2023版高考物理一輪復習課時跟蹤檢測（十四）第四章曲線運動萬有引力與航天第4節(jié)萬有引力定律及其應用

PAGEPAGEPAGE2課時跟蹤檢測〔十四〕萬有引力定律及其應用對點訓練：開普勒行星運動定律與萬有引力定律1．(2022·上海黃浦區(qū)檢測)關于萬有引力定律，以下說法正確的選項是()A．牛頓提出了萬有引力定律，并測定了引力常量的數(shù)值B．萬有引力定律只適用于天體之間C．萬有引力的發(fā)現(xiàn)，揭示了自然界一種根本相互作用的規(guī)律D．地球繞太陽在橢圓軌道上運行，在近日點和遠日點受到太陽的萬有引力大小是相同的解析：選C牛頓提出了萬有引力定律，卡文迪許測定了引力常量的數(shù)值，萬有引力定律適用于任何物體之間，萬有引力的發(fā)現(xiàn)，揭示了自然界一種根本相互作用的規(guī)律，選項A、B錯誤，C正確；地球繞太陽在橢圓軌道上運行，在近日點和遠日點受到太陽的萬有引力大小是不相同的，選項D錯誤。2.對于環(huán)繞地球做圓周運動的衛(wèi)星來說，它們繞地球做圓周運動的周期會隨著軌道半徑的變化而變化，某同學根據(jù)測得的不同衛(wèi)星做圓周運動的半徑r與周期T的關系作出如下圖圖像，那么可求得地球質量為(引力常量為G)()A.eq\f(4π2a,Gb) B.eq\f(4π2b,Ga)C.eq\f(Ga,4π2b) D.eq\f(Gb,4π2a)解析：選A由eq\f(GMm,r2)＝meq\f(4π2,T2)·r可得eq\f(r3,T2)＝eq\f(GM,4π2)，結合題圖圖線可得，eq\f(a,b)＝eq\f(GM,4π2)，故M＝eq\f(4π2a,Gb)，A正確。3．(多項選擇)(2022·北京通州區(qū)摸底)萬有引力定律能夠很好地將天體運行規(guī)律與地球上物體運動規(guī)律具有的內(nèi)在一致性統(tǒng)一起來。用彈簧秤稱量一個相對于地球靜止的小物體的重量，隨稱量位置的變化可能會有不同的結果。地球質量為M，萬有引力常量為G。將地球視為半徑為R、質量均勻分布的球體。以下選項中說法正確的選項是()A．在北極地面稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F0＝Geq\f(Mm,R2)B．在赤道地面稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F1＝Geq\f(Mm,R2)C．在北極上空高出地面h處稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)D．在赤道上空高出地面h處稱量時，彈簧秤讀數(shù)為F3＝Geq\f(Mm,R＋h2)解析：選AC北極地面物體不隨地球自轉，萬有引力等于重力，那么有F0＝Geq\f(Mm,R2)，故A正確；在赤道地面稱量時，萬有引力等于重力加上隨地球一起自轉所需要的向心力，那么有F1<Geq\f(Mm,R2)，故B錯誤；在北極上空高出地面h處稱量時，萬有引力等于重力，那么有F2＝Geq\f(Mm,R＋h2)，故C正確；在赤道上空高出地面h處稱量時，萬有引力大于重力，彈簧秤讀數(shù)F3<Geq\f(Mm,R＋h2)，故D錯誤。4．(2022·全國乙卷)利用三顆位置適當?shù)牡厍蛲叫l(wèi)星，可使地球赤道上任意兩點之間保持無線電通訊。目前，地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的6.6倍。假設地球的自轉周期變小，假設仍僅用三顆同步衛(wèi)星來實現(xiàn)上述目的，那么地球自轉周期的最小值約為()A．1h B.4hC．8h D．16h解析：選B萬有引力提供向心力，對同步衛(wèi)星有：eq\f(GMm,r2)＝mreq\f(4π2,T2)，整理得GM＝eq\f(4π2r3,T2)當r＝6.6R地時，T＝24h假設地球的自轉周期變小，軌道半徑最小為2R地三顆同步衛(wèi)星A、B、C如下圖分布。那么有eq\f(4π26.6R地3,T2)＝eq\f(4π22R地3,T′2)解得T′≈eq\f(T,6)＝4h，選項B正確。對點訓練：天體質量和密度的計算5．(多項選擇)(2022·海南高考)通過觀測冥王星的衛(wèi)星，可以推算出冥王星的質量。假設衛(wèi)星繞冥王星做勻速圓周運動，除了引力常量外，至少還需要兩個物理量才能計算出冥王星的質量。這兩個物理量可以是()A．衛(wèi)星的速度和角速度B．衛(wèi)星的質量和軌道半徑C．衛(wèi)星的質量和角速度D．衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑解析：選AD根據(jù)線速度和角速度可以求出半徑r＝eq\f(v,ω)，根據(jù)萬有引力提供向心力，那么有eq\f(GMm,r2)＝meq\f(v2,r)，整理可得M＝eq\f(v3,Gω)，應選項A正確；由于衛(wèi)星的質量m可約掉，應選項B、C錯誤；假設知道衛(wèi)星的運行周期和軌道半徑，那么由eq\f(GMm,r2)＝meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2r，整理得M＝eq\f(4π2r3,GT2)，應選項D正確。6．(2022·銅陵質檢)有一星球的密度跟地球密度相同，但它外表處的重力加速度是地球外表處重力加速度的4倍，那么該星球的質量是地球質量的(忽略其自轉影響)()A.eq\f(1,4) B.4倍C．16倍 D．64倍解析：選D天體外表的物體所受重力mg＝eq\f(GMm,R2)，又知ρ＝eq\f(3M,4πR3)，所以M＝eq\f(9g3,16π2ρ2G3)，故eq\f(M星,M地)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(g星,g地)))3＝64。D正確。7.(2022·文登模擬)如下圖，“嫦娥三號〞的環(huán)月軌道可近似看成是圓軌道，觀察“嫦娥三號〞在環(huán)月軌道上的運動，發(fā)現(xiàn)每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，該弧長對應的圓心角為θ弧度。萬有引力常量為G，那么月球的質量是()A.eq\f(l2,Gθ3t) B.eq\f(θ3,Gl2t)C.eq\f(l3,Gθt2) D.eq\f(t2,Gθl3)解析：選C因為每經(jīng)過時間t通過的弧長為l，故衛(wèi)星的線速度為v＝eq\f(l,t)，角速度為ω＝eq\f(θ,t)，衛(wèi)星的運行半徑為R＝eq\f(v,ω)＝eq\f(l,θ)，那么根據(jù)萬有引力定律及牛頓第二定律得：eq\f(GMm,R2)＝eq\f(mv2,R)，那么月球的質量M＝eq\f(Rv2,G)＝eq\f(l3,Gθt2)，選項C正確。8．據(jù)報道，天文學家新發(fā)現(xiàn)了太陽系外的一顆行星。這顆行星的體積是地球的a倍，質量是地球的b倍。近地衛(wèi)星繞地球運動的周期約為T，引力常量為G。那么該行星的平均密度為()A.eq\f(3π,GT2) B.eq\f(π,3T2)C.eq\f(3πb,aGT2) D.eq\f(3πa,bGT2)解析：選C萬有引力提供近地衛(wèi)星繞地球運動的向心力Geq\f(M地m,R2)＝meq\f(4π2R,T2)，且ρ地＝eq\f(3M地,4πR3)，由以上兩式得ρ地＝eq\f(3π,GT2)。而eq\f(ρ星,ρ地)＝eq\f(M星V地,V星M地)＝eq\f(b,a)，因而ρ星＝eq\f(3πb,aGT2)，C正確。對點訓練：天體外表的重力加速度問題9．宇航員站在某一星球距外表h高度處，以某一速度沿水平方向拋出一個小球，經(jīng)過時間t后小球落到星球外表，該星球的半徑為R，引力常量為G，那么該星球的質量為()A.eq\f(2hR2,Gt2) B.eq\f(2hR2,Gt)C.eq\f(2hR,Gt2) D.eq\f(Gt2,2hR2)解析：選A設該星球外表的重力加速度g，小球在星球外表做平拋運動，h＝eq\f(1,2)gt2。設該星球的質量為M，在星球外表有mg＝eq\f(GMm,R2)。由以上兩式得，該星球的質量為M＝eq\f(2hR2,Gt2)，A正確。10．(2022·高密模擬)據(jù)報道，科學家們在距離地球20萬光年外發(fā)現(xiàn)了首顆系外“宜居〞行星。假設該行星質量約為地球質量的6.4倍，半徑約為地球半徑的2倍。那么，一個在地球外表能舉起64kg物體的人在這個行星外表能舉起的物體的質量約為(地球外表重力加速度g＝10m/s2)()A．40kg B.50kgC．60kg D．30kg解析：選A根據(jù)萬有引力等于重力eq\f(GMm,R2)＝mg得g＝eq\f(GM,R2)，因為行星質量約為地球質量的6.4倍，其半徑是地球半徑的2倍，那么行星外表重力加速度是地球外表重力加速度的1.6倍，而人的舉力可認為是不變的，那么人在行星外表所舉起的重物質量為：m＝eq\f(m0,1.6)＝eq\f(64,1.6)kg＝40kg，故A正確。11．(多項選擇)宇航員在地球外表以一定初速度豎直上拋一小球，經(jīng)過時間t小球落回原地。假設他在某星球外表以相同的初速度豎直上拋同一小球，需經(jīng)過時間5t小球落回原處。該星球的半徑與地球半徑之比為R星∶R地＝1∶4，地球外表重力加速度為g，設該星球外表附近的重力加速度為g′，空氣阻力不計。那么()A．g′∶g＝1∶5 B.g′∶g＝5∶2C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80解析：選AD由速度對稱性知豎直上拋的小球在空中運動時間t＝eq\f(2v0,g)，因此得eq\f(g′,g)＝eq\f(t,5t)＝eq\f(1,5)，A正確，B錯誤；由Geq\f(Mm,R2)＝mg得M＝eq\f(gR2,G)，因而eq\f(M星,M地)＝eq\f(g′R星2,gR地2)＝eq\f(1,5)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,4)))2＝eq\f(1,80)，C錯誤，D正確。12．(2022·西安高三檢測)理論上已經(jīng)證明：質量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的萬有引力為零?，F(xiàn)假設地球是一半徑為R、質量分布均勻的實心球體，O為球心，以O為原點建立坐標軸Ox，如下圖。一個質量一定的小物體(假設它能夠在地球內(nèi)部移動)在x軸上各位置受到的引力大小用F表示，那么選項圖所示的四個F隨x的變化關系圖像正確的選項是()解析：選A令地球的密度為ρ，那么在地球外表，重力和地球的萬有引力大小相等，有：g＝eq\f(GM,R2)。由于地球的質量為M＝eq\f(4,3)πR3·ρ，所以重力加速度的表達式可寫成：g＝eq\f(4πGRρ,3)。根據(jù)題意有，質量分布均勻的球殼對殼內(nèi)物體的引力為零，受到地球的萬有引力即為半徑等于r的球體在其外表產(chǎn)生的萬有引力，g′＝eq\f(4πGρ,3)r，當r<R時，g與r成正比；當r>R時，g與r平方成反比。即質量一定的小物體受到的引力大小F在地球內(nèi)部與r成正比，在外部與r的平方成反比。應選A。考點綜合訓練13．一質量為m的物體靜止在北極與赤道對地面的壓力差為ΔN，假設地球是質量分布均勻的球體，半徑為R。那么地球的自轉周期為()A．T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN)) B.T＝2πeq\r(\f(ΔN,mR))C．T＝2πeq\r(\f(mΔN,R)) D．T＝2πeq\r(\f(R,mΔN))解析：選A在北極，物體所受的萬有引力F與支持力N大小相等，在赤道處有F－N＝ΔN＝mReq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2π,T)))2，解得T＝2πeq\r(\f(mR,ΔN))，A正確。14．(多項選擇)(2022·西安模擬)歐洲航天局的第一枚月球探測器——“智能1號〞環(huán)繞月球沿橢圓軌道運動，用m表示它的質量，h表示它近月點的高度，ω表示它在近月點的角速度，a表示它在近月點的加速度，R表示月球的半徑，g表示月球外表處的重力加速度。忽略其他星球對“智能1號〞的影響，那么它在近月點所受月球對它的萬有引力的大小等于()A．ma B．meq\f(R2g,R＋h2)C．m(R＋h)ω2 D．meq\f(R2ω2,R＋h)解析：選AB“智能1號〞在近月點所受月球對它的萬有引力，即為它所受的合力，由牛頓第二定律得F＝ma，A正確；由萬有引力定律得F＝Geq\f(Mm,R＋h2)，又月球外表上，Geq\f(Mm,R2)＝mg，解得F＝meq\f(R2g,R＋h2)，B正確；由于“智能1號〞環(huán)繞月球沿橢圓軌道運動，曲率圓半徑不是R＋h，C、D錯誤。15．(2022·商丘5月三模)地質勘探發(fā)現(xiàn)某地區(qū)外表的重力加速度發(fā)生了較大的變化，疑心地下有空腔區(qū)域。進一步探測發(fā)現(xiàn)在地面P點的正下方有一球形空腔區(qū)域儲藏有天然氣，如下圖。假設該地區(qū)巖石均勻分布且密度為ρ，天然氣的密度遠小于ρ，可忽略不計。如果沒有該空腔，地球外表正常的重力加速度大小為g；由于空腔的存在，現(xiàn)測得P點處的重力加速度大小為kg(k<1)。引力常量為G，球形空腔的球心深度為d，那么此球形空腔的體積是()A.eq\f(kgd,Gρ) B.eq\f(kgd2,Gρ)C.eq\f(1－kgd,Gρ) D.eq\f(1－kgd2,Gρ)解析：選D如果將該球形空腔填滿密度為ρ的巖石，那么該地區(qū)重力加速度便回到正常值，因此，如果將空腔填滿，地面質量為m的物體的重力為mg，沒有填滿時是kmg，故空腔填滿后引起的引力為(1－k)mg；由萬有引力定律，有：(1－k)mg＝Geq\f(ρVm,d2)，解得：V＝eq\f(1－kgd2,Gρ)，D正確。16．(多項選擇)(2022·平度二模)我國志愿者王躍曾與俄羅斯志愿者一起進行“火星500”的實驗活動。假設王躍登陸火星后，測得火星的半徑是地球半徑的eq\f(1,2)，質量是地球質量的eq\f(1,9)。地球外表的重力加速度是g，地球的