走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)

走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)走向促進(jìn)理解的數(shù)學(xué)教學(xué)

【中圖分類號(hào)】G623.5【文獻(xiàn)標(biāo)志碼】A【文章編號(hào)】1005-6009〔2022〕29-0025-03

【作者簡介】仇學(xué)春，南京市瑯琊路小學(xué)〔南京，210024〕級(jí)部主任，一級(jí)教師，南京市數(shù)學(xué)學(xué)科帶頭人，曾獲全國中小學(xué)信息技術(shù)創(chuàng)新與實(shí)踐活動(dòng)網(wǎng)絡(luò)教研團(tuán)隊(duì)競賽特等獎(jiǎng)。

在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，理解是第一位的。數(shù)學(xué)理解是學(xué)生獲得數(shù)學(xué)對(duì)象意義的關(guān)鍵。可以說，沒有理解，學(xué)生就沒有深刻的思維;沒有理解，數(shù)學(xué)知識(shí)的運(yùn)用就無從談起;沒有理解，數(shù)學(xué)教育也就沒有了意義。

一、內(nèi)涵解讀：走向理解的原點(diǎn)

理解是我們?cè)谌粘＝虒W(xué)中經(jīng)常使用的詞匯。通常，我們會(huì)把“理解〞簡單地認(rèn)為是“聽懂了〞或者“會(huì)做了〞。實(shí)際上，數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解有其豐盛的內(nèi)涵。

美國心理學(xué)家大衛(wèi)《帕金斯認(rèn)為，所謂理解，是指個(gè)體可以運(yùn)用信息做事情，而不是他們記得什么。當(dāng)學(xué)生理解事物時(shí)，他們可以用自己的話來解釋概念，在新的情境中能夠適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用信息，做出具有創(chuàng)新性的比喻及推論。[1]顯然，他對(duì)理解的界定源于認(rèn)知心理學(xué)對(duì)理解的界定，都是以信息的內(nèi)部表征作為解釋的根底。

華東師范大學(xué)李士《教授認(rèn)為：學(xué)習(xí)一個(gè)數(shù)學(xué)概念、原理、法那么，如果在心理上能組織起適當(dāng)?shù)?、有效的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，并使之成為個(gè)人內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)的一局部，則才表明是理解了。[2]

英國數(shù)學(xué)心理學(xué)家R.斯根普認(rèn)為理解有兩個(gè)不同的層次：工具性理解和關(guān)系性理解。[3]工具性理解的教學(xué)較容易在短期內(nèi)，以及有限〔特別是與最初的學(xué)習(xí)情境相似〕的活動(dòng)范圍內(nèi)產(chǎn)生明顯的效果，但不利于學(xué)生在全新的情境中應(yīng)用該知識(shí)〔即遷移〕，不利于他們對(duì)整個(gè)生存環(huán)境的理解，也就不利于其長期的開展。只有從工具性理解到達(dá)關(guān)系性理解的層次，個(gè)體才能把握數(shù)學(xué)對(duì)象的本質(zhì)。關(guān)系型理解的標(biāo)志有下列特征：揭示知識(shí)發(fā)生的過程，進(jìn)行邏輯分析，提升為數(shù)學(xué)思想辦法，形成自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。關(guān)系型理解更深一步會(huì)進(jìn)入創(chuàng)新性理解的層次，所謂創(chuàng)新性理解，就是在認(rèn)識(shí)知識(shí)結(jié)構(gòu)本身的根底上，對(duì)已有知識(shí)進(jìn)行提高、推廣和拓展，或?qū)δ撤N操作進(jìn)行更新和改變。[4]

二、顯性特征：走向理解的撐持點(diǎn)

教師可利用學(xué)生的外部表現(xiàn)來判斷學(xué)生是否理解了數(shù)學(xué)知識(shí)。學(xué)生理解數(shù)學(xué)知識(shí)的重要標(biāo)志是他們能把語言敘述、實(shí)際操作和具體運(yùn)用這三者結(jié)合起來，從對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象表層的理解回升到對(duì)數(shù)學(xué)對(duì)象本質(zhì)的把握。

哈佛大學(xué)也提出了理解的四個(gè)維度和它們的特征：〔1〕知識(shí)：轉(zhuǎn)換過的直覺認(rèn)識(shí);連貫的、豐盛的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)。〔2〕辦法：建設(shè)性的質(zhì)疑;構(gòu)建領(lǐng)域內(nèi)的知識(shí);驗(yàn)證領(lǐng)域內(nèi)的知識(shí)?！?〕目標(biāo)：知道所學(xué)知識(shí)的用途;運(yùn)用所學(xué)知識(shí);內(nèi)化知識(shí)，并能夠單獨(dú)靈活運(yùn)用。〔4〕形式：掌握了不同類型的表征方式;有效運(yùn)用不同類型知識(shí)的符號(hào)系統(tǒng);能夠根據(jù)不同的對(duì)象和情境提示進(jìn)行思考。教師要捕捉學(xué)生學(xué)習(xí)的外在表現(xiàn)，學(xué)會(huì)判斷學(xué)生是否理解了所學(xué)。

基于上述對(duì)理解的維度和特征的認(rèn)識(shí)，筆者認(rèn)為，在數(shù)學(xué)教學(xué)中加強(qiáng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的主要途徑有：加強(qiáng)新舊知識(shí)間的聯(lián)系，抓變式與比擬，抓反思，加強(qiáng)數(shù)學(xué)知識(shí)的系統(tǒng)化，抓靈活運(yùn)用，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)辦法的理解，等等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的理解需要關(guān)注下列顯性特征：

1.自然的敘述。

記憶是理解的根底，而敘述是記憶的根本辦法。通過學(xué)生的敘述，教師可以了解學(xué)生對(duì)知識(shí)理解的程度，使得學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)理解的缺陷得以暴露并得到糾正。對(duì)同一知識(shí)，每個(gè)學(xué)生都有不同角度、不同層次的理解，從而自發(fā)地產(chǎn)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的內(nèi)部需要。

2.個(gè)性的發(fā)明。

學(xué)習(xí)不是純正的模仿或記憶，要通過合理的數(shù)學(xué)活動(dòng)為學(xué)生提供探索知識(shí)的時(shí)間和時(shí)機(jī)，讓學(xué)生經(jīng)歷知識(shí)的“再發(fā)明〞過程。Carpenter、Resnick等人的研究說明，數(shù)學(xué)理解有助于創(chuàng)造發(fā)明。他們認(rèn)為：豐盛的內(nèi)部知識(shí)網(wǎng)絡(luò)容易激活、引導(dǎo)和檢驗(yàn)，這是發(fā)明與創(chuàng)造的根底，而完善的圖式建構(gòu)依賴于理解。[5]

3.主動(dòng)的聯(lián)結(jié)。

理解數(shù)學(xué)知識(shí)既包括認(rèn)識(shí)這個(gè)知識(shí)的本質(zhì)屬性，也包括掌握它與其他知識(shí)之間的聯(lián)系。要對(duì)知識(shí)形成深刻的、真正的理解，學(xué)習(xí)者獲得的知識(shí)就應(yīng)該是結(jié)構(gòu)化的、整合性的，而不是零碎的。零散無序的知識(shí)會(huì)使學(xué)生頭腦混亂，就題論題、不講聯(lián)系會(huì)使學(xué)生的理解停留在低層次的水平，數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)努力讓學(xué)生的認(rèn)知結(jié)構(gòu)系統(tǒng)化。

4.靈活的應(yīng)用。

對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的靈活運(yùn)用既是對(duì)是否理解了數(shù)學(xué)知識(shí)的一種檢驗(yàn)，也是深入理解數(shù)學(xué)知識(shí)的一種辦法。因此，這是對(duì)數(shù)學(xué)理解的深層次促進(jìn)。在解決問題的過程中，特別是解題思路受阻時(shí)，要靈活地轉(zhuǎn)化題目中的條件和結(jié)論，以便更深刻地理解題目的含義。這樣，久而久之，學(xué)生對(duì)知識(shí)點(diǎn)的理解就會(huì)更加靈活，最終發(fā)揮它們的動(dòng)態(tài)效應(yīng)。

三、策略建構(gòu)：走向理解的生長點(diǎn)

建構(gòu)主義學(xué)說認(rèn)為：數(shù)學(xué)知識(shí)不可能以實(shí)體的形式存在于個(gè)體之外。則，真正的理解只能由學(xué)習(xí)者自身基于自己的經(jīng)驗(yàn)背景建構(gòu)起來。理解取決于學(xué)生個(gè)體特定情況下的學(xué)習(xí)活動(dòng)過程，否那么就是死記硬背或生吞活剝，是被動(dòng)的、復(fù)制式的學(xué)習(xí)?？梢詮南铝袔讉€(gè)方面著手來促進(jìn)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解：

1.情境：在問題中理解。

問題情境作為一種以激發(fā)學(xué)生的問題意識(shí)為價(jià)值取向的數(shù)據(jù)材料和背景信息，是從事數(shù)學(xué)活動(dòng)的環(huán)境，是產(chǎn)生數(shù)學(xué)行為的條件，推動(dòng)著學(xué)習(xí)者不斷進(jìn)行更加深入的理解。

教學(xué)蘇教版五下?圓的認(rèn)識(shí)》，可以創(chuàng)設(shè)套圈游戲的情境，讓學(xué)生思考：同學(xué)們站成一排套圈公平嗎？如果讓你來設(shè)計(jì)，怎樣玩才公平呢？學(xué)生根據(jù)自身靈活而多樣的經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行多元化的表征，在情境中認(rèn)識(shí)“定點(diǎn)〞和“定長〞，初步體驗(yàn)圓是什么。套圈的情境為學(xué)生認(rèn)識(shí)圓提供了腳手架，成為推動(dòng)學(xué)生不斷深化理解的深層次力量。2.聯(lián)系：在結(jié)構(gòu)中理解。

本文中的理解，是指在學(xué)生頭腦中形成關(guān)于該數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)部網(wǎng)絡(luò)，使數(shù)學(xué)知識(shí)與已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立起聯(lián)系。

教學(xué)蘇教版六上?分?jǐn)?shù)乘整數(shù)》，學(xué)生自主探究×3為什么等于時(shí)，可能有下列幾種想法：

〔1〕畫圖理解：

〔2〕轉(zhuǎn)化為分?jǐn)?shù)加法：

×3=++==

〔3〕轉(zhuǎn)化為整數(shù)除法：

×3=3÷10×3=3×3÷10=

〔4〕轉(zhuǎn)化為小數(shù)：

×3=0.3×3=0.9=

四種辦法出來后，學(xué)生大多不知道它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，這時(shí)就需要教師的引導(dǎo)：這些辦法有什么相同的地方呢？都是在算什么？引導(dǎo)學(xué)生分析不同的辦法都是在算3×3，算出來是9個(gè)，也就是，使學(xué)生把理解算理和抽象算法融合在一起，把分?jǐn)?shù)、整數(shù)、小數(shù)有效地聯(lián)系起來。

3.變式：在比擬中理解。

變式問題的設(shè)計(jì)一方面可以評(píng)判學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)的本質(zhì)是否到達(dá)了較為深刻的理解，同時(shí)也可以在問題解決的過程中深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識(shí)。

教學(xué)蘇教版五下?真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)》時(shí)，可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)變式練習(xí)：

〔1〕在分?jǐn)?shù)的〔

〕中填上自己的學(xué)號(hào)，判斷它是什么分?jǐn)?shù)。在數(shù)軸上，大略在什么位置？大略在什么位置？你發(fā)現(xiàn)了什么？

〔2〕如果是假分?jǐn)?shù)，〔

〕中最大填幾？如果它是真分?jǐn)?shù)，〔

〕中最小填幾？有多少個(gè)？

〔3〕如果是假分?jǐn)?shù)，〔

〕中最大填幾？如果它是真分?jǐn)?shù)，〔

〕中最小填幾？

這個(gè)練習(xí)分了三個(gè)層次：第一個(gè)層次通過填寫學(xué)號(hào)，理解什么是真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)，并且結(jié)合數(shù)軸理解它們的概念和內(nèi)涵;第二個(gè)層次靈活判斷，理解分子與分母之間的大小關(guān)系;最后一個(gè)層次進(jìn)行抽象，理解真分?jǐn)?shù)和假分?jǐn)?shù)的本質(zhì)特征。

4.活動(dòng)：在體驗(yàn)中理解。

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的教學(xué)，在數(shù)學(xué)活動(dòng)中可以充沛暴露學(xué)生在理解上的缺乏。在活動(dòng)中交流體驗(yàn)，可以促進(jìn)學(xué)生更深入地理解知識(shí)。

教學(xué)?圓的認(rèn)識(shí)》，探究圓的特征時(shí)可以設(shè)計(jì)這樣一個(gè)活動(dòng)：圓還有什么秘密？讓學(xué)生折一折、量一量、比一比、畫一畫、想一想，用不同的辦法去發(fā)現(xiàn)圓的秘密，并在小組內(nèi)發(fā)展研究，全班分享各自的想法，通過交流帶給學(xué)生“我知道得更多〞的感受。使學(xué)生在交流、交鋒、質(zhì)疑、補(bǔ)充、總結(jié)、提煉等過程中，豐盛了對(duì)圓的認(rèn)識(shí)，加深了對(duì)圓本質(zhì)特征的理解。

5.應(yīng)用：在解釋中理解。

數(shù)學(xué)在現(xiàn)實(shí)世界中有著廣泛的應(yīng)用，教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生在實(shí)際生活中解釋、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)，以加強(qiáng)他們對(duì)數(shù)學(xué)的理解。

教學(xué)蘇教版六上?認(rèn)識(shí)比》時(shí)，可以設(shè)疑：你們知道芭蕾舞演員跳舞的時(shí)候?yàn)槭裁匆谄鹉_尖嗎？從而引出黃金比，再聯(lián)系生活實(shí)際，解釋穿高跟鞋跟跳芭蕾舞的道理是一樣的。然后問學(xué)生：根據(jù)黃金比，你認(rèn)為老師站在講臺(tái)上哪個(gè)位置最適宜？這樣的拓展，不僅有助