2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)坐標(biāo)系與參數(shù)方程第1節(jié)坐標(biāo)系課時(shí)分層訓(xùn)練文北師大版

PAGEPAGE1課時(shí)分層訓(xùn)練(五十五)坐標(biāo)系1．在極坐標(biāo)系中，求點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))到直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1的距離．[解]點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(π,6)))化為直角坐標(biāo)為(eq\r(3)，1)，3分直線ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,6)))＝1化為ρeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)sinθ－\f(1,2)cosθ))＝1，得eq\f(\r(3),2)y－eq\f(1,2)x＝1，即直線的方程為x－eq\r(3)y＋2＝0，6分故點(diǎn)(eq\r(3)，1)到直線x－eq\r(3)y＋2＝0的距離d＝eq\f(|\r(3)－\r(3)×1＋2|,\r(12＋－\r(3)2))＝1.10分2．在極坐標(biāo)系下，圓O：ρ＝cosθ＋sinθ和直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2).(1)求圓O和直線l的直角坐標(biāo)方程；(2)當(dāng)θ∈(0，π)時(shí)，求直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)．[解](1)圓O：ρ＝cosθ＋sinθ，即ρ2＝ρcosθ＋ρsinθ，2分圓O的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2＝x＋y，即x2＋y2－x－y＝0，4分直線l：ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)，即ρsinθ－ρcosθ＝1，那么直線l的直角坐標(biāo)方程為y－x＝1，即x－y＋1＝0.6分(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－x－y＝0，,x－y＋1＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1，))8分故直線l與圓O公共點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,2))).10分3．(2022·邯鄲調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，直線l的極坐標(biāo)方程為ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，圓C的圓心的極坐標(biāo)是Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(π,4)))，圓的半徑為1.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求直線l被圓C所截得的弦長(zhǎng)．[解](1)設(shè)O為極點(diǎn)，OD為圓C的直徑，A(ρ，θ)為圓C上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，那么∠AOD＝eq\f(π,4)－θ或∠AOD＝θ－eq\f(π,4)，2分OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)－θ))或OA＝ODcoseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4)))，∴圓C的極坐標(biāo)方程為ρ＝2coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,4))).4分(2)由ρsineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ＋\f(π,4)))＝1，得eq\f(\r(2),2)ρ(sinθ＋cosθ)＝1，6分∴直線l的直角坐標(biāo)方程為x＋y－eq\r(2)＝0，又圓心C的直角坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)，\f(\r(2),2)))，滿足直線l的方程，∴直線l過圓C的圓心，8分故直線被圓所截得的弦長(zhǎng)為直徑2.10分4．(2022·南京調(diào)研)在極坐標(biāo)系中，圓C的圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(3，\f(π,3)))，半徑r＝3.(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)假設(shè)點(diǎn)Q在圓C上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在OQ的延長(zhǎng)線上，且eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：66482485】[解](1)設(shè)M(ρ，θ)是圓C上任意一點(diǎn)．在△OCM中，∠COM＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，由余弦定理得|CM|2＝|OM|2＋|OC|2－2|OM|·|OC|coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，化簡(jiǎn)得ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).4分(2)設(shè)點(diǎn)Q(ρ1，θ1)，P(ρ，θ)，由eq\o(OQ,\s\up12(→))＝2eq\o(QP,\s\up12(→))，得eq\o(OQ,\s\up12(→))＝eq\f(2,3)eq\o(OP,\s\up12(→))，∴ρ1＝eq\f(2,3)ρ，θ1＝θ，8分代入圓C的方程，得eq\f(2,3)ρ＝6coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3)))，即ρ＝9coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(θ－\f(π,3))).10分5．(2022·全國卷Ⅱ)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝tcosα，,y＝tsinα))(t為參數(shù)，t≠0)，其中0≤α<π.在以O(shè)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，曲線C2：ρ＝2sinθ，C3：ρ＝2eq\r(3)cosθ.(1)求C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)；(2)假設(shè)C1與C2相交于點(diǎn)A，C1與C3相交于點(diǎn)B，求|AB|的最大值．[解](1)曲線C2的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2y＝0，曲線C3的直角坐標(biāo)方程為x2＋y2－2eq\r(3)x＝0，2分聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋y2－2y＝0，,x2＋y2－2\r(3)x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝0))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(\r(3),2)，,y＝\f(3,2).))所以C2與C3交點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,0)和eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),2)，\f(3,2))).4分(2)曲線C1的極坐標(biāo)方程為θ＝α(ρ∈R，ρ≠0)，其中0≤α<π.因此A的極坐標(biāo)為(2sinα，α)，B的極坐標(biāo)為(2eq\r(3)cosα，α).8分所以|AB|＝|2sinα－2eq\r(3)cosα|＝4eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α－\f(π,3))))).當(dāng)α＝eq\f(5π,6)時(shí)，|AB|取得最大值，最大值為4.10分6．從極點(diǎn)O作直線與另一直線l：ρcosθ＝4相交于點(diǎn)M，在OM上取一點(diǎn)P，使OM·OP＝12.(1)求點(diǎn)P的軌跡方程；(2)設(shè)R為l上的任意一點(diǎn)，求|RP|的最小值．[解](1)設(shè)動(dòng)點(diǎn)P的極坐標(biāo)為(ρ，θ)，M的極坐標(biāo)為(ρ0，θ)，那么ρρ0＝12.2分∵ρ0cosθ＝4，∴ρ＝3cosθ，即為所求的軌跡方程.4分(2)將ρ＝3cosθ化為直角坐標(biāo)方程，得x2＋y2＝3x，即eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f