（江蘇專用）2023高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第44課兩條直線的位置關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練

PAGEPAGE1第九章平面解析幾何第44課兩條直線的位置關(guān)系課時(shí)分層訓(xùn)練A組根底達(dá)標(biāo)(建議用時(shí)：30分鐘)一、填空題1．點(diǎn)A(1，－2)，B(m,2)且線段AB的垂直平分線的方程是x＋2y－2＝0，那么實(shí)數(shù)m的值是________．3[因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1＋m,2)，0))在直線x＋2y－2＝0上，代入解得m＝3.]2．(2022·北京高考改編)圓(x＋1)2＋y2＝2的圓心到直線y＝x＋3的距離為_(kāi)_______．eq\r(2)[圓心坐標(biāo)為(－1,0)，所以圓心到直線y＝x＋3即x－y＋3＝0的距離為eq\f(|－1－0＋3|,\r(12＋－12))＝eq\f(2,\r(2))＝eq\r(2).]3．假設(shè)直線(a＋1)x＋2y＝0與直線x－ay＝1互相垂直，那么實(shí)數(shù)a的值等于________．1[由eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a＋1,2)))×eq\f(1,a)＝－1，得a＋1＝2a，故a＝1.]4．(2022·蘇州模擬)傾斜角為α的直線l與直線x＋2y－3＝0垂直，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2017π,2)－2α))的值為_(kāi)_______．eq\f(4,5)[依題設(shè)，直線l的斜率k＝2，∴tanα＝2，且α∈[0，π)，那么sinα＝eq\f(2\r(5),5)，cosα＝eq\f(\r(5),5)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2017π,2)－2α))＝coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－2α))＝sin2α＝2sinαcosα＝eq\f(4,5).]5．直線3x＋4y－3＝0與直線6x＋my＋14＝0平行，那么它們之間的距離是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172242】2[∵eq\f(6,3)＝eq\f(m,4)≠eq\f(14,－3)，∴m＝8，直線6x＋my＋14＝0可化為3x＋4y＋7＝0，∴兩平行線之間的距離d＝eq\f(|－3－7|,\r(32＋42))＝2.]6．假設(shè)直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，那么直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)________．(0,2)[直線l1：y＝k(x－4)經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(4,0)，其關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱的點(diǎn)為(0,2)，又直線l1：y＝k(x－4)與直線l2關(guān)于點(diǎn)(2,1)對(duì)稱，故直線l2經(jīng)過(guò)定點(diǎn)(0,2)．]7．當(dāng)0<k<eq\f(1,2)時(shí)，直線l1：kx－y＝k－1與直線l2：ky－x＝2k的交點(diǎn)在第________象限．二[由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(kx－y＝k－1，,ky－x＝2k，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(k,k－1)，,y＝\f(2k－1,k－1)，))又0<k<eq\f(1,2)，那么eq\f(k,k－1)<0，eq\f(2k－1,k－1)>0，即x<0，y>0，從而兩直線的交點(diǎn)在第二象限．]8．在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，那么直線xsinA＋ay＋c＝0與直線bx－ysinB＋sinC＝0的位置關(guān)系是________.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172243】垂直[在△ABC中，由正弦定理eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)，得eq\f(b,sinB)·eq\f(sinA,a)＝1.又xsinA＋ay＋c＝0的斜率k1＝－eq\f(sinA,a)，bx－ysinB＋sinC＝0的斜率k2＝eq\f(b,sinB)，因此k1·k2＝eq\f(b,sinB)·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(sinA,a)))＝－1，兩條直線垂直．]9．經(jīng)過(guò)直線l1：3x＋2y－1＝0和l2：5x＋2y＋1＝0的交點(diǎn)，且垂直于直線l3：3x－5y＋6＝0的直線l的方程為_(kāi)_______．5x＋3y－1＝0[由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋2y－1＝0，,5x＋2y＋1＝0，))得l1，l2的交點(diǎn)坐標(biāo)為(－1,2)．∵l3的斜率為eq\f(3,5)，∴l(xiāng)的斜率為－eq\f(5,3)，那么直線l的方程為y－2＝－eq\f(5,3)(x＋1)，即5x＋3y－1＝0.]10．l1，l2是分別經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1,1)，B(0，－1)的兩條平行直線，當(dāng)l1與l2間的距離最大時(shí)，直線l1的方程是________．x＋2y－3＝0[當(dāng)AB⊥l1時(shí)，兩直線l1與l2間的距離最大，由kAB＝eq\f(－1－1,0－1)＝2，知l1的斜率k＝－eq\f(1,2)，∴直線l1的方程為y－1＝－eq\f(1,2)(x－1)，即x＋2y－3＝0.]二、解答題11．△ABC的頂點(diǎn)A(5,1)，AB邊上的中線CM所在直線方程為2x－y－5＝0，AC邊上的高BH所在直線方程為x－2y－5＝0，求直線BC的方程.【導(dǎo)學(xué)號(hào)：62172244】[解]依題意知：kAC＝－2，A(5,1)，∴l(xiāng)AC為2x＋y－11＝0，聯(lián)立lAC、lCM得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－11＝0，,2x－y－5＝0，))∴C(4,3)．設(shè)B(x0，y0)，AB的中點(diǎn)M為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x0＋5,2)，\f(y0＋1,2)))，代入2x－y－5＝0，得2x0－y0－1＝0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x0－y0－1＝0，,x0－2y0－5＝0，))∴B(－1，－3)，∴kBC＝eq\f(6,5)，∴直線BC的方程為y－3＝eq\f(6,5)(x－4)，即6x－5y－9＝0.12．直線l經(jīng)過(guò)直線l1：2x＋y－5＝0與l2：x－2y＝0的交點(diǎn)．(1)假設(shè)點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，求l的方程；(2)求點(diǎn)A(5,0)到l的距離的最大值．[解](1)易知l不可能為l2，可設(shè)經(jīng)過(guò)兩直線交點(diǎn)的直線系方程為(2x＋y－5)＋λ(x－2y)＝0，即(2＋λ)x＋(1－2λ)y－5＝0.∵點(diǎn)A(5,0)到l的距離為3，∴eq\f(|10＋5λ－5|,\r(2＋λ2＋1－2λ2))＝3，那么2λ2－5λ＋2＝0，∴λ＝2或λ＝eq\f(1,2)，∴l(xiāng)的方程為x＝2或4x－3y－5＝0.(2)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x＋y－5＝0，,x－2y＝0，))解得交點(diǎn)P(2,1)，如圖，過(guò)P作任一直線l，設(shè)d為點(diǎn)A到l的距離，那么d≤PA(當(dāng)l⊥PA時(shí)等號(hào)成立)，∴dmax＝PA＝eq\r(5－22＋0－12)＝eq\r(10).B組能力提升(建議用時(shí)：15分鐘)1．假設(shè)點(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，那么m2＋n2的最小值是________．4[因?yàn)辄c(diǎn)(m，n)在直線4x＋3y－10＝0上，所以4m＋3n欲求m2＋n2的最小值可先求eq\r(m－02＋n－02)的最小值，而eq\r(m－02＋n－02)表示4m＋3n－10＝0上的點(diǎn)(m，n)到原點(diǎn)的距離，如圖．當(dāng)過(guò)原點(diǎn)的直線與直線4m＋3n－10＝0垂直時(shí)，原點(diǎn)到點(diǎn)(m，n)的距離最小為2.所以m2＋n2的最小值為4.]2．(2022·南京模擬)平面上一點(diǎn)M(5,0)，假設(shè)直線上存在點(diǎn)P使PM＝4，那么稱該直線為“切割型直線〞．以下直線中是“切割型直線〞的是________(填序號(hào))．①y＝x＋1；②y＝2；③y＝eq\f(4,3)x；④y＝2x＋1.②③[設(shè)點(diǎn)M到所給直線的距離為d，①d＝eq\f(|5＋1|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)>4，故直線上不存在點(diǎn)P到點(diǎn)M的距離等于4，不是“切割型直線〞；②d＝2<4，所以在直線上可以找到兩個(gè)不同的點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線〞；③d＝eq\f(|4×5－0|,\r(－32＋42))＝4，所以直線上存在一點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，是“切割型直線〞；④d＝eq\f(|2×5＋1|,\r(22＋－12))＝eq\f(11\r(5),5)>4，故直線上不存在點(diǎn)P，使之到點(diǎn)M的距離等于4，不是“切割型直線〞．故填②③.]3．兩直線l1：x＋ysinα－1＝0和l2：2x·sinα＋y＋1＝0，求α的值，使得：(1)l1∥l2；(2)l1⊥l2.[解](1)法一：當(dāng)sinα＝0時(shí)，直線l1的斜率不存在，l2的斜率為0，顯然l1不平行于l2.當(dāng)sinα≠0時(shí)，k1＝－eq\f(1,sinα)，k2＝－2sinα.要使l1∥l2，需－eq\f(1,sinα)＝－2sinα，即sinα＝±eq\f(\r(2),2).所以α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z，此時(shí)兩直線的斜率相等．故當(dāng)α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z時(shí)，l1∥l2.法二：由A1B2－A2B1＝0，得2sin2α－1＝0，所以sinα＝±eq\f(\r(2),2).所以α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z.又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，即sinα≠－1.故當(dāng)α＝kπ±eq\f(π,4)，k∈Z時(shí)，l1∥l2.(2)因?yàn)锳1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.故當(dāng)α＝kπ，k∈Z時(shí)，l1⊥l2.4．直線l：(2a＋b)x＋(a＋b)y＋a－b＝0及點(diǎn)P(1)證明直線l過(guò)某定點(diǎn)，并求該定點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)當(dāng)點(diǎn)P到直線l的距離最大時(shí)，求直線l的方程．[解](1)證明：直線l的方程可化為a(2x＋y＋1)＋b(x＋y－1)＝0，由eq\b\lc\{\r