導數(shù)在研究函數(shù)中的應用教學設計

普通高中課程標準實驗教科書數(shù)學選修2-2單調性【教學內容解析】1．導數(shù)這個概念是高等數(shù)學的基本概念，又是中學階段數(shù)學學習的一個主干知識，它是進一步學習數(shù)學和其他自然科學的基礎，更是研究函數(shù)相關性質的重要工具之一。2．單調性作為函數(shù)的主要性質之一，主要用來刻畫圖象的變化趨勢，在必修1的學習中定義了單調性，并且在學習冪指對及三角函數(shù)時，能夠借助于函數(shù)圖象特征和單調性的定義來研究函數(shù)的單調性.3．這節(jié)課我們是在學習了導數(shù)的平均變化率、瞬時變化率、導數(shù)的定義和幾何意義之后，試圖通過導數(shù)來研究函數(shù)的單調性，為研究單調性提供了更一般的方法，是后面學習函數(shù)的極值、最值的知識鋪墊、能力基礎和方法指導。起到了承上啟下、完善建構、拓展提升的作用。4．教學重點：導數(shù)與函數(shù)單調性的關系的探索和發(fā)現(xiàn)；利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性.這節(jié)課將結合例題研究二次函數(shù)、三次函數(shù)以及三角函數(shù)的單調性。【教學目標設置】1．借助幾何直觀，通過實例歸納函數(shù)的單調性與導數(shù)的關系；2．理解并掌握利用導數(shù)判斷函數(shù)單調性的方法，會用導數(shù)求函數(shù)單調區(qū)間；3．通過用定義與用導數(shù)在研究函數(shù)單調性時的兩種方法的比較，體會導數(shù)方法在研究函數(shù)性質中的一般性和有效性，同時感受和感悟數(shù)學自身發(fā)展的一般規(guī)律．【學生學情分析】1.已有的知識儲備：（1）本節(jié)課的授課對象是南通中學高二年級的學生，他們在經(jīng)歷了高一一學年的數(shù)學學習后，已經(jīng)基本了解高中數(shù)學的基本思想和研究方法，具備了一定的發(fā)現(xiàn)問題、探究問題、分析問題和解決問題的能力。（2）學生已經(jīng)掌握了基本初等函數(shù)的圖象特征和基本性質，而且已經(jīng)掌握了導數(shù)的定義、導數(shù)的計算以及其幾何意義，已經(jīng)具備了用導數(shù)探究函數(shù)單調性的知識儲備。存在問題：將導數(shù)與函數(shù)單調性聯(lián)系起來，學生的抽象概括能力還不夠；解決方法：需引導學生通過不斷探究，數(shù)學聯(lián)想，逐步得出導數(shù)研究函數(shù)單調性的結論。2.教學難點：發(fā)現(xiàn)和揭示導數(shù)與函數(shù)單調性的關系；并利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性．突破策略：課堂中引導學生通過探究、驗證、回歸逐步得出導數(shù)研究函數(shù)單調性的結論，再結合例題研究二次函數(shù)、三次函數(shù)以及三角函數(shù)的單調性。【教學策略分析】1.精心設計教學內容站在系統(tǒng)的高度組織教學內容，從生活情境入手，精心設問，幫助學生聯(lián)想、抽象出數(shù)學問題，整個教學過程，將經(jīng)歷設問——探究——歸納——應用——反思，五個方面，層層遞進。2.充分開展學生活動站在學生的角度，根據(jù)學生的思維特點和認知基礎，給學生提供課堂參與機會，讓學生在動手操作和嘗試探索中驗證猜想，掌握方法，體會思想，形成技能.3.滲透提煉思想方法通過典型例題及其變式的教學，由淺入深，逐層遞進，給學生提供比較、分析、歸納、綜合的機會，幫助學生在解題和反思中領悟數(shù)學思想方法在數(shù)學學習中的作用.【教學過程設計】一、創(chuàng)設情境生活實例中導入1情境：前一階段我們已經(jīng)學習了導數(shù)的定義及其幾何意義，導數(shù)有什么實際應用呢，今天我們一起來研究。問題1：先請同學們觀看下面一段視頻，你有什么發(fā)現(xiàn)？（第一次播放視頻）問題2：同學們看了這個視頻后有沒有產(chǎn)生什么聯(lián)想？能不能把這個動畫與數(shù)學聯(lián)系起來，看出其中的數(shù)學問題？(分組討論、第二次播放視頻)問題3：同學們建立了數(shù)學模型，那我們可以將曲線看做是函數(shù)y=f(x)在某區(qū)間I上的圖象，對應的函數(shù)有具有怎樣性質呢？（建系，教師第三次播放動畫）【師生活動】（1）動畫視頻引入，直觀感知；（2）幾何畫板演示，猜想結論.抽象出數(shù)學問題：山坡燈光向上上坡曲線切線斜率k>0上升函數(shù)？遞增感知可以通過函數(shù)圖象上每一點處的切線的斜率，即函數(shù)f(x)在該點處的導數(shù)來研究函數(shù)的單調性.2猜想：導數(shù)與函數(shù)的單調性有什么聯(lián)系呢？（再次播放函數(shù)圖象上每一點處的切線斜率隨函數(shù)單調性的變化情況）從圖象上，我們發(fā)現(xiàn)，單調遞增區(qū)間上，每一點處的切線傾斜角均為銳角，斜率大于0，曲線呈上升趨勢，函數(shù)單調遞增；在單調遞減區(qū)間上，每一點處的斜線傾斜角為鈍角，斜率小于0，曲線呈下降趨勢，函數(shù)單調遞減．于是，可以猜想結論:對于函數(shù)，如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的減函數(shù)．【設計意圖】本課的難點是引導學生發(fā)現(xiàn)導數(shù)與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系，而這兩個概念都是非常抽象的，學生很難直接感知，所以這里利用生活中的常見問題汽車燈光的指向與上下坡之間的聯(lián)系，引導學生發(fā)現(xiàn)道路可以抽象成函數(shù)的圖象，燈光可以抽象為切線，這樣問題就轉化為切線斜率正負與函數(shù)增減之間的聯(lián)系，從而輕松高效引入課題，成功激發(fā)學生的求知欲，也體現(xiàn)了“生活中處處有數(shù)學”的教學理念.二、動手操作合作學習中探究問題4：我們要善于用數(shù)學的眼光看世界，剛才我們同學將實際問題抽象為一個數(shù)學問題，并且還建立了數(shù)學模型，數(shù)學語言來描述了這個問題，提出了一個猜想。這個猜想對不對呢？我們如何探究呢？學生方案1：舉出幾個常見的函數(shù)，探究導數(shù)與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系，驗證前面猜想的結論.函數(shù)圖象單調性導數(shù)符號【師生活動】（1）獨立驗證，合作釋疑，展示成果；（2）教師從學生中選擇具有代表性的函數(shù)進行匯報展示.【設計意圖】前面已經(jīng)猜想出結論，但是該結論是否正確，還有待檢驗，學生首先想到的就是驗證已經(jīng)學過的常見函數(shù)，從而深化對所得結論的理解.學生方案2：從以前所學的導數(shù)和函數(shù)單調性的知識入手，進行探究?！皵?shù)”的角度：從函數(shù)單調性與導數(shù)的定義入手如果函數(shù)f(x)在區(qū)間（a,b)上是增函數(shù)，那么對任意x1,x2∈(a,b)，當x1<x2時，都有f(x1)<f(x2)，此時x1-x2與f(x1)-f(x2)同號，從而有，即，這表明，導數(shù)大于0和函數(shù)單調遞增之間存在著密切聯(lián)系。單調性導數(shù)？單調性導數(shù)增函數(shù)增函數(shù)大于0密切相關于是，從“數(shù)、形”兩方面，我們都可以感知導數(shù)大于0和函數(shù)單調遞增之間存在著密切聯(lián)系?！驹O計意圖】從“形”的角度，對具體例子進行動態(tài)演示，通過觀察、猜想到歸納、總結，讓學生體驗知識的發(fā)現(xiàn)、發(fā)生過程，又從“數(shù)”的角度，進一步引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，抓住導數(shù)和單調性的定義之間的聯(lián)系來提煉一般性的結論，變灌注知識為學生主動獲取知識，從而使之成為課堂教學活動的主體．三、知識建構生成演練中應用對于函數(shù)，如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的增函數(shù)；如果在某區(qū)間上，那么為該區(qū)間上的減函數(shù)．注意：（1）如果在某區(qū)間上恒成立，則為該區(qū)間上的常函數(shù)．（2）“某區(qū)間”指的是定義域的子集，研究函數(shù)單調性問題“定義域優(yōu)先”．例1確定函數(shù)在哪個區(qū)間上是增函數(shù)，在哪個區(qū)間上是減函數(shù)．【教學預設】對于學生熟悉的二次函數(shù)，學生可能首先想到的是圖象直觀，然后再提出根據(jù)定義、利用導數(shù)，在合作學習中比較各種方法.f(x)=f(x)=x2–4x+32O13-1x3y3法二：根據(jù)定義任取，且，所以，f(x)在上單調遞增，同理：f(x)在上單調遞減.法三：利用導數(shù)，令，解得．因此，在區(qū)間上，，是增函數(shù)；在區(qū)間上，，是減函數(shù)．總結：利用導數(shù)判定函數(shù)單調性的步驟：①確定函數(shù)的定義域；②求出函數(shù)的導數(shù)；③在定義域內解不等式；④下結論，確定函數(shù)的單調區(qū)間．【設計意圖】（1）例題1，由“形”到“數(shù)”的解決了該函數(shù)的單調性問題，加強了對結論的應用和理解；（2）規(guī)范了利用導數(shù)研究函數(shù)單調性的書寫；（3）例題1的解決說明，判定函數(shù)單調性增加了一種新的方法——導數(shù)法.例2確定函數(shù)在哪些區(qū)間上是增函數(shù)．【教學預設】對于求解該三次函數(shù)的單調性而言，學生對于其圖象不太熟悉，定義法對代數(shù)變形的要求比較高、較繁瑣，所以選擇導數(shù)法比較方便．解：的定義域為R，．令，解得或．因此，在區(qū)間上，是增函數(shù)；在區(qū)間上，也是增函數(shù)．即的單調遞增區(qū)間為和．問題能否根據(jù)三次函數(shù)所求的單調區(qū)間，畫出這個函數(shù)的大致圖象呢？22f(x)=2x3－6x2+72xyxOyxf'(x)=6x2－12xxyxOyx原函數(shù)看增減導函數(shù)看正負【師生活動】先根據(jù)函數(shù)的單調性畫出原函數(shù)的大致圖象，同時對應作出導函數(shù)圖象，行進比較，加深鞏固導函數(shù)圖象的正負與原函數(shù)增減之間的關系.【設計意圖】（1）從圖象上感知原函數(shù)與導函數(shù)的關系，加深對結論的認識；（2）例題2由“數(shù)”到“形”解決了該三次函數(shù)的單調性，強化了應用；（3）例題2體現(xiàn)了導數(shù)法研究函數(shù)單調性的優(yōu)越性：當圖象直觀、根據(jù)定義不太容易解決函數(shù)單調性時，還可以利用導數(shù)來解決．例3確定函數(shù)的單調減區(qū)間．【教學預設】學生看到三角函數(shù)的單調性，首先想到的是利用圖象直觀解決，但是此時作三角函數(shù)圖象只是建立在五點法作圖的基礎上，根據(jù)定義來解決時對代數(shù)變形要求也比較高，此時可以利用導數(shù)來解決.解:定義域為,．令，即．又，所以．故所求的單調減區(qū)間是．ff(x)=sinxf'(x)=cosxxxyyOyxOyx【師生互動】解三角不等式的時候，學生會有一定的困難，此時可以借助于導函數(shù)圖象來解決，題目做完后再作正弦函數(shù)的圖象時，不僅僅局限于五點法，還可以根據(jù)圖象的性質來作圖，會更加清晰明確.同時由學生對原函數(shù)圖象與導函數(shù)圖象進行比較，深化對結論的理解.【變式】證明函數(shù)在區(qū)間上是單調減函數(shù).證明:．因為，所以，即在上恒成立，故f(x)在區(qū)間上單調遞減．【設計意圖】（1）解三角不等式時，畫出的圖象幫助解決．解完后再畫出的圖象，直觀的驗證答案的正確性．解題過程始終注意“數(shù)”“形”結合；（2）例題3和變式題再次體現(xiàn)利用導數(shù)來研究函數(shù)單調性的優(yōu)越性：不能根據(jù)解決的，利用導數(shù)仍可以解決.（3）從二次函數(shù)、三次函數(shù)到三角函數(shù)，體現(xiàn)了導數(shù)法研究函數(shù)單調性的一般性和普遍適用性．四、課堂小結回顧整理中提煉通過這節(jié)課的研究，你學會了什么知識，能解決了哪些問題？你的收獲與感受是什么呢？““形”“數(shù)”應用對于函數(shù)y=f(x)，如果在某區(qū)間上：在該區(qū)間上單調增；在該區(qū)間上單調減.確定函數(shù)單調區(qū)間切線斜率與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系導數(shù)與函數(shù)單調性定義之間的聯(lián)系證明函數(shù)單調性【設計意圖】培養(yǎng)學生學習——總結——學習——反思的良好習慣，同時通過自我的評價來獲得成功的快樂，提高學生學習的自信心.五、自主作業(yè)鞏固訓練中拓展必做題：課本P29第1、3、4題．選做題：如果f(x)在某區(qū)間上單調遞增，那么在該區(qū)間上必有f(x)>0嗎？【設計意圖】知識鞏固，反饋信息，同時注意個體差異，因材施教，必做題為基礎訓練，選做題既是對本節(jié)課的提升訓練，也為下節(jié)課做好鋪墊.六、教學設計說明導數(shù)這個概念是高等數(shù)學的基本概念，又是中學階段數(shù)學學習的一個主干知識，它是進一步學習數(shù)學和其他自然科學的基礎，更是研究函數(shù)相關性質的重要工具之一．單調性作為函數(shù)的主要性質之一，主要用來刻畫圖象的變化趨勢，在必修1的學習中定義了單調性，并且在學習冪指對及三角函數(shù)時,能夠借助于函數(shù)圖象特征和單調性的定義來研究函數(shù)的單調性.那為什么還要用導數(shù)研究函數(shù)的單調性？能不能用導數(shù)研究函數(shù)的單調性？怎樣用導數(shù)研究函數(shù)的單調性？循著這樣的思路，整個教學過程，從創(chuàng)設情境—實例驗證—揭示本質—強化應用—回顧反思，五個方面入手，層層遞進，螺旋上升．關注生活自然導入本課的難點是引導學生發(fā)現(xiàn)導數(shù)與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系，而這兩個概念都是非常抽象的，學生很難直接感知，所以在引入階段，利用生活中的常見問題汽車燈光的指向與上下坡之間的聯(lián)系，第一次抽象：引導學生發(fā)現(xiàn)道路可以抽象成函數(shù)的圖象，燈光可以抽象為切線，這樣問題就轉化為切線斜率正負與曲線上升下降的聯(lián)系；適當建系后，第二次抽象：將曲線看做是函數(shù)y=f(x)上的一段圖象，那么切線斜率即為函數(shù)在該點處的導數(shù)，順勢猜想結論，感知導數(shù)正負與函數(shù)單調性之間的聯(lián)系，從而輕松高效引入課題，成功激發(fā)學生的求知欲，也體現(xiàn)了“生活中處處有數(shù)學”的教學理念.關注探究合作生成前面已經(jīng)猜想出結論，但是該結論是否正確，還有待檢驗，學生首先想到的就是驗證已經(jīng)學過的常見函數(shù)，從而深化對所得結論的理解.再從“形”回到“數(shù)”，進一步引導學生經(jīng)歷從特殊到一般的過程，抓住導數(shù)和單調性的定義之間的聯(lián)系來提煉一般性的結論，由學生自主探究、分組展示，互相點評，變灌注知識為學生主動獲取知識，從而使之成為課堂教學活動的主體．關注應用數(shù)形結合在典例演練，強化應用的過程中，例題1由“形”到“數(shù)”，規(guī)范