-新教材高中數(shù)學(xué)課時(shí)檢測(cè)29直線與圓錐曲線的位置關(guān)系含解析新人教B版選擇性必修第一冊(cè)

PAGEPAGE8課時(shí)跟蹤檢測(cè)（二十九）直線與圓錐曲線的位置關(guān)系[A級(jí)基礎(chǔ)鞏固]1．已知直線l過點(diǎn)(3，－1)，且橢圓C：eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,36)＝1，則直線l與橢圓C的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)為()A．1 B．1或2C．2 D．0解析：選C因?yàn)橹本€過定點(diǎn)(3，－1)且eq\f(32,25)＋eq\f(（－1）2,36)＜1，所以點(diǎn)(3，－1)在橢圓的內(nèi)部，故直線l與橢圓有2個(gè)公共點(diǎn)．2．在拋物線y＝x2上，到直線2x－y－4＝0的距離最小的點(diǎn)的坐標(biāo)為()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，\f(1,4))) B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(9,2)))C．(1，1) D．(2，4)解析：選C設(shè)P(x，y)是到直線2x－y－4＝0的距離最小的點(diǎn)，由點(diǎn)到直線的距離公式得d＝eq\f(|2x－y－4|,\r(5))，又∵P(x，y)在拋物線上，∴y＝x2，∴d＝eq\f(|2x－x2－4|,\r(5))＝eq\f(\r(5),5)|(x－1)2＋3|.∵當(dāng)x＝1時(shí)，y＝1，dmin＝eq\f(3\r(5),5)，∴P(1，1).3．若直線y＝kx與雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1相交，則k的取值范圍是()A．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(2,3)))B．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，0))C．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3)))D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(2,3)))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,3)，＋∞))解析：選C雙曲線eq\f(x2,9)－eq\f(y2,4)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(2,3)x，若直線與雙曲線相交，得k∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2,3)，\f(2,3))).4．已知F是橢圓eq\f(x2,25)＋eq\f(y2,9)＝1的一個(gè)焦點(diǎn)，AB為過橢圓中心的一條弦，則△ABF的面積最大值為()A．6 B．15C．20 D．12解析：選D由題意知，S△ABF＝eq\f(1,2)|OF|·|y1－y2|≤eq\f(1,2)|OF|·2b＝12.5．過點(diǎn)(1，0)作斜率為－2的直線，與拋物線y2＝8x交于A，B兩點(diǎn)，則弦AB的長(zhǎng)為()A．2eq\r(13) B．2eq\r(15)C．2eq\r(17) D．2eq\r(19)解析：選B設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).由題意知AB的方程為y＝－2(x－1)，即y＝－2x＋2.由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝－2x＋2))得x2－4x＋1＝0，∴x1＋x2＝4，x1x2＝1.∴|AB|＝eq\r(（1＋k2）[（x1＋x2）2－4x1x2])＝eq\r(（1＋4）×（16－4）)＝eq\r(5×12)＝2eq\r(15).6．設(shè)F1，F(xiàn)2分別是橢圓E：x2＋eq\f(y2,b2)＝1(0<b<1)的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)F1的直線交橢圓E于A，B兩點(diǎn)．若|AF1|＝3|F1B|，AF2⊥x軸，則橢圓E的方程為________．解析：如圖所示，設(shè)F1(－c，0)，F(xiàn)2(c，0)，其中c＝eq\r(1－b2)，則可設(shè)A(c，b2)，B(x0，y0).由|AF1|＝3|F1B|，可得eq\o(AF1,\s\up7(→))＝3eq\o(F1B,\s\up7(→))，故eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2c＝3x0＋3c，,－b2＝3y0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x0＝－\f(5,3)c，,y0＝－\f(1,3)b2，))代入橢圓方程，可得eq\f(25（1－b2）,9)＋eq\f(1,9)b2＝1，解得b2＝eq\f(2,3)，故橢圓方程為x2＋eq\f(3y2,2)＝1.答案：x2＋eq\f(3,2)y2＝17．(2020·新高考全國(guó)卷Ⅰ)斜率為eq\r(3)的直線過拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)，且與C交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝________．解析：由題意得直線方程為y＝eq\r(3)(x－1)，聯(lián)立方程，得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝\r(3)（x－1），,y2＝4x，))得3x2－10x＋3＝0，∴xA＋xB＝eq\f(10,3)，故|AB|＝1＋xA＋1＋xB＝2＋eq\f(10,3)＝eq\f(16,3).答案：eq\f(16,3)8．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的右焦點(diǎn)為F，若過點(diǎn)F且傾斜角為60°的直線l與雙曲線的右支有且只有一個(gè)交點(diǎn)，則此雙曲線的離心率e的取值范圍是________．解析：由題意，知eq\f(b,a)≥eq\r(3)，則eq\f(b2,a2)≥3，所以c2－a2≥3a2，即c2≥4a2，所以e2＝eq\f(c2,a2)≥4，所以e≥2.答案：[2，＋∞)9．已知橢圓4x2＋y2＝1及直線y＝x＋m，若直線被橢圓截得的弦長(zhǎng)為eq\f(2\r(10),5)，求直線的方程．解：把直線方程y＝x＋m代入橢圓方程4x2＋y2＝1，得4x2＋(x＋m)2＝1，即5x2＋2mx＋m2－1＝0.則Δ＝(2m)2－4×5×(m2－1)＝－16m解得－eq\f(\r(5),2)＜m＜eq\f(\r(5),2).設(shè)直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為x1，x2，則x1＋x2＝－eq\f(2m,5)，x1x2＝eq\f(m2－1,5).根據(jù)弦長(zhǎng)公式，得eq\r(1＋12)·eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(2m,5)))\s\up12(2)－4×\f(m2－1,5))＝eq\f(2\r(10),5)，解得m＝0.因此，所求直線的方程為y＝x.10．(2020·全國(guó)卷Ⅱ)已知橢圓C1：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦點(diǎn)F與拋物線C2的焦點(diǎn)重合，C1的中心與C2的頂點(diǎn)重合．過F且與x軸垂直的直線交C1于A，B兩點(diǎn)，交C2于C，D兩點(diǎn)，且|CD|＝eq\f(4,3)|AB|.(1)求C1的離心率；(2)設(shè)M是C1與C2的公共點(diǎn)．若|MF|＝5，求C1與C2的標(biāo)準(zhǔn)方程．解：(1)由已知可設(shè)C2的方程為y2＝4cx，其中c＝eq\r(a2－b2).不妨設(shè)A，C在第一象限，由題設(shè)得A，B的縱坐標(biāo)分別為eq\f(b2,a)，－eq\f(b2,a)；C，D的縱坐標(biāo)分別為2c，－2c，故|AB|＝eq\f(2b2,a)，|CD|＝4c.由|CD|＝eq\f(4,3)|AB|得4c＝eq\f(8b2,3a)，即3×eq\f(c,a)＝2－2eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(c,a)))eq\s\up12(2).解得eq\f(c,a)＝－2(舍去)，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2).所以C1的離心率為eq\f(1,2).(2)由(1)知a＝2c，b＝eq\r(3)c，故C1：eq\f(x2,4c2)＋eq\f(y2,3c2)＝1.設(shè)M(x0，y0)，則eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4c2)＋eq\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),3c2)＝1，yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0))＝4cx0，故eq\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(0)),4c2)＋eq\f(4x0,3c)＝1.①由于C2的準(zhǔn)線為x＝－c，所以|MF|＝x0＋c，而|MF|＝5，故x0＝5－c，代入①得eq\f(（5－c）2,4c2)＋eq\f(4（5－c）,3c)＝1，即c2－2c－3＝0，解得c＝－1(舍去)，c所以C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,36)＋eq\f(y2,27)＝1，C2的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2＝12x.[B級(jí)綜合運(yùn)用]11．已知雙曲線E的中心為原點(diǎn)，F(xiàn)(3，0)是E的焦點(diǎn)，過F的直線l與E相交于A，B兩點(diǎn)，且AB的中點(diǎn)為N(－12，－15)，則E的方程為()A．eq\f(x2,3)－eq\f(y2,6)＝1 B．eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1C．eq\f(x2,6)－eq\f(y2,3)＝1 D．eq\f(x2,5)－eq\f(y2,4)＝1解析：選B設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)，由題意知c＝3，a2＋b2＝9，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),a2)－\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)),b2)＝1，,\f(xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),a2)－\f(yeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2)),b2)＝1，))兩式作差得eq\f(y1－y2,x1－x2)＝eq\f(b2（x1＋x2）,a2（y1＋y2）)＝eq\f(－12b2,－15a2)＝eq\f(4b2,5a2)，又AB的斜率是eq\f(－15－0,－12－3)＝1，所以4b2＝5a2，代入a2＋b2＝9得a2＝4，b2＝5所以雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程是eq\f(x2,4)－eq\f(y2,5)＝1.12．(多選)已知拋物線x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)F的直線l交拋物線于A，B兩點(diǎn)，以線段AB為直徑的圓交x軸于M，N兩點(diǎn)，設(shè)線段AB的中點(diǎn)為Q.若拋物線C上存在一點(diǎn)E(t，2)到焦點(diǎn)F的距離等于3.則下列說法正確的是()A．拋物線的方程是x2＝2yB．拋物線的準(zhǔn)線是y＝－1C．sin∠QMN的最小值是eq\f(1,2)D．線段AB的最小值是6解析：選BC拋物線C：x2＝2py(p＞0)的焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，得拋物線的準(zhǔn)線方程為y＝－eq\f(p,2)，點(diǎn)E(t，2)到焦點(diǎn)F的距離等于3，可得2＋eq\f(p,2)＝3，解得p＝2，則拋物線C的方程為x2＝4y，所以A不正確；拋物線的準(zhǔn)線方程：y＝－1，所以B正確；由題知直線l的斜率存在，F(xiàn)(0，1)，設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，直線l的方程為y＝kx＋1，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,x2＝4y，))消去y得x2－4kx－4＝0，所以x1＋x2＝4k，x1x2＝－4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2＝4k2＋2，所以AB的中點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(2k，2k2＋1)，|AB|＝y(tǒng)1＋y2＋p＝4k2＋2＋2＝4k2＋4，所以圓Q的半徑為r＝2k2＋2，在等腰△QMN中，sin∠QMN＝eq\f(|yQ|,r)＝eq\f(2k2＋1,2k2＋2)＝1－eq\f(1,2k2＋2)≥1－eq\f(1,2)＝eq\f(1,2)，當(dāng)且僅當(dāng)k＝0時(shí)取等號(hào)．所以sin∠QMN的最小值為eq\f(1,2).所以C正確；線段AB的最小值是：y1＋y2＋2＝4k2＋4≥4.所以D不正確．13．若點(diǎn)(x，y)在橢圓4x2＋y2＝4上，則eq\f(y,x－2)的最小值為()A．1 B．－1C．－eq\f(2\r(3),3) D．以上都不對(duì)解析：選C設(shè)eq\f(y,x－2)＝k，則y＝k(x－2).由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x2＋y2＝4，,y＝k（x－2）))消去y，整理得(k2＋4)x2－4k2x＋4(k2－1)＝0，Δ＝16k4－4×4(k2－1)(k2＋4)＝0，解得k＝±eq\f(2\r(3),3)，∴kmin＝－eq\f(2\r(3),3).故選C.14．雙曲線C的中心在原點(diǎn)，右焦點(diǎn)為Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2\r(3),3)，0))，漸近線方程為y＝±eq\r(3)x.(1)求雙曲線C的方程；(2)設(shè)直線l：y＝kx＋1與雙曲線C交于A，B兩點(diǎn)，問：當(dāng)k為何值時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)？解：(1)設(shè)雙曲線的方程是eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)，則c＝eq\f(2\r(3),3)，eq\f(b,a)＝eq\r(3).又∵c2＝a2＋b2，∴b2＝1，a2＝eq\f(1,3).∴雙曲線的方程是3x2－y2＝1.(2)由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝kx＋1，,3x2－y2＝1))得(3－k2)x2－2kx－2＝0.由Δ＞0，且3－k2≠0，得－eq\r(6)＜k＜eq\r(6)，且k≠±eq\r(3).設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2).∵以AB為直徑的圓過原點(diǎn)，∴OA⊥OB.∴x1x2＋y1y2＝0.又∵x1＋x2＝eq\f(－2k,k2－3)，x1x2＝eq\f(2,k2－3)，∴y1y2＝(kx1＋1)(kx2＋1)＝k2x1x2＋k(x1＋x2)＋1＝1，∴eq\f(2,k2－3)＋1＝0，解得k＝±1.故當(dāng)k＝±1時(shí)，以AB為直徑的圓過原點(diǎn)．[C級(jí)拓展探究]15．已知拋物線C：y＝2x2，直線y＝kx＋2交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，M是線段AB的中點(diǎn)，過M作x軸的垂線，交拋物線C于點(diǎn)N.(1)求證：拋物線C在點(diǎn)N處的切線與AB平行；(2)是否存在實(shí)數(shù)k，使得eq\o(NA,\s\up7(→))·eq\o(NB,\s\up7(→))＝0？若存在，求出k的值；若不存在，說明理由．解：(1)證明：法一：如圖所示，設(shè)A(x1，2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))，B(x2，2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))).把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(k,2)，x1x2＝－1，∴xN＝xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(k,4)，∴N點(diǎn)的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(k,4)，\f(k2,8))).設(shè)拋物線在點(diǎn)N處的切線l的方程為y－eq\f(k2,8)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(k,4))).將y＝2x2代入上式，得2x2－mx＋eq\f(mk,4)－eq\f(k2,8)＝0.∵直線l與拋物線C相切，∴Δ＝m2－8eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(mk,4)－\f(k2,8)))＝m2－2mk＋k2＝(m－k)2＝0，∴m＝k，即l∥AB.法二：設(shè)A(x1，2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(1)))，B(x2，2xeq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(2))).把y＝kx＋2代入y＝2x2，得2x2－kx－2＝0，由根與系數(shù)的關(guān)系，得x1＋x2＝eq\f(k,2)，x1x2＝－1，∴