四川省成都市都一中數(shù)學(xué)2-1同步測(cè)試第二章第10課時(shí)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專(zhuān)精第10課時(shí)拋物線(xiàn)的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)（水平一）1.設(shè)M(x0,y0)為拋物線(xiàn)C:x2=8y上一點(diǎn),點(diǎn)F為拋物線(xiàn)C的焦點(diǎn),以F為圓心、｜FM｜為半徑的圓與拋物線(xiàn)C的準(zhǔn)線(xiàn)相交于不同兩點(diǎn),則y0的取值范圍是(）。A。(0，2) B。［0，2］ C.(2,+∞） D。［2，+∞)【解析】圓心到拋物線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)的距離為p=4,根據(jù)題意,只要滿(mǎn)足|FM｜>4即可.由拋物線(xiàn)定義知，｜FM|=y0+2.由y0+2>4，解得y0>2，故y0的取值范圍是（2,+∞)?！敬鸢浮緾2。探照燈反光鏡的縱斷面是拋物線(xiàn)的一部分，光源在拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)處,已知燈口直徑是60cm,燈深40cm,則光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離是（)。A.11。25cm B。5。625cmC.20cm D.10cm【解析】如圖,建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)拋物線(xiàn)方程為y2=2px(p〉0),則點(diǎn)A(40，30)。∴302=2p·40，∴p=454,∴y2=45∴光源到反光鏡頂點(diǎn)的距離為p2=12×454=458=5。625【答案】B3.拋物線(xiàn)y2=2x的焦點(diǎn)為F，其準(zhǔn)線(xiàn)經(jīng)過(guò)雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1（a>0,b〉0)的左頂點(diǎn)，點(diǎn)M為這兩條曲線(xiàn)的一個(gè)交點(diǎn)，且｜MF|=2A。102 B。2 C.5 D.【解析】點(diǎn)F12,0,準(zhǔn)線(xiàn)l:由題意知a=12由拋物線(xiàn)的定義知，xM--12=2,∴xM=∴yM2=3?！唿c(diǎn)(xM，yM)在雙曲線(xiàn)上，∴9414∴b2=38，∴c2=a2+b2=58，∴e2=c2a2=5∴e=102【答案】A4。已知點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)F為拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)，點(diǎn)A是拋物線(xiàn)上一點(diǎn),若OA·AF=-4，則點(diǎn)A的坐標(biāo)是(）.A.(1，2） B。(4,4)C。(1，2)或(1,-2) D.(4,4)或（4,—4)【解析】因?yàn)閽佄锞€(xiàn)的焦點(diǎn)為F(1,0），設(shè)點(diǎn)Ay0則OA=y024,y由OA·AF=-4,得y0=±2，所以點(diǎn)A的坐標(biāo)是(1，2)或（1，—2)?！敬鸢浮緾5.對(duì)標(biāo)準(zhǔn)形式的拋物線(xiàn)，給出下列條件:①焦點(diǎn)在y軸上;②焦點(diǎn)在x軸上;③拋物線(xiàn)上橫坐標(biāo)為1的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離等于6；④由原點(diǎn)向過(guò)焦點(diǎn)的某直線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足坐標(biāo)為(2,1)。其中滿(mǎn)足拋物線(xiàn)方程y2=10x的是.（要求填寫(xiě)適合條件的序號(hào))

【解析】拋物線(xiàn)y2=10x的焦點(diǎn)在x軸上，①不滿(mǎn)足,②滿(mǎn)足;設(shè)M(1，y0)是拋物線(xiàn)y2=10x上的一點(diǎn),F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn),則｜MF｜=1+p2=1+52=72≠6,所以③不滿(mǎn)足；由于拋物線(xiàn)y2=10x的焦點(diǎn)為52,0，過(guò)該焦點(diǎn)的直線(xiàn)方程為y=kx-52,若由原點(diǎn)向該直線(xiàn)作垂線(xiàn),垂足坐標(biāo)為(2,1）時(shí),則【答案】②④6.設(shè)過(guò)點(diǎn)P(-2，4)且傾斜角為135°的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C：y2=2px（p〉0)相交于A，B兩點(diǎn),若|PA｜，|AB｜，|PB｜成等比數(shù)列,則拋物線(xiàn)C的方程為。

【解析】直線(xiàn)l的方程為y=—x+2，聯(lián)立y=—x+2和y2=2px，消去x，得y2+2py-4p=0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1),B（x2,y2），則y1+y2=—2p，y1y2=-4p.由P,A,B三點(diǎn)共線(xiàn)，且｜PA｜,|AB｜，｜PB｜成等比數(shù)列，則｜y1-4|,|y1-y2|,｜y2-4|也成等比數(shù)列，得｜（y1-4)(y2-4)｜=｜y1-y2|2≠0,則|y1y2-4(y1+y2）+16｜=（y1+y2)2—4y1y2，且y1≠y2,即|p+4|=p2+4p,且Δ=（2p)2—4(—4p)=4p2+16p〉0,解得p=1.所求拋物線(xiàn)的方程為y2=2x。【答案】y2=2x7。在平面直角坐標(biāo)系中,已知點(diǎn)A（0，4），B（0，—2）,動(dòng)點(diǎn)P(x,y)滿(mǎn)足PA·PB-y2+8=0.（1)求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程;（2)設(shè)（1)中所求的軌跡與直線(xiàn)y=x+2交于C,D兩點(diǎn)，求證：OC⊥OD(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).【解析】(1)由題意,可知PA=（—x，4—y),PB=（-x,—2-y）,∴x2+（4—y）(-2—y)-y2+8=0,整理得x2=2y,∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為x2=2y.(2）由y=x+2,x2=2y,整理得∴x1+x2=2,x1x2=-4.∵kOC·kOD=y1x1·=x=-=-1，∴OC⊥OD.拓展提升（水平二）8.已知點(diǎn)M在拋物線(xiàn)y2=6x上,N為拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)l上的一點(diǎn),F為拋物線(xiàn)的焦點(diǎn)，若FN=MF,則直線(xiàn)MN的斜率為（）。A。±2 B?！? C.±2 D.±3【解析】由題設(shè)可知點(diǎn)M,N,F三點(diǎn)共線(xiàn),且點(diǎn)F是線(xiàn)段MN的中點(diǎn)，不妨設(shè)點(diǎn)M(x0，y0)（y0<0），N-32,t(t〉0)，F(xiàn)32,0，則x0=92，y0=—t。又點(diǎn)M（x0,y0）在拋物線(xiàn)上，所以y02=6x0，即y0=—33,所以設(shè)y0〉0,則t〈0，同理可得MN的斜率k=3,故選D?！敬鸢浮緿9.已知點(diǎn)A（1，2）在拋物線(xiàn)C：y2=4x上，過(guò)點(diǎn)A作兩條直線(xiàn)分別交拋物線(xiàn)于D,E兩點(diǎn)，直線(xiàn)AD，AE的斜率分別為kAD,kAE，若直線(xiàn)DE過(guò)點(diǎn)P（—1，—2），則kAD·kAE=（）.A.4 B.3 C.2 D.1【解析】設(shè)點(diǎn)D（x1，y1)，E(x2,y2）,則kAD=y1-2x1-∴kAD·kAE=y1-2x1-1設(shè)直線(xiàn)DE：y+2=k（x+1),聯(lián)立方程y消去x，可得ky2—4y+4k-8=0.∴y1+y2=4k,y1y2=4∴x1+x2=y1+yx1x2=(y1y代入①可得kAD·kAE=4k-8【答案】C10.已知南北方向有條公路L,A地在公路正東2km處，B地在A地北偏東60°方向23km處,河流沿岸曲線(xiàn)PQ上任意一點(diǎn)到公路L和到A地距離相等.現(xiàn)要在曲線(xiàn)PQ上某處建一座碼頭，向A,B兩地運(yùn)貨物。經(jīng)測(cè)算，從M到A，B修建公路的費(fèi)用都為a萬(wàn)元/km,那么，修建這兩條公路的總費(fèi)用最低是萬(wàn)元.

【解析】如圖所示，由題意知,曲線(xiàn)PQ是以A為焦點(diǎn)、L為準(zhǔn)線(xiàn)的拋物線(xiàn)，根據(jù)拋物線(xiàn)的定義,知欲求M到A，B修建公路的費(fèi)用最低，只需求出B點(diǎn)到準(zhǔn)線(xiàn)L的距離即可?！連地在A地北偏東60°方向23km處，∴B點(diǎn)到拋物線(xiàn)L的距離為23·sin60°+2=5(km)，∴修建這兩條公路的總費(fèi)用最低為5a萬(wàn)元.【答案】5a11。已知拋物線(xiàn)y2=4x的焦點(diǎn)為F，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，A，B為拋物線(xiàn)上兩點(diǎn).（1)若OA·OB=0,求證:直線(xiàn)AB恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo).(2）若線(xiàn)段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為2，且AB不與x軸垂直,求證:線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn),并求出該定點(diǎn)坐標(biāo)。（3)若線(xiàn)段AB過(guò)焦點(diǎn)F,AO與拋物線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)交于點(diǎn)C,求證:BC∥x軸?！窘馕觥?1）顯然AB不與x軸平行,故設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為x=my+a，A(x1,y1），B（x2，y2).由x=my+a,y2=4x得∴y1+y2=4m，y1y1=—4a?！逴A·OB=x1x2+y1y2=（my1+a)（my2+a)+y1y2=(m2+1）y1y2+ma（y1+y2)+a2，代入化簡(jiǎn)得a2—4a=0，∴a=0（舍去)或a=4,∴直線(xiàn)AB的方程為x=my+4,直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(4，0).(2）若AB不與x軸垂直,設(shè)AB所在直線(xiàn)的方程為y=kx+b，由y=kx+b,y2=4x得k2x2+(∵x1+x2=4-2kbk2=4,又AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2k+b），∴線(xiàn)段AB的垂直平分線(xiàn)為y—(2k+b)=—1k(x—2）將①代入得方程為x+ky-4=0,直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)(4,0)。（3)當(dāng)直線(xiàn)AB的斜率存在時(shí),設(shè)線(xiàn)段AB所在直線(xiàn)的方程為y=k(x—1）,由y=k(x-1),y2=4∴y1y2=—4，即y2=-4