-新教材高中數(shù)學(xué)第二章平面解析幾何2.2第二課時(shí)直線的兩點(diǎn)式和一般式方程學(xué)案新人教B版選擇性必修第一冊

PAGEPAGE7第二課時(shí)直線的兩點(diǎn)式和一般式方程上體育課時(shí)，老師檢查學(xué)生隊(duì)伍是不是一直線，只要看第一個(gè)學(xué)生就可以了，若還能夠看到其他學(xué)生，那就不在一條直線上．[問題]老師如此做的依據(jù)是什么？知識點(diǎn)一直線的兩點(diǎn)式與截距式方程兩點(diǎn)式截距式條件P1(x1，y1)和P2(x2，y2)其中x1≠x2，y1≠y2在x軸上截距為a，在y軸上截距為b圖形方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1適用范圍不表示垂直于坐標(biāo)軸的直線不表示垂直于坐標(biāo)軸及過原點(diǎn)的直線利用兩點(diǎn)式求直線方程必須滿足什么條件？提示：x1≠x2且y1≠y2，即直線不垂直于坐標(biāo)軸．1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”)(1)不經(jīng)過原點(diǎn)的直線都可以用方程eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1表示．()(2)直線方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)和方程eq\f(y－y1,y2－y1)＝eq\f(x－x1,x2－x1)是相同的．()(3)截距式方程是兩點(diǎn)式方程的特殊形式．()答案：(1)×(2)×(3)√2．直線x－2y＝4的截距式方程是____________．解析：求直線方程的截距式，必須把方程化為eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1的形式，即右邊為1，左邊是和的形式．答案：eq\f(x,4)＋eq\f(y,－2)＝13．經(jīng)過點(diǎn)A(2，5)，B(－3，6)的直線方程為____________．解析：由兩點(diǎn)式得直線方程為eq\f(y－6,5－6)＝eq\f(x＋3,2＋3)，即x＋5y－27＝0.答案：x＋5y－27＝0知識點(diǎn)二直線的一般式方程1．定義：關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同時(shí)為0)叫作直線的一般式方程，簡稱一般式．2．系數(shù)的幾何意義(1)當(dāng)B≠0時(shí)，直線斜率k＝－eq\f(A,B)，在y軸上的截距b＝－eq\f(C,B)；(2)當(dāng)B＝0，A≠0直線斜率不存在，直線過點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(C,A)，0))；(3)v＝(A，B)為直線Ax＋By＋C＝0的一個(gè)法向量．1．平面直角坐標(biāo)系中的每一條直線都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示嗎？提示：都可以．2．每一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同時(shí)為零)都能表示一條直線嗎？提示：都能表示一條直線．3．直線與二元一次方程有怎樣的關(guān)系？提示：(1)在平面直角坐標(biāo)系中，對于任何一條直線，都可以用一個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程表示．(2)每個(gè)關(guān)于x，y的二元一次方程都表示一條直線．直線x－eq\r(3)y＋1＝0的傾斜角為()A．30° B．60°C．120° D．150°解析：選A由直線的一般式方程，得它的斜率為eq\f(\r(3),3)，從而傾斜角為30°.直線的兩點(diǎn)式方程[例1](鏈接教科書第82頁例3)已知A(－3，2)，B(5，－4)，C(0，－2)，在△ABC中．(1)求BC邊的方程；(2)求BC邊上的中線所在直線的方程．[解](1)∵BC邊過兩點(diǎn)B(5，－4)，C(0，－2)，∴由兩點(diǎn)式得eq\f(y－（－4）,（－2）－（－4）)＝eq\f(x－5,0－5)，即2x＋5y＋10＝0.故BC邊的方程為2x＋5y＋10＝0(0≤x≤5).(2)設(shè)BC的中點(diǎn)為M(x0，y0)，則x0＝eq\f(5＋0,2)＝eq\f(5,2)，y0＝eq\f(（－4）＋（－2）,2)＝－3.∴Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)，－3))，又BC邊上的中線經(jīng)過點(diǎn)A(－3，2).∴由兩點(diǎn)式得eq\f(y－2,－3－2)＝eq\f(x－（－3）,\f(5,2)－（－3）)，即10x＋11y＋8＝0.故BC邊上的中線所在直線的方程為10x＋11y＋8＝0.eq\a\vs4\al()求直線的兩點(diǎn)式方程的策略及注意點(diǎn)(1)當(dāng)已知兩點(diǎn)坐標(biāo)，求過這兩點(diǎn)的直線方程時(shí)，首先要判斷是否滿足兩點(diǎn)式方程的適用條件：兩點(diǎn)的連線不平行于坐標(biāo)軸，若滿足，則考慮用兩點(diǎn)式求方程；(2)由于減法的順序性，一般用兩點(diǎn)式求直線方程時(shí)常會將字母或數(shù)字的順序錯(cuò)位而導(dǎo)致錯(cuò)誤．在記憶和使用兩點(diǎn)式方程時(shí)，必須注意坐標(biāo)的對應(yīng)關(guān)系．[跟蹤訓(xùn)練]已知直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(m，1)，求這條直線的方程．解：由直線經(jīng)過點(diǎn)A(1，0)，B(m，1)，因此該直線斜率不可能為零，但有可能不存在．①當(dāng)直線斜率不存在，即m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；②當(dāng)直線斜率存在，即m≠1時(shí)，利用兩點(diǎn)式，可得直線方程為eq\f(y－0,1－0)＝eq\f(x－1,m－1)，即x－(m－1)y－1＝0.綜上可得：當(dāng)m＝1時(shí)，直線方程為x＝1；當(dāng)m≠1時(shí)，直線方程為x－(m－1)y－1＝0.直線的截距式方程[例2](鏈接教科書第82頁例4)求過點(diǎn)A(5，2)，且在坐標(biāo)軸上截距互為相反數(shù)的直線l的方程．[解]法一：①當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0；②當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上的截距不為0時(shí)，可設(shè)方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,－a)＝1，即x－y＝a，又∵l過點(diǎn)A(5，2)，∴5－2＝a，a＝3，∴l(xiāng)的方程為x－y－3＝0，綜上所述，直線l的方程是2x－5y＝0或x－y－3＝0.法二：由題意知直線的斜率一定存在．設(shè)直線的點(diǎn)斜式方程為y－2＝k(x－5)，x＝0時(shí)，y＝2－5k，y＝0時(shí)，x＝5－eq\f(2,k).根據(jù)題意得2－5k＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(5－\f(2,k)))，解方程得k＝eq\f(2,5)或1.當(dāng)k＝eq\f(2,5)時(shí)，直線方程為y－2＝eq\f(2,5)(x－5)，即2x－5y＝0；當(dāng)k＝1時(shí)，直線方程為y－2＝1×(x－5)，即x－y－3＝0.[母題探究](變條件)若將本例中的條件“在坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)”變?yōu)椤霸趚軸上的截距是y軸上截距的2倍”，其它條件不變，如何求解？解：①當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均為0時(shí)，方程為y＝eq\f(2,5)x，即2x－5y＝0.②當(dāng)直線l在兩坐標(biāo)軸上的截距均不為0時(shí)，可設(shè)方程為eq\f(x,2a)＋eq\f(y,a)＝1，又l過點(diǎn)(5，2)，∴eq\f(5,2a)＋eq\f(2,a)＝1，解得a＝eq\f(9,2).∴l(xiāng)的方程為x＋2y－9＝0.eq\a\vs4\al()截距式方程應(yīng)用的注意事項(xiàng)(1)如果問題中涉及直線與坐標(biāo)軸相交，則可考慮選用截距式直線方程，用待定系數(shù)法確定其系數(shù)即可；(2)選用截距式直線方程時(shí)，必須首先考慮直線能否過原點(diǎn)以及能否與兩坐標(biāo)軸垂直；(3)要注意截距式直線方程的逆向應(yīng)用．[跟蹤訓(xùn)練]1．直線eq\f(x,3)－eq\f(y,4)＝1在兩坐標(biāo)軸上的截距之和為()A．1 B．－1C．7 D．－7解析：選B直線在x軸上截距為3，在y軸上截距為－4，因此截距之和為－1.2．求過點(diǎn)P(6，－2)，且在x軸上的截距比在y軸上的截距大1的直線方程．解：設(shè)直線方程的截距式為eq\f(x,a＋1)＋eq\f(y,a)＝1.則eq\f(6,a＋1)＋eq\f(－2,a)＝1，解得a＝2或a＝1，則直線方程是eq\f(x,2＋1)＋eq\f(y,2)＝1或eq\f(x,1＋1)＋eq\f(y,1)＝1，即2x＋3y－6＝0或x＋2y－2＝0.直線的一般式方程[例3](鏈接教科書第83頁例5、第84頁例6)根據(jù)下列條件分別寫出直線的方程，并化為一般式方程：(1)斜率是eq\r(3)且經(jīng)過點(diǎn)A(5，3)；(2)經(jīng)過A(－1，5)，B(2，－1)兩點(diǎn)；(3)經(jīng)過點(diǎn)A(3，1)，v＝(3，－2)是直線的一個(gè)法向量．[解](1)由點(diǎn)斜式方程得y－3＝eq\r(3)(x－5)，整理得eq\r(3)x－y＋3－5eq\r(3)＝0.(2)由兩點(diǎn)式方程得eq\f(y－5,－1－5)＝eq\f(x－（－1）,2－（－1）)，整理得2x＋y－3＝0.(3)法一：因?yàn)関＝(3，－2)是直線l的一個(gè)法向量，所以可以設(shè)l的方程為3x－2y＋C＝0，代入點(diǎn)A(3，1)，可求得C＝－7，因此所求方程為3x－2y－7＝0.法二：設(shè)P(x，y)為平面直角坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)，則P在直線l上的充要條件是eq\o(AP,\s\up7(→))與v＝(3，－2)垂直．又因?yàn)閑q\o(AP,\s\up7(→))＝(x－3，y－1)，所以3×(x－3)＋(－2)×(y－1)＝0，整理可得一般式方程為3x－2y－7＝0.eq\a\vs4\al()求直線一般式方程的策略(1)當(dāng)A≠0時(shí)，方程可化為x＋eq\f(B,A)y＋eq\f(C,A)＝0，只需求eq\f(B,A)，eq\f(C,A)的值；若B≠0，則方程化為eq\f(A,B)x＋y＋eq\f(C,B)＝0，只需確定eq\f(A,B)，eq\f(C,B)的值．因此，只要給出兩個(gè)條件，就可以求出直線方程；(2)在求直線方程時(shí)，設(shè)一般式方程有時(shí)并不簡單，常用的還是根據(jù)給定條件選用四種特殊形式之一求方程，然后可以轉(zhuǎn)化為一般式．[跟蹤訓(xùn)練]1．已知直線l的傾斜角為60°，在y軸上的截距為－4，則直線l的點(diǎn)斜式方程為____________，截距式方程為____________，斜截式方程為____________，一般式方程為____________．解析：點(diǎn)斜式方程：y＋4＝eq\r(3)(x－0)，截距式方程：eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1，斜截式方程：y＝eq\r(3)x－4，一般式方程：eq\r(3)x－y－4＝0.答案：y＋4＝eq\r(3)(x－0)eq\f(x,\f(4\r(3),3))＋eq\f(y,－4)＝1y＝eq\r(3)x－4eq\r(3)x－y－4＝02．直線(m＋2)x＋(m2－2m－3)y＝2m在x軸上的截距為3，則實(shí)數(shù)解析：令y＝0，則直線在x軸上的截距是x＝eq\f(2m,m＋2)，∴eq\f(2m,m＋2)＝3，∴m＝－6.答案：－61．已知△ABC三頂點(diǎn)A(1，2)，B(3，6)，C(5，2)，M為AB中點(diǎn)，N為AC中點(diǎn)，則中位線MN所在直線方程為()A．2x＋y－8＝0 B．2x－y＋8＝0C．2x＋y－12＝0 D．2x－y－12＝0解析：選A點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(3，2)，由兩點(diǎn)式方程得eq\f(y－2,4－2)＝eq\f(x－3,2－3)，即2x＋y－8＝0.2．直線eq\f(x,a)＋