2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第4章平面向量、數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入第4節(jié)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入課時(shí)分層訓(xùn)練文北師大版

PAGEPAGE4課時(shí)分層訓(xùn)練(二十六)數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入A組根底達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．(2022·南昌一模)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)(1＋eq\r(3)i)·i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482219】A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限B[復(fù)數(shù)(1＋eq\r(3)i)i＝－eq\r(3)＋i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為(－eq\r(3)，1)，位于第二象限，應(yīng)選B.]2．(2022·全國卷Ⅰ)設(shè)(1＋2i)(a＋i)的實(shí)部與虛部相等，其中a為實(shí)數(shù)，那么a＝()A．－3 B．－2C．2 D．3A[(1＋2i)(a＋i)＝a－2＋(1＋2a)i，由題意知a－2＝1＋2a，解得3．(2022·山東高考)假設(shè)復(fù)數(shù)z＝eq\f(2,1－i)，其中i為虛數(shù)單位，那么eq\o(z,\s\up12(－))＝()A．1＋i B．1－iC．－1＋i D．－1－iB[∵z＝eq\f(2,1－i)＝eq\f(21＋i,1－i1＋i)＝eq\f(21＋i,2)＝1＋i，∴eq\o(z,\s\up12(－))＝1－i.]4．(2022·全國卷Ⅰ)設(shè)(1＋i)x＝1＋yi，其中x，y是實(shí)數(shù)，那么|x＋yi|＝()A．1 B．eq\r(2)C．eq\r(3) D．2B[∵(1＋i)x＝1＋yi，∴x＋xi＝1＋yi.又∵x，y∈R，∴x＝1，y＝x＝1.∴|x＋yi|＝|1＋i|＝eq\r(2)，應(yīng)選B.]5．設(shè)z1，z2是復(fù)數(shù)，那么以下命題中的假命題是()A．假設(shè)|z1－z2|＝0，那么eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)B．假設(shè)z1＝eq\x\to(z2)，那么eq\x\to(z1)＝z2C．假設(shè)|z1|＝|z2|，那么z1·eq\x\to(z1)＝z2·eq\x\to(z2)D．假設(shè)|z1|＝|z2|，那么zeq\o\al(2,1)＝zeq\o\al(2,2)D[對(duì)于A，|z1－z2|＝0?z1＝z2?eq\x\to(z1)＝eq\x\to(z2)，是真命題；對(duì)于B，C易判斷是真命題；對(duì)于D，假設(shè)z1＝2，z2＝1＋eq\r(3)i，那么|z1|＝|z2|，但zeq\o\al(2,1)＝4，zeq\o\al(2,2)＝－2＋2eq\r(3)i，是假命題．]6．假設(shè)i為虛數(shù)單位，圖4-4-3中復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z表示復(fù)數(shù)z，那么表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點(diǎn)是()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482220】圖4-4-3A．E B．FC．G D．HD[由題圖知復(fù)數(shù)z＝3＋i，∴eq\f(z,1＋i)＝eq\f(3＋i,1＋i)＝eq\f(3＋i1－i,1＋i1－i)＝eq\f(4－2i,2)＝2－i.∴表示復(fù)數(shù)eq\f(z,1＋i)的點(diǎn)為H.]7．復(fù)數(shù)z＝1＋eq\f(2i,1－i)，那么1＋z＋z2＋…＋z2019＝()A．1＋i B．1－iC．i D．0D[z＝1＋eq\f(2i,1－i)＝1＋eq\f(2i1＋i,2)＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2019＝eq\f(1×1－z2020,1－z)＝eq\f(1－i2020,1－i)＝eq\f(1－i4×505,1－i)＝0.]二、填空題8．(2022·江蘇高考)復(fù)數(shù)z＝(1＋2i)(3－i)，其中i為虛數(shù)單位，那么z的實(shí)部是________．5[因?yàn)閦＝(1＋2i)(3－i)＝3－i＋6i－2i2＝5＋5i，所以z的實(shí)部是5.]9．a(chǎn)∈R，假設(shè)eq\f(1＋ai,2－i)為實(shí)數(shù)，那么a＝________.－eq\f(1,2)[eq\f(1＋ai,2－i)＝eq\f(1＋ai2＋i,2－i2＋i)＝eq\f(2＋i＋2ai－a,5)＝eq\f(2－a,5)＋eq\f(1＋2a,5)i.∵eq\f(1＋ai,2－i)為實(shí)數(shù)，∴eq\f(1＋2a,5)＝0，∴a＝－eq\f(1,2).]10．復(fù)數(shù)z＝x＋yi，且|z－2|＝eq\r(3)，那么eq\f(y,x)的最大值為________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482221】eq\r(3)[∵|z－2|＝eq\r(x－22＋y2)＝eq\r(3)，∴(x－2)2＋y2＝3.由圖可知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y,x)))max＝eq\f(\r(3),1)＝eq\r(3).]B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．復(fù)數(shù)z1＝－eq\f(1,2)＋eq\f(\r(3),2)i，z2＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i，那么以下命題中錯(cuò)誤的選項(xiàng)是()A．zeq\o\al(2,1)＝z2B．|z1|＝|z2|C．zeq\o\al(3,1)－zeq\o\al(3,2)＝1D．z1，z2互為共軛復(fù)數(shù)C[依題意，注意到zeq\o\al(2,1)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2＝eq\f(1－3,4)－eq\f(\r(3),2)i＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝z2，因此選項(xiàng)A正確；注意到|z1|＝1＝|z2|，因此選項(xiàng)B正確；注意到eq\x\to(z1)＝－eq\f(1,2)－eq\f(\r(3),2)i＝z2，因此選項(xiàng)D正確；注意到zeq\o\al(3,1)＝zeq\o\al(2,1)·z1＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))2·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)－\f(\r(3),2)i))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)＋\f(\r(3),2)i))＝1，同理zeq\o\al(3,2)＝1，因此zeq\o\al(3,1)－zeq\o\al(3,2)＝0，選項(xiàng)C錯(cuò)誤．綜上所述，選C.]2．設(shè)f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n(n∈N*)，那么集合{f(n)}中元素的個(gè)數(shù)為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482222】A．1 B．2C．3 D．無數(shù)個(gè)C[f(n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋i,1－i)))n＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1－i,1＋i)))n＝in＋(－i)n，f(1)＝0，f(2)＝－2，f(3)＝0，f(4)＝2，f(5)＝0，…，∴集合中共有3個(gè)元素．]3．集合M＝{1，m,3＋(m2－5m－6)i}，N＝{－1,3}，假設(shè)M∩N＝{3}，那么實(shí)數(shù)m3或6[∵M(jìn)∩N＝{3}，∴3∈M且－1?M，∴m≠－1,3＋(m2－5m－6)i＝3或m∴m2－5m－6＝0且m≠－1或m解得m＝6或m＝3.]4．復(fù)數(shù)z1＝cos15°＋sin15°i和復(fù)數(shù)z2＝cos45°＋sin45°i，那么z1·z2＝________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482223】eq\f(1,2)＋eq