備戰(zhàn)2020年高考物理計(jì)算題專題復(fù)習(xí)：《萬有引力定律》(解析版)

第=page11頁，共=sectionpages11頁第=page22頁，共=sectionpages22頁《萬有引力定律》一、計(jì)算題2019年1月3日，嫦娥四號(hào)探測(cè)器成功著陸在月球背面，并通過“鵲橋”中繼衛(wèi)星傳回了第一張近距離拍攝月球背面的圖片。此次任務(wù)實(shí)現(xiàn)了人類探測(cè)器首次在月球背面軟著陸、首次在月球背面通過中繼衛(wèi)星與地球通訊，因而開啟了人類探索月球的新篇章。

探測(cè)器在月球背面著陸的難度要比在月球正面著陸大很多。其主要原因在于：由于月球的遮擋，著陸前探測(cè)器將無法和地球之間實(shí)現(xiàn)通訊。2018年5月，我國發(fā)射了一顆名為“鵲橋”的中繼衛(wèi)星，在地球和月球背面的探測(cè)器之間搭了一個(gè)“橋”，從而有效地解決了通訊問題。為了實(shí)現(xiàn)通訊和節(jié)約能量，“鵲橋”的理想位置就是圍繞“地—月”系統(tǒng)的一個(gè)拉格朗日點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，如圖1所示。所謂“地—月”拉格朗日點(diǎn)是指空間中的某個(gè)點(diǎn)，在該點(diǎn)放置一個(gè)質(zhì)量很小的天體，該天體僅在地球和月球的萬有引力作用下保持與地球和月球的相對(duì)位置不變。

(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，月球質(zhì)量為m，地球中心和月球中心間的距離為L(zhǎng)，月球繞地心運(yùn)動(dòng)，圖1中所示的拉格朗日點(diǎn)到月球球心的距離為r。推導(dǎo)并寫出r與M、m和L之間的關(guān)系式。(2)地球和太陽組成的“日—地”系統(tǒng)同樣存在拉格朗日點(diǎn)，圖2為“日—地”系統(tǒng)示意圖，請(qǐng)?jiān)趫D中太陽和地球所在直線上用符號(hào)“·”標(biāo)記出幾個(gè)可能拉格朗日點(diǎn)的大概位置。

利用萬有引力定律可以測(cè)量天體的質(zhì)量．

(1)測(cè)地球的質(zhì)量

英國物理學(xué)家卡文迪許，在實(shí)驗(yàn)室里巧妙地利用扭秤裝置，比較精確地測(cè)量出了引力常量的數(shù)值，他把自己的實(shí)驗(yàn)說成是“稱量地球的質(zhì)量”．

已知地球表面重力加速度為g，地球半徑為R，引力常量為G.若忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，求地球的質(zhì)量．

(2)測(cè)“雙星系統(tǒng)”的總質(zhì)量

所謂“雙星系統(tǒng)”，是指在相互間引力的作用下，繞連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的兩個(gè)星球A和B，如圖所示．已知A、B間距離為L(zhǎng)，A、B繞O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的周期均為T，引力常量為G，求A、B的總質(zhì)量．

(3)測(cè)月球的質(zhì)量

若忽略其它星球的影響，可以將月球和地球看成“雙星系統(tǒng)”.已知月球的公轉(zhuǎn)周期為T1，月球、地球球心間的距離為L(zhǎng)1.你還可以利用(1)、(2)中提供的信息，求月球的質(zhì)量．

如圖所示是“月亮女神”、“嫦娥1號(hào)”繞月做圓周運(yùn)行時(shí)某時(shí)刻的圖片，用R1、R2、T1、T2、分別表示“月亮女神”和“嫦娥1號(hào)”的軌道半徑及周期，用R(1)請(qǐng)用萬有引力知識(shí)證明：它們遵循R13T12=R(3)請(qǐng)用所給“嫦娥1號(hào)”的已知量．估測(cè)月球的平均密度．

2014年10月8日，月全食帶來的“紅月亮”亮相天空，引起人們對(duì)月球的關(guān)注。我國發(fā)射的“嫦娥三號(hào)”探月衛(wèi)星在環(huán)月圓軌道繞行n圈所用時(shí)間為t，如圖所示。已知月球半徑為R，月球表面處重力加速度為g月，引力常量為G.試求：

(1)月球的質(zhì)量M；

(2)月球的第一宇宙速度v1；

(3)“嫦娥三號(hào)”衛(wèi)星離月球表面高度h。

由三顆星體構(gòu)成的系統(tǒng)，忽略其他星體對(duì)它們的作用，存在著一種運(yùn)動(dòng)形式：三顆星體在相互之間的萬有引力作用下，分別位于等邊三角形的三個(gè)頂點(diǎn)上，繞某一共同的圓心O在三角形所在的平面內(nèi)做相同角速度的圓周運(yùn)動(dòng)(圖示為A、B、C三顆星體質(zhì)量不相同時(shí)的一般情況)。若A星體質(zhì)量為2m，B、C兩星體的質(zhì)量均為m，三角形的邊長(zhǎng)為a，求：

(1)A星體所受合力大小FA(2)B星體所受合力大小FB(3)C星體的軌道半徑RC(4)三星體做圓周運(yùn)動(dòng)的周期T。

某行星質(zhì)量為M，半徑為R，自轉(zhuǎn)對(duì)地面物體重力的影響不可忽略，兩與赤道面共面的衛(wèi)星A、B在距地面高分別為h1=2R和h2=4R圓形軌道做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其繞行方向相同，其中B衛(wèi)星是同步衛(wèi)星，一質(zhì)量為m的人站在赤道地面上的C點(diǎn)觀察兩衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)，萬有引力常數(shù)為G，求：

(1)地面對(duì)人的支持力N；

(2)人觀察到A衛(wèi)星相鄰兩次經(jīng)過頭頂?shù)臅r(shí)間間隔t。

在發(fā)射地球同步衛(wèi)星，可先將衛(wèi)星發(fā)射至距地面一定高度的圓形近地軌道上，在衛(wèi)星經(jīng)過A點(diǎn)時(shí)點(diǎn)火(噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)工作)實(shí)施變軌進(jìn)入橢圓軌道，橢圓軌道的近地點(diǎn)為A，遠(yuǎn)地點(diǎn)為B；在衛(wèi)星沿橢圓軌道運(yùn)動(dòng)經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)再次點(diǎn)火實(shí)施變軌，將衛(wèi)星送入同步軌道(遠(yuǎn)地點(diǎn)B在同步軌道上)，如圖所示。兩次點(diǎn)火過程都是使衛(wèi)星沿切向方向加速，并且點(diǎn)火時(shí)間很短。已知同步衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)周期為T，地球的半徑為R，地球表面重力加速度為g。

(1)求同步軌道距地面的高度h1。

(2)若同步衛(wèi)星距地面的高度h1已知，衛(wèi)星在橢圓軌道上從A點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)所用的時(shí)間為t，求A點(diǎn)到地面的高度h2。

火星(如圖所示)是太陽系中與地球最為類似的行星，人類對(duì)火星生命的研究在今年因“火星表面存在流動(dòng)的液態(tài)水”的發(fā)現(xiàn)而取得了重要進(jìn)展．若火星可視為均勻球體，火星表面的重力加速度為g火星半徑為R，火星自轉(zhuǎn)周期為T，萬有引力常量為G.求：

(1)火星的平均密度ρ．

(2)火星的同步衛(wèi)星距火星表面的高度h．

空間站是一種在近地軌道長(zhǎng)時(shí)間運(yùn)行，可供多名航天員巡訪、長(zhǎng)期工作和生活的載人航天器。如圖所示，某空間站在軌道半徑為R的近地圓軌道Ⅰ上繞地球運(yùn)行，一宇宙飛船與空間站對(duì)接檢修后再與空間站分離，分離后空間站仍在軌道Ⅰ上圍繞地球運(yùn)行，分離時(shí)宇宙飛船依靠自身動(dòng)力裝置在很短的距離內(nèi)加速，進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ上運(yùn)行。已知橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)到地心的距離為3.5R，地球質(zhì)量為M，引力常量為G。則分離后飛船在橢圓軌道上至少運(yùn)行多長(zhǎng)時(shí)間才有機(jī)會(huì)與空間站第二次對(duì)接?

由于通訊和導(dǎo)航等方面的需要，許多國家發(fā)射了地球同步軌道衛(wèi)星，我國的“北斗衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)”中也有同步衛(wèi)星的存在。若在同步軌道上等間距分布三顆衛(wèi)星就可實(shí)現(xiàn)全球大部分地區(qū)通訊，但無論同步衛(wèi)星數(shù)目增到多少，地球兩級(jí)附近總有一部分面積覆蓋不到。已知地球自轉(zhuǎn)周期為T，半徑為R，表面重力加速度為g。(球冠的表面積公式為S=2πRh，R為球體半徑，h為球冠高度，如圖所示)。求：

(1)同步衛(wèi)星的軌道半徑r；

(2)地球不能夠被覆蓋的總面積。(計(jì)算涉及到同步衛(wèi)星軌道半徑時(shí)，可直接用r表示)

2003年10月15日，我國宇航員楊利偉乘坐我國自行研制的“神舟”五號(hào)飛船在酒泉衛(wèi)星發(fā)射中心成功升空，這標(biāo)志著我國已成為世界上第三個(gè)載人飛船上天的國家?！吧裰邸蔽逄?hào)飛船是由長(zhǎng)征—2F運(yùn)載火箭將其送入近地點(diǎn)為A、遠(yuǎn)地點(diǎn)為B的橢圓軌道上，實(shí)施變軌后，進(jìn)入預(yù)定圓軌道，如圖所示。已知近地點(diǎn)A距地面高度為h，飛船在預(yù)定圓軌道上飛行n圈所用時(shí)間為t，地球表面的重力加速度為g，地球半徑為R，求：

(1)飛船在近地點(diǎn)A的加速度為多少？

(2)飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的速度為多少？

人民網(wǎng)北京7月6日電據(jù)中國航天科技集團(tuán)公司官網(wǎng)消息，6月19日，長(zhǎng)征三號(hào)乙遙二十八火箭發(fā)射中星9A衛(wèi)星過程中運(yùn)載火箭出現(xiàn)異常，未能將衛(wèi)星送入預(yù)定軌道。中航科技集團(tuán)公司在西安衛(wèi)星測(cè)控中心的密切配合下，通過準(zhǔn)確實(shí)施10次軌道調(diào)整，衛(wèi)星于7月5日成功定點(diǎn)于東經(jīng)101.4°赤道上空的預(yù)定軌道。目前，衛(wèi)星各系統(tǒng)工作正常，轉(zhuǎn)發(fā)器已開通，后續(xù)將按計(jì)劃開展在軌測(cè)試工作。

如圖所示，衛(wèi)星圓軌道Ⅰ通過橢圓軌道Ⅱ調(diào)整至圓軌道Ⅲ，P點(diǎn)是圓軌道Ⅰ和橢圓軌道Ⅱ的切點(diǎn)，Q點(diǎn)橢圓軌道Ⅱ調(diào)和圓軌道Ⅲ的切點(diǎn)。已知中星9A衛(wèi)星的質(zhì)量為m=700kg，地球質(zhì)量為M=5.98×1024kg，地球表面重力加速度g=9.80m/s2，地球半徑為R0=6400km，圓軌道Ⅰ的軌道半徑為1.5R0，圓軌道Ⅲ的軌道半徑為2.5R0求：(1)衛(wèi)星在圓軌道I、Ⅲ上運(yùn)行的速度v1、v(2)將衛(wèi)星從圓軌道I送到圓軌道Ⅲ，至少要對(duì)衛(wèi)星做多少功？(3)以距離地球無限遠(yuǎn)處為勢(shì)能零點(diǎn)，質(zhì)量為m衛(wèi)星距離地心為R時(shí)，其引力勢(shì)能為?GMmR，且衛(wèi)星在P點(diǎn)和Q點(diǎn)時(shí)，v2×1.5R0=v3×2.5R0(1)如圖所示，曲線Ⅰ是一顆繞地球做圓周運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星軌道的示意圖，其半徑為R；曲線Ⅱ是一顆繞地球做橢圓運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星軌道的示意圖，O點(diǎn)為地球球心，AB為橢圓的長(zhǎng)軸，兩軌道和地心都在同一平面內(nèi)，已知在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，引力常量為G，地球質(zhì)量為M，下列說法正確的是(

)

A.橢圓軌道的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2R

B.衛(wèi)星在Ⅰ軌道的速度為v0,衛(wèi)星在Ⅱ軌道B點(diǎn)的速率為vB，則v0>vB

C.衛(wèi)星在Ⅰ軌道的加速度大小為a0，衛(wèi)星在Ⅱ軌道A點(diǎn)加速度大小為aA，則a0<aE.若OA=0.5R，則衛(wèi)星在A點(diǎn)的速率v(2)某儀器在地面上受到的重力為160N，將它置于宇宙飛船中，當(dāng)宇宙飛船以a=0.5g的加速度豎直上升到某高度時(shí)儀器所受的支持力為90N，取地球表面處重力加速度g=10m/s2，地球半徑R=6400km求：

1)此處的重力加速度的大小g；

2)此處離地面的高度H；

3)在此高度處運(yùn)行的衛(wèi)星速度v．

我國正在進(jìn)行的探月工程是高新技術(shù)領(lǐng)域的一次重大科技活動(dòng)，在探月工程中飛行器成功變軌至關(guān)重要。如圖所示，假設(shè)月球半徑為R，月球表面的重力加速度為g?0，飛行器在距月球表面高度為3R的圓形軌道Ⅰ上運(yùn)動(dòng)，到達(dá)軌道的A點(diǎn)點(diǎn)火變軌進(jìn)入橢圓軌道Ⅱ，到達(dá)軌道的近月點(diǎn)B再次點(diǎn)火進(jìn)入近月軌道Ⅲ繞月球做圓周運(yùn)動(dòng)

(1)飛行器在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運(yùn)行的周期大小關(guān)系如何？最大周期為多少？(2)飛行器在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運(yùn)行的機(jī)械能大小關(guān)系如何？(3)飛行器在軌道Ⅰ、Ⅲ上運(yùn)行的速度大小關(guān)系如何？

假定月球繞地球作圓周運(yùn)動(dòng)，地球繞太陽也作圓周運(yùn)動(dòng)，且軌道都在同一平面內(nèi)．己知地球表面處的重力加速度g?=?9.80m/s2，地球半徑R0=6.37×106m，月球質(zhì)量m=7.3×(?i?)月球的球心繞地球的球心運(yùn)動(dòng)一周需多少天？(?ii?)地球上的觀察者相繼兩次看到滿月需多少天？(?iii?)若忽略月球繞地球的運(yùn)動(dòng)，設(shè)想從地球表面發(fā)射一枚火箭直接射向月球，試估算火箭到達(dá)月球表面時(shí)的速度至少為多少(結(jié)果要求兩位數(shù)字)?

據(jù)新華社報(bào)道，為了在本世紀(jì)初葉將我國的航天員送上太空，2002年3月25日22時(shí)15分，我國成功地發(fā)射了一艘無人試驗(yàn)飛船。在完成預(yù)定任務(wù)后，飛船于4月1日16時(shí)51分安全著陸，共繞地球飛行108圈。(1)飛船的名稱是什么？(2)飛船在運(yùn)行期間，按照地面指揮控制中心的指令成功地實(shí)施了數(shù)百個(gè)動(dòng)作，包括從橢圓軌道變換成圓軌道等．假如把飛船從發(fā)射到著陸的整個(gè)過程中的運(yùn)動(dòng)都當(dāng)作圓周運(yùn)動(dòng)處理，試粗略估計(jì)飛船離地面的平均高度．已知地球半徑R=6.37×106?m，地球表面處的重力加速度g=9.80m·s?2

如圖所示，兩顆人造衛(wèi)星M和N圍繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星N的質(zhì)量是衛(wèi)星M的質(zhì)量的2倍，觀測(cè)到衛(wèi)星M的周期是衛(wèi)星N的周期的8倍，求：(1)衛(wèi)星M與衛(wèi)星N的軌道半徑之比。(2)衛(wèi)星M與衛(wèi)星N的動(dòng)能之比。(3)衛(wèi)星M與衛(wèi)星N的向心力之比。

天文學(xué)家在冥王星以外的遙遠(yuǎn)空間發(fā)現(xiàn)了一個(gè)新的天體，又一次界定了太陽系邊沿．而這顆新天體的存在，或能證明在冥王星外還存在一個(gè)更大的行星Planet?X，這顆行星甚至比地球還大．假設(shè)球狀行星Planet?X的確存在，設(shè)想發(fā)射一顆該行星的衛(wèi)星來估測(cè)它的平均密度，已知行星的半徑為R，萬有引力常量為G。(1)若衛(wèi)星貼近行星Planet?X表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T0(2)若衛(wèi)星距行星Planet?X表面的高度為h，測(cè)得衛(wèi)星在該處做圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T，求該行星的平均密度。

閱讀如下資料，并根據(jù)資料中有關(guān)信息回答問題．(1)以下是地球和太陽的有關(guān)數(shù)據(jù)：平均半徑R地R日質(zhì)量M地M日平均密度ρ地ρ日自轉(zhuǎn)周期1天赤道附近26天，兩極附近大于30天(2)已知物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度為v=7.9?km/s，萬有引力常量G=6.67×10?11m(3)大約200年前法國數(shù)學(xué)家兼天文學(xué)家拉普拉斯曾預(yù)言一個(gè)密度如地球，直徑為太陽250倍的發(fā)光星體由于其引力作用將不允許任何光線離開它，其逃逸速度大于真空中的光速(逃逸速度為第一宇宙速度的2倍)，這一奇怪的星體就叫作黑洞．在下列問題中，把星體(包括黑洞)看作是一個(gè)質(zhì)量分布均勻的球體．(①②的計(jì)算結(jié)果用科學(xué)計(jì)數(shù)法表達(dá)，且保留一位有效數(shù)字；③的推導(dǎo)結(jié)論用字母表達(dá))①試估算地球的質(zhì)量；②試估算太陽表面的重力加速度；③已知某星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的質(zhì)量為M，求該星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑R．

從玉兔登月到對(duì)月球背面探測(cè)。近幾年我國探月工程取得很大的突破，假設(shè)質(zhì)量為m的玉兔號(hào)探測(cè)器進(jìn)入繞月球飛行的軌道，先在半徑為R的圓形軌道Ⅰ上繞月球飛行，運(yùn)行速度大小為υ1.為了進(jìn)一步探測(cè)月球表面的情況，當(dāng)探測(cè)器運(yùn)行到A點(diǎn)時(shí)發(fā)動(dòng)機(jī)向前噴出質(zhì)量為△m的氣體，探測(cè)器速度大小減為υ2，進(jìn)入一個(gè)橢圓軌道Ⅱ，運(yùn)行到B點(diǎn)時(shí)再一次改變速度，然后進(jìn)入離月球更近的半徑為r的圓軌道Ⅲ，如圖所示．設(shè)探測(cè)器僅受到月球的萬有引力，探測(cè)器在A點(diǎn)噴出的氣體速度大小為u.求：(1)探測(cè)器在軌道Ⅲ上的運(yùn)行速率υ3(2)探測(cè)器在A點(diǎn)噴出的氣體質(zhì)量△m．

開普勒1609年一1619年發(fā)表了著名的開普勒行星運(yùn)行三定律，其中第三定律的內(nèi)容是：所有行星的橢圓軌道的半長(zhǎng)軸的三次方跟公轉(zhuǎn)周期的平方的比值都相等。萬有引力定律是科學(xué)史上最偉大的定律之一，它于1687年發(fā)表在牛頓的《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理中》。

(1)請(qǐng)從開普勒行星運(yùn)動(dòng)定律等推導(dǎo)萬有引力定律(設(shè)行星繞太陽的運(yùn)動(dòng)可視為勻速圓周運(yùn)動(dòng))；

(2)萬有引力定律的正確性可以通過“月?地檢驗(yàn)”來證明：

如果重力與星體間的引力是同種性質(zhì)的力，都與距離的二次方成反比關(guān)系，那么，由于月心到地心的距離是地球半徑的60倍；月球繞地球做近似圓周運(yùn)動(dòng)的向心加速度就應(yīng)該是重力加速度的13600。

試根據(jù)上述思路并通過計(jì)算證明：重力和星體間的引力是同一性質(zhì)的力(已知地球半徑為6.4×106m，月球繞地球運(yùn)動(dòng)的周期為28天，地球表面的重力加速度為9.8m/s2)。

中國空間站將于2022年建成，我國科研人員在模擬空間站運(yùn)行時(shí)發(fā)現(xiàn)，質(zhì)量為m0的空間站由于受到微弱阻力的作用而沿螺旋軌道向地球運(yùn)行，因阻力極微小，可認(rèn)為在一圈內(nèi)空間站作勻速圓周運(yùn)動(dòng)。若開始時(shí)其軌道半徑為R，經(jīng)過較長(zhǎng)時(shí)間T后其軌道半徑減小了h(h遠(yuǎn)小于R)。如果規(guī)定物體在離地球無窮遠(yuǎn)處勢(shì)能為零，則質(zhì)量為m的物體離地心距離為r時(shí)，具有的萬有引力勢(shì)能可表示為Ep=?GMmr，(1)求空間站在半徑為R的軌道上運(yùn)行時(shí)的機(jī)械能E；(2)估算空間站受到的微弱阻力F的大小。

2010年10月我國“嫦娥二號(hào)”探月衛(wèi)星成功發(fā)射．“嫦娥二號(hào)”衛(wèi)星開始繞地球做橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過若干次變軌、制動(dòng)后，最終使它繞月球在一個(gè)圓軌道上運(yùn)行．設(shè)“嫦娥二號(hào)”距月球表面的高度為h，繞月圓周運(yùn)動(dòng)的周期為T.已知月球半徑為R，引力常量為G．

(1)求月球的質(zhì)量M；

(2)求月球的密度ρ；

(3)若地球質(zhì)量為月球質(zhì)量的k倍，地球半徑為月球半徑的n倍，求地球與月球的第一宇宙速度之比v1：v2．

如圖，地球赤道上有一通訊站A，赤道上空有一顆圓軌道通訊衛(wèi)星B，運(yùn)行方向與地球自轉(zhuǎn)方向相同。已知地球半徑為R，表面重力加速度為g，自傳周期為T0，衛(wèi)星B運(yùn)行周期為T，T小于T0。

(1)求衛(wèi)星B的離地高度。

(2)求衛(wèi)星B連續(xù)兩次到達(dá)A站正上空的時(shí)間間隔。

2016年1月5日上午，國防科工局正式發(fā)布國際天文學(xué)聯(lián)合會(huì)批準(zhǔn)的嫦娥三號(hào)探測(cè)器著陸點(diǎn)周邊區(qū)域命名為“廣寒宮”，附近三個(gè)撞擊坑分別命名為“紫微”、“天市”、“太微”.此次成功命名，是以中國元素命名的月球地理實(shí)體達(dá)到22個(gè)．己知地球半徑為R，表面重力加速度為g，質(zhì)量為m的嫦娥三號(hào)衛(wèi)星在地球上空的萬有引力勢(shì)能為Ep=?mgR2(1)質(zhì)量為m的嫦娥三號(hào)衛(wèi)星以速率v在某一圓軌道上繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，求此時(shí)衛(wèi)星距地球地面高度h1(2)要使嫦娥三號(hào)衛(wèi)星上升，從離地高度h1(此問可以認(rèn)為h1為已知量)再增加h的軌道上做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，衛(wèi)星發(fā)動(dòng)機(jī)至少要做的功W為多少？

答案和解析1.【答案】解：(1)設(shè)圖中拉格朗日點(diǎn)有質(zhì)量為的物體

則對(duì)物體：對(duì)月球m：GMmL2=mω2L

聯(lián)立可得：mr2+ML+r2=ML【解析】(1)設(shè)在圖中的拉格朗日點(diǎn)有一質(zhì)量為m?的物體(m??m)則月球?qū)ζ涞娜f有引力，地球?qū)ζ涞娜f有引力F2為，質(zhì)量為m?的物體以地球?yàn)橹行淖鰣A周運(yùn)動(dòng)，向心力由F1和F2的合力提供，得到r與M、m和L之間的關(guān)系式；

(2)對(duì)于“日?地”系統(tǒng)，在太陽和地球連線上共有3個(gè)可能的拉格朗日點(diǎn)，得到大概位置。

本題考查環(huán)繞天體運(yùn)動(dòng)參量的分析與計(jì)算。難度較大。

2.【答案】解：(1)設(shè)地球的質(zhì)量為M，地球表面某物體質(zhì)量為m，忽略地球自轉(zhuǎn)的影響，則有GMmR2=mg

解得：M=gR2G

(2)設(shè)A的質(zhì)量為M1，A到O的距離為r1，設(shè)B的質(zhì)量為M2，B到O的距離為r2，

根據(jù)萬有引力提供向心力公式得：

GM1M2L2=M1(2πT)2r1，

GM1M2L2=M2(2πT)【解析】(1)根據(jù)地球表面的物體受到的重力等于萬有引力GMmR2=mg，可解得地球的質(zhì)量M；

(2)雙星問題，它們之間的萬有引力提供向心力，它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離．代入公式即可解答；

(3)根據(jù)地(2)問的結(jié)論求出地球和月球的總質(zhì)量，再減去(1)中求出的地球質(zhì)量即為月球質(zhì)量．

本題要掌握兩個(gè)關(guān)系：星球表面的物體受到的重力等于萬有引力；環(huán)繞天體繞中心天體做圓周運(yùn)動(dòng)所需要的向心力由萬有引力提供．這兩個(gè)關(guān)系可以解決天體運(yùn)動(dòng)的一切問題，雙星問題，要注意的是它們兩顆星的軌道半徑的和等于它們之間的距離，不能把它們的距離當(dāng)成軌道半徑．

3.【答案】解：

(1)環(huán)繞天體繞月球圓周運(yùn)動(dòng)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力有：

GMmR12=mR14π2T12…①，GmMR22=mR24π2T22…②，由【解析】(1)繞月球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，據(jù)此求得半徑的三次方與周期的二次方的比值，從而得出結(jié)論；

(2)某時(shí)刻兩衛(wèi)星正好同時(shí)通過地面上同一點(diǎn)的正上方，當(dāng)兩顆衛(wèi)星轉(zhuǎn)動(dòng)角度相差π時(shí)，相距最遠(yuǎn)；

(3)根據(jù)萬有引力提供圓周運(yùn)動(dòng)向心力求得中心天體月球的質(zhì)量，再根據(jù)密度公式求得月球的密度。

環(huán)繞天體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力由萬有引力提供，據(jù)此根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)的半徑和周期可以求得中心天體的質(zhì)量，掌握萬有引力公式和球的體積公式是解題的關(guān)鍵。

4.【答案】解：(1)月球表面處引力等于重力，GMmR2=mg月

得M=g月R2G

(2)第一宇宙速度為近月衛(wèi)星運(yùn)行速度，由萬有引力提供向心力

得GMmR2=mv12R

所以月球第一宇宙速度v1=GMR=g月R

(3)衛(wèi)星做圓周運(yùn)動(dòng)，由萬有引力提供向心力

得【解析】在月球表面的物體受到的重力等于萬有引力GMmR2=mg月，化簡(jiǎn)可得月球的質(zhì)量。

根據(jù)萬有引力提供向心力GMmR2=mv12R，可計(jì)算出近月衛(wèi)星的速度，即月球的第一宇宙速度。

根據(jù)萬有引力提供向心力GMmr2=m4π2T2r，結(jié)合周期和軌道半徑的關(guān)系，可計(jì)算出衛(wèi)星的高度。

本題要掌握萬有引力提供向心力和重力等于萬有引力這兩個(gè)重要的關(guān)系，要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式。

5.【答案】解：(1)由萬有引力定律，A星體所受B、C星體引力大小為

FBA=GmAmBr2=G2m2a2=FCA，

方向如圖則合力大小為FA=23Gm2a2

(2)同上，B星體所受A、C星體引力大小分別為

FAB=GmAmBr2=G2m2a2

F【解析】【分析】該題借助于三星模型考查萬有引力定律，其中B與C的質(zhì)量相等，則運(yùn)行的規(guī)律、運(yùn)動(dòng)的半徑是相等的。畫出它們的受力的圖象，在結(jié)合圖象和萬有引力定律即可正確解答。

由萬有引力定律，A星受到B、C的引力的合力充當(dāng)A星體圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，分別求出單個(gè)力，然后求出合力；

同理可求出B星所受合力；

根據(jù)幾何關(guān)系求出C的軌道半徑；

三星體的運(yùn)動(dòng)周期相同，根據(jù)合力提供向心力，求出周期。

6.【答案】解：(1)地面上的人受萬有引力和支持力，其全力提供自轉(zhuǎn)向心力，即GMmR2?N=m(2πT2)2R

對(duì)于同步衛(wèi)星有：GMm(R+h2)2=m(2πT2)2(R+h2)

T2=2π125R3GM

代入得N=GMmR【解析】(1)不能忽略地球自轉(zhuǎn)，物體的自轉(zhuǎn)向心力為萬有引力的一個(gè)分力，萬有引力產(chǎn)生兩個(gè)效果，一是隨地球自轉(zhuǎn)，二是產(chǎn)生對(duì)地面的彈力，建立赤道物體的向心力方程，求解N。

(2)衛(wèi)星相遇問題的解決方法是，周期小的衛(wèi)星比周期大的衛(wèi)星多轉(zhuǎn)一圈，A、B衛(wèi)星滿足開普勒第三定律?？梢愿鶕?jù)B同步衛(wèi)星，萬有引力充當(dāng)向心力，可求B的周期。

7.【答案】解：(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，衛(wèi)星質(zhì)量為m，引力常量為G，有：GMm(R+h1)2=m4π2T2(R+h1)

可認(rèn)為物體在地球表面上受到的萬有引力等于重力，即：GMmR2=mg

由以上兩式解得：h1=3gR2T24π2?R。【解析】求解此題的關(guān)鍵是能夠根據(jù)衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)時(shí)萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力分析相關(guān)問題，能夠應(yīng)用開普勒第三定律求解橢圓軌道半長(zhǎng)軸與周期之間的關(guān)系。

(1)由萬有引力提供向心力和在地球表面重力等于萬有引力列式求解同步軌道距地面的高度；

(2)根據(jù)開普勒第三定律列式求解A點(diǎn)到地面的高度。

8.【答案】解：(1)在火星表面，對(duì)質(zhì)量為m的物體有mg=GMmR2

①

又M=ρV=ρ?43πR3

②

聯(lián)立①②兩式解得ρ=3g4GπR．

(2)同步衛(wèi)星的周期等于火星的自轉(zhuǎn)周期T

萬有引力提供向心力，有GMm′(R+h)2=m′4π2T2(R+h)【解析】(1)根據(jù)萬有引力等于重力求出火星的質(zhì)量，結(jié)合火星的體積求出火星的密度．

(2)根據(jù)萬有引力提供向心力求出火星同步衛(wèi)星的軌道半徑，從而得出距離火星表面的高度．

解決本題的關(guān)鍵掌握萬有引力定律的兩個(gè)重要理論：1、萬有引力等于重力，2、萬有引力提供向心力，并能靈活運(yùn)用．

9.【答案】解：設(shè)空間站在軌道I上運(yùn)行周期為T1，萬有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，則：GM空MR2=M空(2πT1)2R

解得：T1=2πR3GM

航天飛船所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸：L=3.5R+R2=94R【解析】設(shè)空間站在軌道I上運(yùn)行周期為T1，根據(jù)萬有引力提供空間站做圓周運(yùn)動(dòng)的向心力列式求解；求出航天飛船所在橢圓軌道的半長(zhǎng)軸，根據(jù)開普勒第三定律列式求出航天飛船在軌道II上運(yùn)動(dòng)的周期，要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，從而求出時(shí)間。

本題主要考查了萬有引力提供向心力公式以及開普勒第三定律的直接應(yīng)用，知道要完成對(duì)接，飛船和空間站須同時(shí)到達(dá)橢圓軌道的近地點(diǎn)，難度適中。

10.【答案】解：(1)物體在地球受到的重力近似等于萬有引力GMm0R2=m0g

衛(wèi)星萬有引力提供向心力，有GMmr2=m(2πT)r

求得：r=3gR2T2【解析】本題主要考查同步衛(wèi)星的運(yùn)行規(guī)律，解題時(shí)要注意同步衛(wèi)星的特點(diǎn)以及熟練的運(yùn)用萬有引力提供向心力。

(1)物體在地球受到的重力近似等于萬有引力即可解答；

(2)作出幾何圖形，利用數(shù)學(xué)知識(shí)即可求解。

11.【答案】解：(1)設(shè)地球質(zhì)量為M，飛船質(zhì)量為m，則飛船在A點(diǎn)受到地球的引力：F=GMm(R+h對(duì)地面上質(zhì)量為m0的物體：GMm據(jù)牛頓第二定律可知萬有引力提供向心力：F=man聯(lián)立①②③解得飛船在近地點(diǎn)A的加速度：aA(2)飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的周期：T=tn

設(shè)預(yù)定圓軌道半徑為r，由牛頓第二定律有：G2Mm而v=2πrT聯(lián)立②④⑤⑥解得：飛行速度：v=3答：(1)飛船在近地點(diǎn)A的加速度為R2(2)飛船在預(yù)定圓軌道上飛行的速度為32πng

【解析】本題考查了人造衛(wèi)星的加速度、周期和軌道的關(guān)系；衛(wèi)星在橢圓軌道運(yùn)行時(shí)的加速度目前只能根據(jù)牛頓第二定律求解；衛(wèi)星的軌道半徑與線速度、角速度、周期對(duì)應(yīng)。(1)根據(jù)萬有引力提供向心力和萬有引力等于重力列出等式求解；(2)由牛頓第二定律和圓周運(yùn)動(dòng)的知識(shí)求解。

12.【答案】解：(1)地面附近重力等于萬有引力，對(duì)近地衛(wèi)星：有：G當(dāng)衛(wèi)星在圓I軌道上運(yùn)行時(shí)，有：G得：v同理：v(2)將衛(wèi)星從圓軌道I送到軌道III，其機(jī)械能變化量為ΔE=(?G解得：ΔE=5.85×109J

由功能關(guān)系知，將衛(wèi)星從圓軌道I送到圓軌道Ⅲ(3)衛(wèi)星在橢圓軌道P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，機(jī)械能守恒1衛(wèi)星在橢圓軌道P點(diǎn)、Q點(diǎn)時(shí)，v解得：vv

【解析】(1)地面附近重力等于萬有引力，衛(wèi)星在圓I和圓III軌道上運(yùn)行萬有引力提供向心力，列式計(jì)算；(2)將衛(wèi)星從圓軌道I送到軌道III，列出兩軌道上的機(jī)械能，求機(jī)械能變化量，再根據(jù)功能關(guān)系求解即可；(3)衛(wèi)星在橢圓軌道P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到Q點(diǎn)，根據(jù)機(jī)械能守恒定律解答。本題考查利用萬有引力研究天體運(yùn)動(dòng)，掌握萬有引力提供向心力，要靈活應(yīng)用。

13.【答案】(1)ABC；

(2)

解：(1)由在地表儀器重160N，可知儀器質(zhì)量為：m=16kg①

根據(jù)牛頓第二定律，有：F?mg′=ma②

代入數(shù)據(jù)，得：g′=0.625m/s2③；

(2)設(shè)此時(shí)飛船離地高度為H，地球質(zhì)量為

M，

該高度處重力加速度為：g′=G?M?(R+H)2?④

地表重力加速度為：g=G?M??R2⑤

聯(lián)立各式得：H=3R=1.92×107m⑥；

(3)設(shè)該高度有人造衛(wèi)星速度為v，其向心力由萬有引力來提供，有：

G?mM(R+H)2??=m?v2?(R+H)⑦

由⑤⑦式得：v=??【解析】(1)

【分析】

本題考查萬有引力定律、開普勒第三定律、牛頓第二定律等知識(shí)，知道衛(wèi)星變軌的原理是解決本題的關(guān)鍵。

根據(jù)開普勒定律比較長(zhǎng)軸與R的關(guān)系，根據(jù)萬有引力的大小，通過牛頓第二定律比較加速度，結(jié)合速度的大小比較向心加速度的大小。

【解答】

解：A、根據(jù)開普勒第三定律得?a3?T2?=k，a為半長(zhǎng)軸，

己知衛(wèi)星在兩軌道上運(yùn)動(dòng)的衛(wèi)星的周期相等，所以橢圓軌道的長(zhǎng)軸長(zhǎng)度為2R，故A正確；

B、B點(diǎn)為橢圓軌道的遠(yuǎn)地點(diǎn)，速度比較小，v0表示做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度，v0>vB.故B正確；

C、根據(jù)牛頓第二定律得a=?GM?r2，衛(wèi)星在Ⅰ軌道距離地心的距離大于衛(wèi)星在Ⅱ軌道A點(diǎn)距離地心的距離，所以a0<aA，故C正確；

DE、若OA=0.5R，則OB=1.5R，

人造衛(wèi)星繞地球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，根據(jù)萬有引力提供向心力，?GMm?r2=?mv2?r

v=GM?r，

如果衛(wèi)星以O(shè)B為軌道半徑做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，v=GM?r=2GM3R，

在Ⅱ軌道上，衛(wèi)星在B點(diǎn)要減速，做近心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星在B點(diǎn)的速率vB<2GM3R，

在Ⅱ軌道上，衛(wèi)星在A點(diǎn)要加速，做遠(yuǎn)心運(yùn)動(dòng)，所以衛(wèi)星在A點(diǎn)的速率為vA>2GM?R，故DE錯(cuò)誤；

故選ABC。

(2)

本題要掌握星球表面處的物體受到的重力等于萬有引力，由此可以計(jì)算出重力加速度的表達(dá)式．還要掌握萬有引力提供向心力這個(gè)關(guān)系，并且要能夠根據(jù)題意選擇恰當(dāng)?shù)南蛐牧Φ谋磉_(dá)式。

(1)根據(jù)地表處的重力計(jì)算儀器的質(zhì)量，再根據(jù)牛頓第二定律計(jì)算此處的重力加速度；

(2)根據(jù)該高度處重力加速度g′=G?M?(R+H)2和地表重力加速度

?g=G?M?R2聯(lián)立計(jì)算此處離地面的高度H；

(3)根據(jù)萬有引力提供向心力G?mM?(R+H)2?=m?v2?(R+H)，化簡(jiǎn)可得此處的速度v。

14.【答案】解：(1)由開普勒第三定律a3T2=k可知，飛行器的軌道由Ⅰ【解析】【分析】(1)根據(jù)萬有引力提供向心力可求出軌道Ⅲ的運(yùn)行周期，根據(jù)開普勒第三定律可比較飛行器在軌道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上運(yùn)行的周期大小關(guān)系，從而求出最大周期；

(2)飛行器由軌道Ⅰ→Ⅱ→Ⅲ時(shí)都要經(jīng)過制動(dòng)減速，由此可判斷機(jī)械能大小關(guān)系；

(3)根據(jù)萬有引力提供向心力可比較飛行器在軌道Ⅰ、Ⅲ上的速度。

該題考查了開普勒第三定律、萬有引力定律的應(yīng)用及衛(wèi)星變軌問題，要熟知衛(wèi)星的變軌，尤其注意無論在什么軌道上，只要是同一個(gè)點(diǎn)，引力必定相同，加速度必定相同。

15.【答案】解：(1)月球在地球引力作用下繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的質(zhì)量為me，月球繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ωm，

由萬有引力定律和牛頓定律有Gmemmrem2=mmremωm2

(1)

另有GmeRe2=g

(2)

月球繞地球一周的時(shí)間Tm=2πωm

(3)

解(1)、(2)、(3)三式得Tm=2πrem3gRe2

(4)

代入有關(guān)數(shù)據(jù)得Tm=2.37×106s=27.4天

(5)

；

(ii)滿月是當(dāng)月球、地球、太陽成一條直線時(shí)才有的，此時(shí)地球在月球和太陽之間，

即圖中A的位置。當(dāng)?shù)诙€(gè)滿月時(shí)，由于地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)，地球的位置已運(yùn)動(dòng)到。

若以表示相繼兩次滿月經(jīng)歷的時(shí)間，ωe表示地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，故有

(6)

而ωm=2πTm

(7)

ωe=2πTe

(8)

式中Te為地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的周期，Te=365天。

由(6)、(7)、(8)三式得

(9)

注意到(5)式，得天

(10)

(iii)從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球引力的作用。當(dāng)火箭離地球較近時(shí)，地球的引力大于月球的引力；當(dāng)離月球較近時(shí)，月球的引力大于地球的引力。作地心和月心的連線，設(shè)在地月間某一點(diǎn)O處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力大小。以r表示O點(diǎn)到月球中心的距離，則有Gmem(rem?r)2=Gmmmr2

(11)

式中m是火箭的質(zhì)量。

【解析】本題主要考查了萬有引力定律的應(yīng)用，知道從地球表面發(fā)射直接射向月球的火箭只要能到達(dá)O點(diǎn)，則過O點(diǎn)后，因月球引力大于地球引力，它便能在月球引力作用下到達(dá)月球，這樣發(fā)射時(shí)火箭離開地面時(shí)的速度最小，它到達(dá)月球時(shí)的速度也最小。難度較大。

(1)月球在地球引力作用下繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)地球的質(zhì)量為me，月球繞地心作圓周運(yùn)動(dòng)的角速度為ωm，由萬有引力定律和牛頓定律結(jié)合黃金代換式即可求解；

(2)滿月是當(dāng)月球、地球、和太陽成一直線時(shí)才有的，此時(shí)地球在月球和太陽之間，即圖中A的位置．當(dāng)?shù)诙€(gè)滿月時(shí)，由于地球繞太陽的運(yùn)動(dòng)，地球位置已運(yùn)動(dòng)到A′.若以Tm′表示相繼兩次滿月經(jīng)歷的時(shí)間，ωe表示地球繞太陽運(yùn)動(dòng)的角速度，由于ωe和ωm的方向相同，根據(jù)角速度和周期的關(guān)系列式即可求解；

(3)從地面射向月球的火箭一方面受到地球的引力作用，另一方面也受到月球的引力作用．當(dāng)火箭離地球較近時(shí)，地球的引力大于月球的引力；當(dāng)離月球較近時(shí)，月球的引力大于地球的引力．作地心和月心的連線，設(shè)在地月間某一點(diǎn)處，地球作用于火箭的引力的大小正好等于月球作用于火箭的引力的大小。以r表示到月球中心的距離，根據(jù)萬有引力定律及機(jī)械能守恒定律即可解題。

16.【答案】(1)神舟3號(hào)(2)設(shè)飛船飛行時(shí)間為t，繞地球飛行的圈數(shù)為N，周期為T，飛船的質(zhì)量為m，離地面的平均高度為h，地球半徑為R，地球質(zhì)量為M，則有

T=tN

①

GmM(R+h)2=m2πT2(R+h)

②

GMmR2=mg

③【解析】重點(diǎn)是掌握萬有引力提供向心力的各種表達(dá)形式，會(huì)用黃金代換關(guān)系．

(1)依據(jù)我國的發(fā)射歷史，可以判定該飛船為神舟3號(hào)；

(2)由萬有引力定律和牛頓第二定律對(duì)飛船的運(yùn)行過程列出等式求解．

17.【答案】解：(1)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力充當(dāng)向心力，有GMmr2=m4π2rT2解得r=3GMT24π2衛(wèi)星M與衛(wèi)星N的軌道半徑之比r1:r2=3T12:3【解析】(1)衛(wèi)星做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，萬有引力充當(dāng)向心力，GMmr2=m4π2rT2；

(2)由GMmr2=mv2r求出衛(wèi)星M與衛(wèi)星N的動(dòng)能之比；

(3)由萬有引力公式F=GMmr2求出衛(wèi)星M與衛(wèi)星N的向心力

本題考查了衛(wèi)星的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，知道萬有引力提供向心力是解題的關(guān)鍵。

18.【答案】(1)設(shè)衛(wèi)星的質(zhì)量為m，天體PlanetX的質(zhì)量為M，

衛(wèi)星在天體表面運(yùn)行時(shí)有GMmR2=m2πT02R【解析】(1)根據(jù)衛(wèi)星在天體表面運(yùn)行時(shí)GMmR2=m2πT02R，求出該行星的平均密度；

(2)若衛(wèi)星在距天體表面高為h處運(yùn)行，則r=R+hG解得M=②在地球表面G解得g同理在太陽表面gg③第一宇宙速度GMm第二宇宙速度v解得R=2GMc2

答：②太陽表面的重力加速度g日③該星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑R=2GM【解析】①物體繞地球表面做勻速圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)，由地球的萬有引力提供向心力，由此列式求地球的質(zhì)量；

②根據(jù)萬有引力等于重力，估算太陽表面的重力加速度；

③已知某星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的質(zhì)量為M，由萬有引力等于向心力，得到第一宇宙速度與第二宇宙速度的關(guān)系，再求該星體演變?yōu)楹诙磿r(shí)的臨界半徑R。

解決本題的關(guān)鍵是掌握萬有引力等于向心力和萬有引力等于重力這兩條基本思路，要認(rèn)真讀題，搞清兩種宇宙速度的關(guān)系。

20.【答案】

解：(1)在軌道I上，探測(cè)器所受萬有引力提供向心力，設(shè)土星質(zhì)量為M，則

?GMmR2=?mυ12R

①

同理，在軌道Ⅲ上有?GMm′r2=?m′υ32r

②

由式①②可得

v3

=

R?r?·

v1 ③

探測(cè)器在軌道Ⅲ上運(yùn)行時(shí)加速度設(shè)為a?，則有