2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第6章不等式、推理與證明第2節(jié)基本不等式課時(shí)分層訓(xùn)練文北師大版

PAGEPAGE1課時(shí)分層訓(xùn)練(三十二)根本不等式A組根底達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1．x>－1，那么函數(shù)y＝x＋eq\f(1,x＋1)的最小值為()A．－1 B．0C．1 D．2C[由于x>－1，那么x＋1>0，所以y＝x＋eq\f(1,x＋1)＝(x＋1)＋eq\f(1,x＋1)－1≥2eq\r(x＋1·\f(1,x＋1))－1＝1，當(dāng)且僅當(dāng)x＋1＝eq\f(1,x＋1)，由于x>－1，即當(dāng)x＝0時(shí)，上式取等號(hào)．]2．設(shè)非零實(shí)數(shù)a，b，那么“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2”成立的()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482282】A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件B[因?yàn)閍，b∈R時(shí)，都有a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，即a2＋b2≥2ab，而eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2?ab>0，所以“a2＋b2≥2ab〞是“eq\f(a,b)＋eq\f(b,a)≥2”的必要不充分條件．]3．(2022·吉林東北師大附中等校聯(lián)考)函數(shù)f(x)＝ax－1－2(a>0，且a≠1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，假設(shè)點(diǎn)A在直線mx－ny－1＝0上，其中m>0，n>0，那么eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)的最小值為()【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482283】A．4 B．5C．6 D．3＋2eq\r(2)D[由題意知A(1，－1)，因?yàn)辄c(diǎn)A在直線mx－ny－1＝0上，所以m＋n＝1，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,m)＋\f(2,n)))(m＋n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)，因?yàn)閙>0，n>0，所以eq\f(1,m)＋eq\f(2,n)＝3＋eq\f(n,m)＋eq\f(2m,n)≥3＋2eq\r(\f(n,m)·\f(2m,n))＝3＋2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(n,m)＝eq\f(2m,n)時(shí)，取等號(hào)，應(yīng)選D.]4．(2022·安徽安慶二模)a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)，那么eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)的最小值為()A．4 B．2eq\r(2)C．8 D．16B[由a>0，b>0，a＋b＝eq\f(1,a)＋eq\f(1,b)＝eq\f(a＋b,ab)，得ab＝1，那么eq\f(1,a)＋eq\f(2,b)≥2eq\r(\f(1,a)·\f(2,b))＝2eq\r(2).當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,a)＝eq\f(2,b)，即a＝eq\f(\r(2),2)，b＝eq\r(2)時(shí)等號(hào)成立．應(yīng)選B.]5．(2022·鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校月考)假設(shè)a>b>1，P＝eq\r(lga·lgb)，Q＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)，R＝lgeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a＋b,2)))，那么()A．R<P<Q B．Q<P<RC．P<Q<R D．P<R<QC[∵a>b>1，∴l(xiāng)ga>lgb>0，eq\f(1,2)(lga＋lgb)>eq\r(lga·lgb)，即Q>P.∵eq\f(a＋b,2)>eq\r(ab)，∴l(xiāng)geq\f(a＋b,2)>lgeq\r(ab)＝eq\f(1,2)(lga＋lgb)＝Q，即R>Q，∴P<Q<R.]二、填空題6．(2022·湖北華師一附中3月聯(lián)考)假設(shè)2x＋4y＝4，那么x＋2y的最大值是__________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482284】2[因?yàn)?＝2x＋4y＝2x＋22y≥2eq\r(2x×22y)＝2eq\r(2x＋2y)，所以2x＋2y≤4＝22，即x＋2y≤2，當(dāng)且僅當(dāng)2x＝22y＝2，即x＝2y＝1時(shí)，x＋2y取得最大值2.]7．函數(shù)f(x)＝x＋eq\f(p,x－1)(p為常數(shù)，且p>0)，假設(shè)f(x)在(1，＋∞)上的最小值為4，那么實(shí)數(shù)p的值為_(kāi)_________．eq\f(9,4)[由題意得x－1>0，f(x)＝x－1＋eq\f(p,x－1)＋1≥2eq\r(p)＋1，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(p)＋1時(shí)取等號(hào)，所以2eq\r(p)＋1＝4，解得p＝eq\f(9,4).]8．某公司一年購(gòu)置某種貨物400噸，每次都購(gòu)置x噸，運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最小，那么x＝__________噸．20[每次都購(gòu)置x噸，那么需要購(gòu)置eq\f(400,x)次．∵運(yùn)費(fèi)為4萬(wàn)元/次，一年的總存儲(chǔ)費(fèi)用為4x萬(wàn)元，∴一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和為4×eq\f(400,x)＋4x萬(wàn)元．∵4×eq\f(400,x)＋4x≥160，當(dāng)且僅當(dāng)4x＝eq\f(4×400,x)時(shí)取等號(hào)，∴x＝20噸時(shí)，一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲(chǔ)費(fèi)用之和最?。甝三、解答題9．(1)當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，求函數(shù)y＝x＋eq\f(8,2x－3)的最大值；(2)設(shè)0<x<2，求函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值．[解](1)y＝eq\f(1,2)(2x－3)＋eq\f(8,2x－3)＋eq\f(3,2)＝－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3－2x,2)＋\f(8,3－2x)))＋eq\f(3,2).2分當(dāng)x<eq\f(3,2)時(shí)，有3－2x>0，∴eq\f(3－2x,2)＋eq\f(8,3－2x)≥2eq\r(\f(3－2x,2)·\f(8,3－2x))＝4，4分當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(3－2x,2)＝eq\f(8,3－2x)，即x＝－eq\f(1,2)時(shí)取等號(hào)．于是y≤－4＋eq\f(3,2)＝－eq\f(5,2)，故函數(shù)的最大值為－eq\f(5,2).6分(2)∵0<x<2，∴2－x>0，∴y＝eq\r(x4－2x)＝eq\r(2)·eq\r(x2－x)≤eq\r(2)·eq\f(x＋2－x,2)＝eq\r(2)，8分當(dāng)且僅當(dāng)x＝2－x，即x＝1時(shí)取等號(hào)，∴當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y＝eq\r(x4－2x)的最大值為eq\r(2).12分10．x>0，y>0，且2x＋8y－xy＝0，求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482285】[解](1)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，2分又x>0，y>0，那么1＝eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)≥2eq\r(\f(8,x)·\f(2,y))＝eq\f(8,\r(xy))，得xy≥64，當(dāng)且僅當(dāng)x＝16，y＝4時(shí)，等號(hào)成立．所以xy的最小值為64.5分(2)由2x＋8y－xy＝0，得eq\f(8,x)＋eq\f(2,y)＝1，那么x＋y＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(8,x)＋\f(2,y)))·(x＋y)＝10＋eq\f(2x,y)＋eq\f(8y,x)≥10＋2eq\r(\f(2x,y)·\f(8y,x))＝18.8分當(dāng)且僅當(dāng)x＝12且y＝6時(shí)等號(hào)成立，∴x＋y的最小值為18.12分B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．要制作一個(gè)容積為4m3，高為1mA．80元 B．120元C．160元 D．240元C[由題意知，體積V＝4m3，高h(yuǎn)＝1m所以底面積S＝4m2，設(shè)底面矩形的一條邊長(zhǎng)是xm，那么另一條邊長(zhǎng)是eq\f(4,x)m．又設(shè)總造價(jià)是y元，那么y＝20×4＋10×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2x＋\f(8,x)))≥80＋20eq\r(2x·\f(8,x))＝160.當(dāng)且僅當(dāng)2x＝eq\f(8,x)，即x＝2時(shí)取得等號(hào)．]2．(2022·山東高考)定義運(yùn)算“?〞：x?y＝eq\f(x2－y2,xy)(x，y∈R，xy≠0)．當(dāng)x>0，y>0時(shí)，x?y＋(2y)?x的最小值為_(kāi)_______．eq\r(2)[因?yàn)閤y＝eq\f(x2－y2,xy)，所以(2y)x＝eq\f(4y2－x2,2xy).又x>0，y>0.故xy＋(2y)x＝eq\f(x2－y2,xy)＋eq\f(4y2－x2,2xy)＝eq\f(x2＋2y2,2xy)≥eq\f(2\r(2)xy,2xy)＝eq\r(2)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝eq\r(2)y時(shí)，等號(hào)成立．]3．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查，某旅游城市在過(guò)去的一個(gè)月內(nèi)(以30天計(jì))，第t天(1≤t≤30，t∈N*)的旅游人數(shù)f(t)(萬(wàn)人)近似地滿足f(t)＝4＋eq\f(1,t)，而人均消費(fèi)g(t)(元)近似地滿足g(t)＝120－|t－20|.(1)求該城市的旅游日收益W(t)(萬(wàn)元)與時(shí)間t(1≤t≤30，t∈N*)的函數(shù)關(guān)系式；(2)求該城市旅游日收益的最小值.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482286】[解](1)W(t)＝f(t)g(t)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(4＋\f(1,t)))(120－|t－20|)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(401＋4t＋\f(100,t)，1≤t≤20，,559＋\f(140,t