-新教材高中數(shù)學(xué)第13章立體幾何初步1.3直觀圖的斜二測畫法學(xué)案蘇教版必修第二冊

PAGEPAGE13直觀圖的斜二測畫法課程標(biāo)準(zhǔn)1.掌握斜二測畫法的步驟．2.能用斜二測畫法畫出簡單空間圖形(長方體、球、圓柱、圓錐、棱柱及其簡單組合體)的直觀圖．【概念認(rèn)知】1．用斜二測畫法畫水平放置的平面圖形的直觀圖的規(guī)則：(1)建系：在已知圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸相交于點(diǎn)O.畫直觀圖時，把它們畫成對應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸交于點(diǎn)O′，且使∠x′O′y′＝45°，它們確定的平面表示水平面．(2)平行不變：已知圖形中平行于x軸或y軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸或y′軸的線段．(3)長度規(guī)則：已知圖形中平行于x軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半.2．用斜二測畫法畫空間圖形的直觀圖，其規(guī)則是：(1)在空間圖形中取互相垂直的x軸和y軸，兩軸交于O點(diǎn)，再取z軸，使∠xOz＝90°，∠yOz＝90°.(2)畫直觀圖時把它們畫成對應(yīng)的x′軸、y′軸和z′軸，它們相交于點(diǎn)O′，并使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°，x′軸和y′軸所確定的平面表示水平面．(3)已知圖形中平行于x軸、y軸或z軸的線段，在直觀圖中分別畫成平行于x′軸、y′軸或z′軸的線段．(4)已知圖形中平行于x軸或z軸的線段，在直觀圖中保持原長度不變，平行于y軸的線段，長度為原來的一半．【自我小測】1．下面每個選項(xiàng)的2個邊長為1的正△ABC的直觀圖不是全等三角形的一組是()【解析】選C.可分別畫出各組圖形的直觀圖，觀察可得結(jié)論．2．如圖，△A′B′C′是△ABC的直觀圖，其中A′B′＝A′C′，那么△ABC是()A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．鈍角三角形【解析】選B.由斜二測畫法的規(guī)則可知△ABC為直角三角形，且直角邊的長度關(guān)系為AC＝2AB.3．已知兩個圓錐，底面重合在一起(底面平行于水平面)，其中一個圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為2cm，另一個圓錐頂點(diǎn)到底面的距離為3cm，且兩頂點(diǎn)不同側(cè)，則其直觀圖中這兩個頂點(diǎn)之間的距離為()A．2cm B．3cm C．2.5cm D．5cm【解析】選D.圓錐頂點(diǎn)到底面的距離即圓錐的高，故兩頂點(diǎn)間距離為2＋3＝5(cm)，在直觀圖中與z′軸平行的線段長度不變，仍為5cm4．如圖所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6cm，C′D′＝2cm，則原圖形的形狀是________．【解析】如圖所示，在原圖形OABC中，應(yīng)有OABC，OD＝2O′D′＝2×2eq\r(2)＝4eq\r(2)(cm)，CD＝C′D′＝2(cm)，所以O(shè)C＝eq\r(OD2＋CD2)＝eq\r(（4\r(2)）2＋22)＝6(cm)，因?yàn)镺A＝O′A′＝6cm，所以O(shè)A＝OC，故四邊形OABC是菱形．答案：菱形5．利用斜二測畫法得到：①三角形的直觀圖是三角形；②平行四邊形的直觀圖是平行四邊形；③正方形的直觀圖是正方形；④菱形的直觀圖是菱形．以上結(jié)論中，正確的是________(填序號).【解析】斜二測畫法得到的圖形與原圖形中的線線相交、線線平行關(guān)系不會改變，因此三角形的直觀圖是三角形，平行四邊形的直觀圖是平行四邊形．答案：①②6．用斜二測畫法畫正六棱柱(底面是正六邊形，側(cè)棱垂直于底面)的直觀圖．【解析】(1)畫軸：畫x′軸、y′軸、z′軸，使∠x′O′y′＝45°(或135°)，∠x′O′z′＝90°.(2)畫底面：在面x′O′y′內(nèi)，畫出正六邊形的直觀圖ABCDEF.(3)畫側(cè)棱：過A，B，C，D，E，F(xiàn)分別作z′軸的平行線，在這些平行線上分別截取AA′，BB′，CC′，DD′，EE′，F(xiàn)F′都等于側(cè)棱長．(4)成圖：順次連線A′，B′，C′，D′，E′，F(xiàn)′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)就得到正六棱柱的直觀圖，如圖所示．【基礎(chǔ)全面練】一、單選題1．關(guān)于斜二測畫法所得直觀圖的說法正確的是()A．直角三角形的直觀圖仍是直角三角形B．梯形的直觀圖是平行四邊形C．正方形的直觀圖是菱形D．平行四邊形的直觀圖仍是平行四邊形【解析】選D.由斜二測畫法規(guī)則可知，平行于y軸的線段長度減半，直角坐標(biāo)系變成斜坐標(biāo)系，而平行性沒有改變，故只有選項(xiàng)D正確．2．在用斜二測畫法畫水平放置的△ABC時，若∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，則在直觀圖中∠A′等于()A．45° B．135° C．90° D．45°或135°【解析】選D.因∠A的兩邊分別平行于x軸、y軸，故∠A＝90°，在直觀圖中，按斜二測畫法規(guī)則知∠x′O′y′＝45°或135°，即∠A′＝45°或135°.3．已知等邊三角形ABC的邊長為a，那么等邊三角形ABC的直觀圖△A′B′C′的面積為()A．eq\f(\r(3),4)a2 B．eq\f(\r(3),8)a2 C．eq\f(\r(6),8)a2 D．eq\f(\r(6),16)a2【解析】選D.方法一：建立如圖①所示的平面直角坐標(biāo)系xOy.如圖②所示，建立坐標(biāo)系x′O′y′，使∠x′O′y′＝45°，由直觀圖畫法，知A′B′＝AB＝a，O′C′＝eq\f(1,2)OC＝eq\f(\r(3),4)a.過點(diǎn)C′作C′D′⊥O′B′于點(diǎn)D′，則C′D′＝eq\f(\r(2),2)O′C′＝eq\f(\r(6),8)a.所以△A′B′C′的面積S＝eq\f(1,2)·A′B′·C′D′＝eq\f(1,2)·a·eq\f(\r(6),8)a＝eq\f(\r(6),16)a2.方法二：S△ABC＝eq\f(\r(3),4)a2，而eq\f(S△A′B′C′,S△ABC)＝eq\f(\r(2),4)，所以S△A′B′C′＝eq\f(\r(2),4)S△ABC＝eq\f(\r(2),4)×eq\f(\r(3),4)a2＝eq\f(\r(6),16)a2.二、填空題4．水平放置的△ABC的斜二測直觀圖如圖所示，已知A′C′＝3，B′C′＝2，則AB邊上的中線的實(shí)際長度為________．【解析】由直觀圖知，原平面圖形為直角三角形，且AC＝A′C′＝3，BC＝2B′C′＝4，計(jì)算得AB＝5，所求中線長為2.5.答案：2.55．有一個長為5cm，寬為4cm的矩形，則其直觀圖的面積為________cm2.【解析】該矩形的面積為S＝5×4＝20(cm2)，由平面圖形的面積與直觀圖的面積間的關(guān)系，可得直觀圖的面積為S′＝eq\f(\r(2),4)S＝5eq\r(2)(cm2).答案：5eq\r(2)三、解答題6．如圖，A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，請畫出該四邊形的原圖形，并求出原圖形的面積．【解析】由已知中A′B′C′D′是邊長為1的正方形，又知它是某個四邊形按斜二測畫法畫出的直觀圖，可得該四邊形的原圖形，如圖所示：這是一個底邊長為2，高為eq\r(2)的平行四邊形．故原圖形的面積為2eq\r(2).7．用斜二測畫法畫長、寬、高分別為4cm，3cm，2cm的長方體ABCD-A′B′C′D′的直觀圖．【解析】畫法步驟：(1)畫軸．如圖，畫x軸、y軸、z軸，三軸相交于點(diǎn)O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.(2)畫底面．以點(diǎn)O為中點(diǎn)，在x軸上取線段MN，使MN＝4cm；在y軸上取線段PQ，使PQ＝eq\f(3,2)cm.分別過點(diǎn)M和N作y軸的平行線，過點(diǎn)P和Q作x軸的平行線，設(shè)它們的交點(diǎn)分別為A，B，C，D，則四邊形ABCD就是長方體的底面ABCD的直觀圖．(3)畫側(cè)棱．過A，B，C，D各點(diǎn)分別作z軸的平行線，并在這些平行線上分別截取2cm長的線段AA′，BB′，CC′，DD′.(4)成圖．順次連接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉輔助線，將被遮擋的部分改為虛線)，就得到長方體的直觀圖．【綜合突破練】一、選擇題1．如圖，Rt△O′A′B′是一個平面圖形的直觀圖，若O′B′＝eq\r(2)，則這個平面圖形的面積是()A．1 B．eq\r(2) C．2eq\r(2) D．4eq\r(2)【解析】選C.由題圖知，平面圖形△OAB為直角三角形．因?yàn)镺′B′＝eq\r(2)，所以A′B′＝eq\r(2)，O′A′＝2.所以在原△OAB中，OB＝eq\r(2)，OA＝4，所以S△OAB＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×4＝2eq\r(2).2．如圖，矩形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝6，O′C′＝3，B′C′∥x′軸，則原平面圖形的面積為()A．36eq\r(2) B．36C．18eq\r(2) D．18【解題指南】將直觀圖進(jìn)行還原，得到原圖形，進(jìn)而求面積．【解析】選A.在直觀圖中，設(shè)B′C′與y′軸的交點(diǎn)為D′，則易得O′D′＝3eq\r(2)，所以原平面圖形為一邊長為6，高為6eq\r(2)的平行四邊形，所以其面積為6×6eq\r(2)＝36eq\r(2).二、填空題3．如圖所示，四邊形OABC是上底為2，下底為6，底角為45°的等腰梯形，由斜二測畫法，畫出這個梯形的直觀圖O′A′B′C′，則在直觀圖中梯形的高為________．【解析】按斜二測畫法，得梯形的直觀圖O′A′B′C′，如圖所示，原圖形中梯形的高CD＝2，在直觀圖中C′D′＝1，且∠C′D′E′＝45°，作C′E′垂直于x′軸于E′，則C′E′＝C′D′·sin45°＝eq\f(\r(2),2).答案：eq\f(\r(2),2)4．在斜二測畫法中，若一個正三角形的邊長為2，則它的直觀圖的面積為________．【解析】正三角形的面積S＝eq\f(\r(3),4)×22＝eq\r(3)，eq\f(S′,S)＝eq\f(\r(2),4)，所以S′＝eq\r(3)×eq\f(\r(2),4)＝eq\f(\r(6),4).答案：eq\f(\r(6),4)5．在斜二測畫法中，若一個平面圖形的直觀圖是一個上底為1，下底為3，直角邊長為2的直角梯形，則原平面圖形的面積是____________．【解析】直觀圖的面積S′＝eq\f(1＋3,2)×2＝4，又eq\f(S′,S)＝eq\f(\r(2),4)，所以S＝eq\f(S′,\f(\r(2),4))＝eq\f(4,\f(\r(2),4))＝8eq\r(2).答案：8eq\r(2)三、解答題6．如圖為一幾何體的展開圖：沿圖中虛線將它們折疊起來，請畫出其直觀圖．【解析】由題設(shè)中所給的展開圖可以得出，此幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為2的正方形，垂直于底面的側(cè)棱長為2，其直觀圖如圖所示．7．用斜二測畫法畫出圖中正五邊形ABCDE的直觀圖．【解析】畫法：(1)在圖①中作AG⊥x軸于點(diǎn)G，作DH⊥x軸于點(diǎn)H.(2)在圖②中畫相應(yīng)的x′軸與y′軸，兩軸相交于點(diǎn)O′，使∠x′O′y′＝45°.(3)在圖②中的x′軸上取O′B′＝OB，O′G′＝OG，O′C′＝OC，O′H′＝OH，y′軸上取O′E′＝eq\f(1,2)OE，分別過G′和H′作y′軸的平行線，并在相應(yīng)的平行線上取G′A′＝eq\f(1,2)GA，H′D′＝eq\f(1,2)HD.(4)連接A′B′，A′E′，E′D′，D′C′，并擦去輔助線G′A′，H′D′，x′軸與y′軸，便得到水平放置的正五邊形ABCDE的直觀圖A′B′C′D′E′(如圖③).【素養(yǎng)培優(yōu)練】(25分鐘45分)一、選擇題(每小題5分，共20分，多選題全部選對的得5分，選對但不全的得2分，有選錯的得0分)1．我國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中有如下問題：“今有木長二丈，圍之三尺，葛生其下，纏木七周，上與木齊．問葛長幾何？術(shù)曰：以七周乘三尺為股，木長為勾，為之求弦．弦者，葛之長”．意思是：今有2丈長木，其橫截面周長3尺，葛藤從木底端繞木7周至頂端，問葛藤有多長？(注：1丈＝10尺)()A．21尺B．23尺C．27尺D．29尺【解析】選D.如圖，一條直角邊(即木棍的高)長20尺，另一條直角邊長7×3＝21(尺)，因此葛藤長eq\r(202＋212)＝29(尺).2．如圖，平行四邊形O′A′B′C′是水平放置的一個平面圖形的直觀圖，其中O′A′＝4，O′C′＝2，∠A′O′C′＝30°則下列敘述正確的是()A．原圖形是正方形B．原圖形是非正方形的菱形C．原圖形的面積是8eq\r(2)D．原圖形的面積是8eq\r(3)【解析】選C.過點(diǎn)C′作y′軸的平行線交x′軸于點(diǎn)D′如圖(1)，O′C′＝2，∠C′O′D′＝30°，∠C′D′O′＝135°，∠D′C′O′＝15°，由正弦定理可得eq\f(O′D′,sin15°)＝eq\f(2,sin135°)＝eq\f(D′C′,sin30°)，可得O′D′＝eq\r(3)－1，D′C′＝eq\r(2)，將直觀圖還原為平面圖形，并過點(diǎn)C作OA的垂線，垂足為D，如圖(2)，則OD＝O′D′＝eq\r(3)－1，CD＝2C′D′＝2eq\r(2)，OC＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2\r(2)))2＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(3)－1))2)＝eq\r(12－2\r(3))，OA＝O′A′＝4，顯然OC≠OA，即原圖形既不是正方形又不是菱形，原圖形的面積為4×2eq\r(2)＝8eq\r(2).3．若三棱錐P-ABC滿足，PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，則該三棱錐可能是()A.AB＝2，BC＝3，CA＝4 B．AB＝3，BC＝4，CA＝5C．AB＝4，BC＝5，CA＝6 D．以上選項(xiàng)都不可能【解析】選C.在三棱錐P-ABC中，由PA＝BC，PB＝AC，PC＝AB，將此三棱錐P-ABC放置入長方體中，如圖，設(shè)該長方體的長寬高分別為a，b，c，則AB2＝b2＋c2，CB2＝b2＋a2，AC2＝a2＋c2，在△ABC中，cos∠BAC＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(c2,AB·AC)>0，角∠BAC為銳角．同理可得∠ABC，∠ACB均為銳角．則△ABC為銳角三角形．由cos∠ABC＝eq\f(AB2＋BC2－AC2,2AB·BC)＝eq\f(22＋32－42,2×2×3)<0，為鈍角，故A不正確．AB2＋BC2＝CA2，為直角，故B不正確．AB2＋BC2－CA2＝16＋25－36>0，AB2＋CA2－BC2＝16＋36－25>0，AC2＋BC2－BA2＝36＋25－16>0，由余弦定理可得△ABC的三個內(nèi)角均為銳角，滿足條件，故C正確，則D不正確．4．(多選)正方體的截面可能是()A．鈍角三角形 B．直角三角形C．菱形 D．正六邊形【解析】選CD.如圖所示截面為三角形ABC，OA＝a，OB＝b，OC＝c，所以AC2＝a2＋c2，AB2＝a2＋b2，BC2＝b2＋c2，所以cos∠CAB＝eq\f(AB2＋AC2－BC2,2AB·AC)＝eq\f(2a2,2\r(a2＋b2)·\r(a2＋c2))>0，所以∠CAB為銳角，同理∠ACB與∠ABC也為銳角，即△ABC為銳角三角形，所以正方體的截面若是三角形，則一定是銳角三角形，不可能是鈍角三角形和直角三角形，A，B錯誤；若是四邊形，則可以是梯形(等腰梯形)、平行四邊形、菱形、矩形、正方形，但不可能是直角梯形，C正確；正方體有六個面，用平面去截正方體時最多與六個面相交得六邊形，如圖截面過棱的中點(diǎn)時，則可以是正六邊形，D正確．二、填空題5．(5分)正方體ABCD-A1B1C1D1中，棱長為2，E是線段CD1【解析】如圖，取CD1的中點(diǎn)為P，連接AP，DP則由AC＝AD1，DC＝DD1知，AP⊥CD1,DP⊥CD1，所以|AE|≥|AP|，|DE|≥|DP|，所以|AE|＋|DE|≥|AP|＋|DP|，在正方體中，棱長為2，所以AP＝eq\f(\r(3),2)×eq\r(2)×2＝eq\r(6)，DP＝eq\f(1,2)×eq\r(2)×2＝eq\r(2)，故當(dāng)E在線段CD1上運(yùn)動，E與P重合時，|AE|＋|DE|有最小值eq\r(6)＋eq\r(2).答案：eq\r(6)＋eq\r(2)三、解答題(每小題10分，共