新高考全國(guó)I卷：2020年數(shù)學(xué)考試真題與答案解析5916

新高考全國(guó)I卷：2020年[數(shù)學(xué)]考試真題與答案解析一、單項(xiàng)選擇題本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。AxxBxxAB1．設(shè)集合={|1≤≤3}，={|2<<4}，則∪=（）xxxxB．{|2≤≤3}A．{|2<≤3}xxxxD．{|1<<4}C．{|1≤<4}2．2i（）12iA．1C．iB．?1D．?i3．6名同學(xué)到甲、乙、丙三個(gè)場(chǎng)館做志愿者，每名同學(xué)只去1個(gè)場(chǎng)館，甲場(chǎng)館安排1名，乙場(chǎng)館安排2名，丙場(chǎng)館安排3名，則不同的安排方法共有（）A．120種C．60種B．90種D．30種4．日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器，利用與晷面垂直的晷針投射到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間．把地球看成一個(gè)球(球心記為)，地球上一點(diǎn)的緯度是指OA與地球赤道所在平面所OAAAOAA垂直的平面.在點(diǎn)處放置一個(gè)日晷，若晷面與赤成角，點(diǎn)處的水平面是指過(guò)點(diǎn)且與AA道所在平面平行，點(diǎn)處的緯度為北緯40°，則晷針與點(diǎn)處的水平面所成角為（）A．20°C．50°B．40°D．90°5．某中學(xué)的學(xué)生積極參加體育鍛煉，其中有96%的學(xué)生喜歡足球或游泳，60%的學(xué)生喜歡足球，82%的學(xué)生喜歡游泳，則該中學(xué)既喜歡足球又喜歡游泳的學(xué)生數(shù)占該校學(xué)生總數(shù)的比例是（）A．62%C．46%B．56%D．42%RT6．基本再生數(shù)0與世代間隔是新冠肺炎的流行病學(xué)基本參數(shù).基本再生數(shù)指一個(gè)感染者傳染的平均人數(shù)，世代間隔指相鄰兩代間傳染所需的平均時(shí)間.在新冠肺炎疫情初始階段，可以用指數(shù)模型：I(t)ert描述累計(jì)感染病例數(shù)()隨時(shí)間(單位:天)的變化規(guī)律，指數(shù)增長(zhǎng)率與IttrRTRrTRT，近似滿足0=1+.有學(xué)者基于已有數(shù)據(jù)估計(jì)出0=3.28，=6.據(jù)此，在新冠肺炎疫情初0始階段，累計(jì)感染病例數(shù)增加1倍需要的時(shí)間約為(ln2≈0.69)（）A．1.2天C．2.5天B．1.8天D．3.5天ABCDEF內(nèi)的一點(diǎn)，則APABP7．已知是邊長(zhǎng)為2的正六邊形的取值范圍是（）A．(2,6)C．(2,4)B．(6,2)D．(4,6)8．若定義在R的奇函數(shù)()在(,0)單調(diào)遞，減且(2)=0，則滿足xf(x1)0的x的取值范fxf圍是（）A．[1,1][3,)B．[3,1][0,1]C．[1,0][1,)D．[1,0][1,3]二、多項(xiàng)選擇題本題共4小題，每小題5分，共20分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得3分。9．已知曲線C:mx2ny1.2mnCymnCA．若>>0，則是橢圓，其焦點(diǎn)在軸上B．若=>0，則是圓，其半徑為nmCC．若mn<0，則是雙曲線，其漸近線方程為yxn

mnCD．若=0，>0，則是兩條直線yωxφωxφ10．下圖是函數(shù)=sin(+)的部分圖像，則sin(+)=ππA．C．B．sin(2x)sin(x）33π5πD．cos(2x)cos(2x）66abab11．已知>0，>0，且+=1，則a2b2121A．C．B．a(chǎn)b22D．logalogb22ab22X12．信息熵是信息論中的一個(gè)重要概念.設(shè)隨機(jī)變量所有可能的取值為1,2,,n，且nn.H(X)plogpi2iP(Xi)p0(i1,2,,n),p1X，定義的信息熵iii1i1nHXnHXA．若=1，則()=0B．若=2，則()隨著p的增大而增大1p1(i1,2,,n)HXn，則()隨著的增大而增大C．若ninmYD．若=2，隨機(jī)變量所有可能的取值為1,2,,m，且2m1j(j1,2,,m)，則P(Yj)ppjH(X)≤H(Y)三、填空題本題共4小題，每小題5分，共20分。CyxCAB交于，兩點(diǎn)，則AB13．斜率為3的直線過(guò)拋物線：=4的焦點(diǎn)，且與2=________．nnaan14．將數(shù)列{2–1}與{3–2}的公共項(xiàng)從小到大排列得到數(shù)列{n}，則{n}的前項(xiàng)和為_(kāi)___．O15．某中學(xué)開(kāi)展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生加工制作零件，零件的截面如圖所示．為圓孔及輪廓圓弧ABA所在圓的圓心，是圓弧AB與直線AGB的切點(diǎn)，是圓弧AB與直線BC的切點(diǎn)，四邊形3DEFG為矩形，BC⊥DGC，垂足為，tan∠ODCBH∥DG，EF=12cm，DE=2cm，A=，5到直線DE和EF的距離均為7cm，圓孔半徑為1cm，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)___cm2．16．已知直四棱柱ABCD–ABCD1的棱長(zhǎng)均為2，∠BAD=60°．以D為球心，5為半徑1111BCC1B1的交線長(zhǎng)為_(kāi)_______．的球面與側(cè)面四、解答題本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（10分）在①ac3，②csinA3，③c3b這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求c的值；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由．3sinB，C6，________?問(wèn)題：是否存在△ABC，它的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c，且sinA注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．18．（12分）已知公比大于1的等比數(shù)列{a}滿足aa20,a8．n243（1）求{a}的通項(xiàng)公式；n（2）記b為{a}在區(qū)間(0,m](mN*)中的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，求數(shù)列的前100項(xiàng)和S．mnm10019．（12分）為加強(qiáng)環(huán)境保護(hù)，治理空氣污染，環(huán)境監(jiān)測(cè)部門(mén)對(duì)某市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5和SO濃度（單位：μg/m3），得下表：2SO[0,50](50,150](150,475]2PM2.5[0,35]3261884(35,75]1210(75,115]37（1）估計(jì)事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO濃度不超過(guò)150”的概率；2（2）根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的22列聯(lián)表：SO[0,150](150,475]2PM2.5[0,75](75,115]（3）根據(jù)（2）中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO濃2度有關(guān)？n(adbc)2附：K2(ab)(cd)(ac)(bd)，P(K2k)0.0503.8410.0106.6350.001010.828k20．（12分）如圖，四棱錐P-ABCDl．PD的底面為正方形，⊥底面ABCD．設(shè)平面PAD與平面PBC的交線為l（1）證明：⊥平面PDC；（2）已知==1，為上的點(diǎn)，求與平面QCD所成角的正弦值的最大值．PDADQlPB

21．（12分）已知函數(shù)f(x)aex1lnxlna．（1）當(dāng)ae時(shí)，求曲線=（）在點(diǎn)（1，（1））處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形面積；yfxffxa（2）若（）≥1，求的取值范圍．22．（12分）x2y22，且過(guò)點(diǎn)（2，1）．1(ab0)的離心率為A2C已知橢圓：a2b2C（1）求的方程：MNCAMANADMND⊥，⊥，為垂足．證明：存在定點(diǎn)，使得|DQ|為Q（2）點(diǎn)，在上，且定值．答案解析一、單選題1．C2．D3．C4．B5．C6．B7．A8．D二、多選題9．ACD10．BC11．ABD12．AC三、填空題13．16314．15．52416．23n22n2四、解答題17．解：方案一：選條件①．由C6和余弦定理得a2bc223．22ab由sinA3sinB及正弦定理得a3b．3b2b2c23，由此可得bc．2于是23b2由①ac3，解得a3,bc1．因此，選條件①時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c1．方案二：選條件②．由C6和余弦定理得a2bc223．22ab由sinA3sinB及正弦定理得a3b．3b2b2c23，由此可得bc，BC6，A23．2于是23b2由②csinA3，所以cb23,a6．因此，選條件②時(shí)問(wèn)題中的三角形存在，此時(shí)c23方案三：選條件③．．由C6和余弦定理得a2bc223．22ab由sinA3sinB及正弦定理得a3b．3b2b2c23，由此可得bc．2于是23b2由③c3b，與bc矛盾．因此，選條件③時(shí)問(wèn)題中的三角形不存在．18．解：（1）設(shè){a}的公比為q．由題設(shè)得aqaq20，aq28．．3n111解得q12（舍去），q2a2．由題設(shè)得．1所以{a}的通項(xiàng)公式為a2n．nn（2）由題設(shè)及（1）知b0，且當(dāng)2nm2n1時(shí)，bnm1

所以Sb(bb)(bbbb)(bbb)(bbb)456710012332336364651000122223234245256(10063)480．19．解：（1）根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，該市100天的空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO濃度不超過(guò)150的2天數(shù)為32186864,因此,該市一天空氣中PM2.5濃度不超過(guò)75，且SO濃度不超過(guò)1502的概率的估計(jì)值為100640.64．（2）根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得22列聯(lián)表：SO[0,150](150,475]2PM2.5[0,75]64101610(75,115]（3）根據(jù)（2）的列聯(lián)表得K2100(64101610)27.484．80207426由于7.4846.635，故有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO濃度有關(guān)．220．解：（1）因?yàn)镻D底面ABCD，所以PDAD．又底面ABCD為正方形，所以ADDC，因此AD底面PDC．因?yàn)锳D∥BC，AD平面PBC，所以AD∥平面PBC．由已知得l∥AD．因此l平面PDC．（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA的方向?yàn)閤軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系Dxyz．則D(0,0,0),C(0,1,0),B(1,1,0),P(0,0,1)，DC(0,1,0)，PB(1,1,1)．由（1）可設(shè)Q(a,0,1)，則DQ(a,0,1)．nDQ0,axz0,設(shè)n(x,y,z)是平面QCD的法向量，則即y0.nDC0,n(1,0,a)．可取nPB1a所以cos,PBn31a2．|n||PB|3|a1|32aa21設(shè)PB與平面QCD所成角為，則sin1．331a232a36，當(dāng)且僅當(dāng)a1時(shí)等號(hào)成立，所以PB與平面QCD所成角的正弦值的最大因?yàn)?1a21值為36．21．解：f(x)的定義域?yàn)?0,)，f(x)ae1x．x1（1）當(dāng)ae時(shí)，f(x)elnx1，f(1)e1，x曲線yf(x)在點(diǎn)(1,f(1))處的切線方程為y(e1)(e1)(x1)，即y(e1)x2．直線y(e1)x2在x軸，y軸上的截距分別為e21，2．2e1因此所求三角形的面積為．（2）當(dāng)0a1時(shí)，f(1)alna1．1當(dāng)a1時(shí)，f(x)ex1lnx，f(x)ex1x．當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0；當(dāng)x(1,)時(shí)，f(x)0．所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)取得最小值，最小值為f(1)1，從而f(x)1．當(dāng)a1時(shí)，f(x)aex1lnxlnaex1lnx1．綜上，a的取值范圍是[1,)．22．解：（1）由題設(shè)得a411，a2b212，解得a26，b23．ba222所以C的方程為x62y21．3（2）設(shè)M(x,y)，N(x,y)．1122

若直線MN與x軸不垂直，設(shè)直線MN的方程為ykxm，代入x621得(12k2)x24kmx2m260．y234km2m26．①12k2于是xx,xx1212k212