平面解析幾何（解答題）3（解析版）

平面解析幾何（解答題）321．【2022年高考天津卷理數(shù)】設(shè)橢圓的左焦點(diǎn)為，右頂點(diǎn)為，離心率為．已知是拋物線的焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為．（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；（2）設(shè)上兩點(diǎn)，關(guān)于軸對稱，直線與橢圓相交于點(diǎn)（異于點(diǎn)），直線與軸相交于點(diǎn)．若的面積為，求直線的方程．【答案】（1）橢圓的方程為，拋物線的方程為；（2）或．【解析】（1）設(shè)的坐標(biāo)為．依題意，，，，解得，，，于是．所以，橢圓的方程為，拋物線的方程為．（2）設(shè)直線的方程為，與直線的方程聯(lián)立，可得點(diǎn)，故．將與聯(lián)立，消去，整理得，解得或．由點(diǎn)異于點(diǎn)，可得點(diǎn)．由，可得直線的方程為，令，解得，故，所以．又因?yàn)榈拿娣e為，故，整理得，解得，所以．所以，直線的方程為或．【名師點(diǎn)睛】圓錐曲線問題在歷年高考中都是較有難度的壓軸題，本題中第一步利用橢圓的離心率及橢圓與拋物線的位置關(guān)系的特點(diǎn)，列方程組，求出橢圓和拋物線的方程，第二步聯(lián)立方程組求出點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出直線的方程，利用面積求直線方程，利用代數(shù)的方法解決幾何問題，即坐標(biāo)化、方程化、代數(shù)化，這是解題的關(guān)鍵．（1）由于為拋物線焦點(diǎn)，到拋物線的準(zhǔn)線的距離為，則，又橢圓的離心率為，求出，得出橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程和拋物線的方程；（2）設(shè)直線的方程為22．【2022年高考山東卷理數(shù)】在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，焦距為2.（1）求橢圓的方程；（2）如圖，動直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)，C是橢圓上一點(diǎn)，直線OC的斜率為，且，是線段延長線上一點(diǎn)，且，的半徑為，是的兩條切線，切點(diǎn)分別為，求的最大值，并求取得最大值時直線的斜率.【答案】（1）；（2）的最大值為，取得最大值時直線的斜率為.【解析】（1）由題意知，所以c=1，所以，因此橢圓的方程為.（2）設(shè)，聯(lián)立方程，得，由題意知，且，所以.由題意可知圓的半徑為，由題設(shè)知，所以，因此直線的方程為.聯(lián)立方程，得，因此.由題意可知，而，令，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立