極坐標系方程

關(guān)于極坐標系方程第1頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四從這向南5000米。請問：去萬里怎么走？第2頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四請分析上面這句話，他告訴了問路人什么？從這向南走5000米！出發(fā)點方向距離在生活中人們經(jīng)常用方向和距離來表示一點的位置。這種用方向和距離表示平面上一點的位置的思想，就是極坐標的基本思想。第3頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四一、極坐標系的建立：在平面內(nèi)取一個定點O，叫做極點。引一條射線OX，叫做極軸。再選定一個長度單位和角度單位及它的正方向（通常取逆時針方向）。這樣就建立了一個極坐標系。XO第4頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四二、極坐標系內(nèi)一點的極坐標的規(guī)定XOM對于平面上任意一點M，用表示線段OM的長度，用表示從OX到OM的角度，叫做點M的極徑，叫做點M的極角，有序數(shù)對（，）就叫做M的極坐標。特別強調(diào)：表示線段OM的長度，即點M到極點O的距離；表示從OX到OM的角度，即以O(shè)X（極軸）為始邊，OM為終邊的角。第5頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四①平面上一點的極坐標是否唯一？②若不唯一，那有多少種表示方法？③坐標不唯一是由誰引起的？④不同的極坐標是否可以寫出統(tǒng)一表達式？特別規(guī)定：當M在極點時，它的極坐標=0，可以取任意值。想一想？第6頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四三、點的極坐標的表達式的研究XOM如圖：OM的長度為4，請說出點M的極坐標的其他表達式。思：這些極坐標之間有何異同？思考：這些極角有何關(guān)系？這些極角的始邊相同，終邊也相同。也就是說它們是終邊相同的角。本題點M的極坐標統(tǒng)一表達式：極徑相同，不同的是極角第7頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四四、1、負極徑的定義說明：一般情況下，極徑都是正值；在某些必要情況下，極徑也可以取負值。對于點M（，）負極徑時的規(guī)定：[1]作射線OP，使XOP=[2]在OP的反向延長線上取一點M，使OM=OXPM第8頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四OXP=/4M四、2、負極徑的實例在極坐標系中畫出點M（－3，/4）的位置[1]作射線OP，使XOP=/4[2]在OP的反向延長線上取一點M，使OM=3第9頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四四、3、負極徑的實質(zhì)

從比較來看，負極徑比正極徑多了一個操作，將射線OP“反向延長”。OXPMOXPM

而反向延長也可以看成是旋轉(zhuǎn)，因此，所謂“負極徑”實質(zhì)是管方向的。這與數(shù)學中通常的習慣一致，用“負”表示“反向”。第10頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四六、極坐標系下點與它的極坐標的對應(yīng)情況[1]給定（,）,就可以在極坐標平面內(nèi)確定唯一的一點M。[2]給定平面上一點M，但卻有無數(shù)個極坐標與之對應(yīng)。原因在于：極角有無數(shù)個。OXPM(ρ,θ)…第11頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四一般地,若(ρ,θ)是一點的極坐標,則(ρ,θ+2kπ)、[－ρ,θ+(2k+1)π]都可以作為它的極坐標.如果限定ρ＞0,0≤θ＜2π或－π＜θ≤π,那么除極點外,平面內(nèi)的點和極坐標就可以一一對應(yīng)了.第12頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四曲線的極坐標方程一、定義：如果曲線Ｃ上的點與方程f(,)=0有如下關(guān)系(１)曲線Ｃ上任一點的坐標(所有坐標中至少有一個)符合方程f(,)=0；(２)方程f(,)=0的所有解為坐標的點都在曲線Ｃ上。

則曲線Ｃ的方程是f(,)=0。第13頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四探究如圖，半徑為a的圓的圓心坐標為(a,0)(a>0)，你能用一個等式表示圓上任意一點的極坐標(,)滿足的條件？xC(a,0)O第14頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四題組練習1求下列圓的極坐標方程(１)中心在極點，半徑為2；

(２)中心在Ｃ(a,0)，半徑為a；

(３)中心在(a,/2)，半徑為a；

(４)中心在Ｃ(0,０)，半徑為r。

＝2

＝2acos

＝2asin

2+0

2-20cos(-０)=r2第15頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四

極坐標方程分別是ρ＝cosθ和ρ＝sinθ的兩個圓的圓心距是多少練習2第16頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四練習3以極坐標系中的點(1,1)為圓心，1為半徑的圓的方程是C第17頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四練習4曲線關(guān)于極軸對稱的曲線是：C第18頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四例題1：求過極點，傾角為的射線的極坐標方程。oMx﹚分析：如圖，所求的射線上任一點的極角都是，其極徑可以取任意的非負數(shù)。故所求直線的極坐標方程為新課講授第19頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四1、求過極點，傾角為的射線的極坐標方程。易得思考：2、求過極點，傾角為的直線的極坐標方程。第20頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四和前面的直角坐標系里直線方程的表示形式比較起來，極坐標系里的直線表示起來很不方便，要用兩條射線組合而成。原因在哪？為了彌補這個不足，取全體實數(shù)。則上面的直線的極坐標方程可以表示為或第21頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四例題2求過點A(a,0)(a>0)，且垂直于極軸的直線L的極坐標方程。解：如圖，設(shè)點為直線L上除點A外的任意一點，連接OMox﹚AM在中有即可以驗證，點A的坐標也滿足上式。第22頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四求直線的極坐標方程步驟1、據(jù)題意畫出草圖；2、設(shè)點是直線上任意一點；3、連接MO；4、根據(jù)幾何條件建立關(guān)于的方程，并化簡；5、檢驗并確認所得的方程即為所求。第23頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四練習：設(shè)點P的極坐標為A，直線過點P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標方程。解：如圖，設(shè)點為直線上異于的點連接OM，﹚oMxA在中有即顯然A點也滿足上方程。第24頁，共27頁，2023年，2月20日，星期四例題3設(shè)點P的極坐標為，直線過點P且與極軸所成的角為,求直線的極坐標方程。oxMP﹚﹚第25頁，共27頁，2023年，2月20日，星期