DM及∠BMD與∠BCD所滿足的數(shù)量關(guān)系．14.(1)如圖1,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,F分別在邊BC,CD上,AE,BF交于點(diǎn)O,∠AOF＝90°.

求證：BE＝CF.

圖1

(2)如圖2,在正方形ABCD中,點(diǎn)E,H,F,G分別在邊AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF＝4.求GH的長.

圖2

(3)已知點(diǎn)E,H,F,G分別在矩形ABCD的邊AB,BC,CD,DA上，EF,GH交于點(diǎn)O,∠FOH＝90°,EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：

①如圖3,矩形ABCD由2個(gè)全等的正方形組成,求GH的長；

②如圖4,矩形ABCD由n個(gè)全等的正方形組成,求GH的長(用n的代數(shù)式表示).

圖3圖4

15．①如圖1，在正方形ABCD中，M是BC邊（不含端點(diǎn)B、C）上任意一點(diǎn),P是BC延長線上一點(diǎn)，N是∠DCP的平分線上一點(diǎn)．若∠AMN=90°，求證：AM=MN．

下面給出一種證明的思路，你可以按這一思路證明，也可以選擇另外的方法證明．

證明：在邊AB上截取AE=MC，連ME．正方形ABCD中，∠B=∠BCD=90°，AB=BC．∴∠NMC=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠MAB=∠MAE．

（下面請(qǐng)你完成余下的證明過程）

②若將①中的“正方形ABCD”改為“正三角形ABC”（如圖2）,N是∠ACP的平分線上一點(diǎn)，則當(dāng)∠AMN=60°時(shí)，結(jié)論AM=MN是否還成立？請(qǐng)說明理由．

③若將①中的“正方形ABCD”改為“正邊形ABCD…X”，請(qǐng)你做出猜想：

當(dāng)∠AMN=_____________°時(shí)，結(jié)論AM=MN仍然成立．（直接寫出答案，不需要證明）

16.如圖，△ABC中，∠C=Rt∠，AB=5cm，BC=3cm，若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)C開始，按C→A→B→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒1cm，設(shè)出發(fā)的時(shí)間為t秒．（1）出發(fā)2秒后，求△ABP的周長．（2）問t為何值時(shí)，△BCP為等腰三角形？（3）另有一點(diǎn)Q，從點(diǎn)C開始，按C→B→A→C的路徑運(yùn)動(dòng)，且速度為每秒2cm，若P、Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)P、Q中有一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，直線PQ把△ABC的周長分成相等的兩部分？答案與解析一、選擇題1.【答案】D.2.【答案】B.【解析】此題采取排除法做．（1）AB=AE，所以△ABE是等腰的，等腰三角形底角∠AEB不可能90°，所以AC⊥BD不成立．排除A，D；（2）∵AC平分∠DAB，AB=AE，AC=AD．∴△DAE≌△CAB，∴BC=DE成立，排除C．3.【答案】D．【解析】三角形ABC是等腰三角形，且∠BAC=90°，所以∠B=∠C=45°，又DE⊥BC，所以∠DEC=∠C=45°，所以△EDC是等腰三角形，BD=AB，所以△ABD是等腰三角形，∠BAD=∠BDA，而∠EAD=90°-∠BAD，∠EDA=90°-∠BDA，所以∠EAD=∠EDA，所以△EAD是等腰三角形，因此圖中等腰三角形共4個(gè)．4.【答案】B.【解析】根據(jù)題意證得AB=AE，BD=DE，DE=EC．據(jù)此可以對(duì)以下選項(xiàng)進(jìn)行一一判定．選B.5.【答案】A.6.【答案】B.【解析】過P作PF∥BC交AC于F．∵PF∥BC，△ABC是等邊三角形，∴∠PFD=∠QCD，△APF是等邊三角形，∴AP=PF=AF，∵PE⊥AC，∴AE=EF，∵AP=PF，AP=CQ，∴PF=CQ．∵在△PFD和△QCD中，，∴△PFD≌△QCD（AAS），∴FD=CD，∵AE=EF，∴EF+FD=AE+CD，∴AE+CD=DE=AC，∵AC=1，∴DE=．故選：B．二、填空題7．【答案】①②③⑤.【解析】提示：證△ACD≌△BCE,△ACP≌△BCQ.8．【答案】4.【解析】如圖，作MD⊥BC于D，延長DE交BG的延長線于E，∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB，∴∠ABC=∠A=45°，∵∠GMB=∠A，∴∠GMB=∠A=22.5°，∵BG⊥MG，∴∠BGM=90°，∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°，∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°．∵M(jìn)D∥AC，∴∠BMD=∠A=45°，∴△BDM為等腰直角三角形∴BD=DM，而∠GBH=22.5°，∴GM平分∠BMD，而BG⊥MG，∴BG=EG，即BG=BE，∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°，∴∠MHD=∠E，∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E，∴∠GBD=∠HMD，∴在△BED和△MHD中，，∴△BED≌△MHD（AAS），∴BE=MH，∴BG=MH=4．故答案是：4．9．【答案】SKIPIF1<0.【解析】設(shè)直角邊為a,b,斜邊為c，則SKIPIF1<0+SKIPIF1<0=3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，代入即可.10．【答案】1，.【解析】∵△BPC是等邊三角形，∴∠PCD=30°做PE⊥CD,得PE=1，即△CDP的面積是=SKIPIF1<0×2×1=1；根據(jù)即可推得SKIPIF1<0.11．【答案】6，150°.12．【答案】.三、解答題13.【答案與解析】（1）結(jié)論：BM=DM，∠BMD=2∠BCD．

理由：∵BM、DM分別是Rt△DEC、Rt△EBC的斜邊上的中線，

∴BM=DM=SKIPIF1<0CE；

又∵BM=MC，∴∠MCB=∠MBC，即∠BME=2∠BCM；

同理可得∠DME=2∠DCM；

∴∠BME+∠DME=2（∠BCM+∠DCM），即∠BMD=2∠BCD．

（2）在（1）中得到的結(jié)論仍然成立．即BM=DM，∠BMD=2∠BCD

證法一：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴BM=SKIPIF1<0EC=MC，又點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴DM=SKIPIF1<0EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=MC，DM=MC，

∴∠CBM=∠BCM，∠DCM=∠CDM，

∴∠BMD=∠EMB+∠EMD=2∠BCM+2∠DCM=2（∠BCM+∠DCM）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

證法二：∵點(diǎn)M是Rt△BEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴BM=SKIPIF1<0EC=ME；

又點(diǎn)M是Rt△DEC的斜邊EC的中點(diǎn)，

∴DM=SKIPIF1<0EC=MC，

∴BM=DM；

∵BM=ME，DM=MC，

∴∠BEC=∠EBM，∠MCD=∠MDC，

∴∠BEM+∠MCD=∠BAC=90°-∠BCD，

∴∠BMD=180°-（∠BMC+∠DME），=180°-2（∠BEM+∠MCD）=180°-2（90°-∠BCD）=2∠BCD，

即∠BMD=2∠BCD．

（3）所畫圖形如圖所示：

圖1中有BM=DM，∠BMD=2∠BCD；

圖2中∠BCD不存在，有BM=DM；

圖3中有BM=DM，∠BMD=360°-2∠BCD．

解法同（2）．14.【答案與解析】(1)證明：如圖1，∵四邊形ABCD為正方形，

∴AB=BC,∠ABC=∠BCD=90°，

∴∠EAB+∠AEB=90°.

∵∠EOB=∠AOF＝90°,

∴∠FBC+∠AEB=90°，∴∠EAB=∠FBC，

∴△ABE≌△BCF，∴BE=CF．

(2)解：如圖2,過點(diǎn)A作AM//GH交BC于M，

過點(diǎn)B作BN//EF交CD于N,AM與BN交于點(diǎn)O/，

則四邊形AMHG和四邊形BNFE均為平行四邊形，

∴EF=BN,GH=AM，

∵∠FOH＝90°,AM//GH，EF//BN,∴∠NO/A=90°,

故由(1)得,△ABM≌△BCN，∴AM=BN，

∴GH=EF=4．

(3)①8．②4n．15.【答案與解析】（1）∵AE=MC,∴BE=BM,∴∠BEM=∠EMB=45°,∴∠AEM=1355°,

∵CN平分∠DCP，∴∠PCN=45°，∴∠AEM=∠MCN=135°

在△AEM和△MCN中：∵∴△AEM≌△MCN，∴AM=MN

（2）仍然成立．

在邊AB上截取AE=MC，連接ME

∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠B=∠ACB=60°，

∴∠ACP=120°．

∵AE=MC，∴BE=BM

∴∠BEM=∠EMB=60°

∴∠AEM=120°．

∵CN平分∠ACP，∴∠PCN=60°，

∴∠AEM=∠MCN=120°

∵∠CMN=180°—∠AMN—∠AMB=180°—∠B—∠AMB=∠BAM

∴△AEM≌△M