2023版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.6拋物線教師用書文北師大版

PAGEPAGE192022版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何9.6拋物線教師用書文北師大版1．拋物線的概念平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l(l不過(guò)F)的距離相等的點(diǎn)的集合叫作拋物線．點(diǎn)F叫作拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫作拋物線的準(zhǔn)線．2．拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)標(biāo)準(zhǔn)方程y2＝2px(p>0)y2＝－2px(p>0)x2＝2py(p>0)x2＝－2py(p>0)p的幾何意義：焦點(diǎn)F到準(zhǔn)線l的距離圖形頂點(diǎn)O(0,0)對(duì)稱軸y＝0x＝0焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，0))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(p,2)))離心率e＝1準(zhǔn)線方程x＝－eq\f(p,2)x＝eq\f(p,2)y＝－eq\f(p,2)y＝eq\f(p,2)范圍x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R開(kāi)口方向向右向左向上向下【知識(shí)拓展】1．拋物線y2＝2px(p>0)上一點(diǎn)P(x0，y0)到焦點(diǎn)Feq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)，0))的距離|PF|＝x0＋eq\f(p,2)，也稱為拋物線的焦半徑．2．y2＝ax的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，準(zhǔn)線方程為x＝－eq\f(a,4).3．設(shè)AB是過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)焦點(diǎn)F的弦，假設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么(1)x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2.(2)弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(2p,sin2α)(α為弦AB的傾斜角)．(3)以弦AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切．(4)通徑：過(guò)焦點(diǎn)垂直于對(duì)稱軸的弦，長(zhǎng)等于2p，通徑是過(guò)焦點(diǎn)最短的弦．【思考辨析】判斷以下結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√〞或“×〞)(1)平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l的距離相等的點(diǎn)的軌跡一定是拋物線．(×)(2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲線是焦點(diǎn)在x軸上的拋物線，且其焦點(diǎn)坐標(biāo)是(eq\f(a,4)，0)，準(zhǔn)線方程是x＝－eq\f(a,4).(×)(3)拋物線既是中心對(duì)稱圖形，又是軸對(duì)稱圖形．(×)(4)AB為拋物線y2＝2px(p>0)的過(guò)焦點(diǎn)F(eq\f(p,2)，0)的弦，假設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1x2＝eq\f(p2,4)，y1y2＝－p2，弦長(zhǎng)|AB|＝x1＋x2＋p.(√)1．(2022·四川)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)坐標(biāo)是()A．(0,2) B．(0,1)C．(2,0) D．(1,0)答案D解析∵對(duì)于拋物線y2＝ax，其焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,4)，0))，∴對(duì)于y2＝4x，焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．2．(2022·濟(jì)寧質(zhì)檢)拋物線C：y2＝x的焦點(diǎn)為F，A(x0，y0)是C上一點(diǎn)，|AF|＝eq\f(5,4)x0，那么x0等于()A．1B．2C．4D．8答案A解析由拋物線的定義，可得|AF|＝x0＋eq\f(1,4)，∵|AF|＝eq\f(5,4)x0，∴x0＋eq\f(1,4)＝eq\f(5,4)x0，∴x0＝1.3．設(shè)拋物線y2＝8x的準(zhǔn)線與x軸交于點(diǎn)Q，假設(shè)過(guò)點(diǎn)Q的直線l與拋物線有公共點(diǎn)，那么直線l的斜率的取值范圍是()A.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(1,2))) B．[－2,2]C．[－1,1] D．[－4,4]答案C解析Q(－2,0)，設(shè)直線l的方程為y＝k(x＋2)，代入拋物線方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0，由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0，解得－1≤k≤1.4．(教材改編)拋物線的頂點(diǎn)是原點(diǎn)，對(duì)稱軸為坐標(biāo)軸，并且經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(－2，－4)，那么該拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為_(kāi)_______________．答案y2＝－8x或x2＝－y解析設(shè)拋物線方程為y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0)．將P(－2，－4)代入，分別得方程為y2＝－8x或x2＝－y.5．(2022·合肥月考)拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，那么p的值為_(kāi)_______．答案2解析拋物線y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為x＝－eq\f(p,2)，圓x2＋y2－6x－7＝0，即(x－3)2＋y2＝16，那么圓心為(3,0)，半徑為4.又因?yàn)閽佄锞€y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線與圓x2＋y2－6x－7＝0相切，所以3＋eq\f(p,2)＝4，解得p＝2.題型一拋物線的定義及應(yīng)用例1設(shè)P是拋物線y2＝4x上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，假設(shè)B(3,2)，那么|PB|＋|PF|的最小值為_(kāi)_______．答案4解析如圖，過(guò)點(diǎn)B作BQ垂直準(zhǔn)線于點(diǎn)Q，交拋物線于點(diǎn)P1，那么|P1Q|＝|P1F|.那么有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4.即|PB|＋|PF|的最小值為4.引申探究1．假設(shè)將本例中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為(3,4)，試求|PB|＋|PF|的最小值．解由題意可知點(diǎn)(3,4)在拋物線的外部．∵|PB|＋|PF|的最小值即為B，F(xiàn)兩點(diǎn)間的距離，∴|PB|＋|PF|≥|BF|＝eq\r(42＋22)＝eq\r(16＋4)＝2eq\r(5)，即|PB|＋|PF|的最小值為2eq\r(5).2．假設(shè)將本例中的條件改為：拋物線方程為y2＝4x，直線l的方程為x－y＋5＝0，在拋物線上有一動(dòng)點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離為d1，到直線l的距離為d2，求d1＋d2的最小值．解由題意知，拋物線的焦點(diǎn)為F(1,0)．點(diǎn)P到y(tǒng)軸的距離d1＝|PF|－1，所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1.易知d2＋|PF|的最小值為點(diǎn)F到直線l的距離，故d2＋|PF|的最小值為eq\f(|1＋5|,\r(12＋－12))＝3eq\r(2)，所以d1＋d2的最小值為3eq\r(2)－1.思維升華與拋物線有關(guān)的最值問(wèn)題，一般情況下都與拋物線的定義有關(guān)．由于拋物線的定義在運(yùn)用上有較大的靈活性，因此此類問(wèn)題也有一定的難度．“看到準(zhǔn)線想焦點(diǎn)，看到焦點(diǎn)想準(zhǔn)線〞，這是解決拋物線焦點(diǎn)弦有關(guān)問(wèn)題的重要途徑．(2022·西安市鐵一中學(xué)模擬)點(diǎn)P是拋物線y2＝－8x上一點(diǎn)，設(shè)P到此拋物線準(zhǔn)線的距離是d1，到直線x＋y－10＝0的距離是d2，那么d1＋d2的最小值是()A.eq\r(3)B．2eq\r(3)C．6eq\r(2)D．3答案C解析∵拋物線方程是y2＝－8x，∴拋物線的焦點(diǎn)為F(－2,0)，準(zhǔn)線方程是x＝2(如圖)，∴d1＋d2的最小值是焦點(diǎn)F到直線x＋y－10＝0的距離，即(d1＋d2)min＝eq\f(|－2＋0－10|,\r(1＋1))＝6eq\r(2).題型二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程和幾何性質(zhì)命題點(diǎn)1求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2雙曲線C1：eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的離心率為2.假設(shè)拋物線C2：x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)到雙曲線C1的漸近線的距離為2，那么拋物線C2的方程為()A．x2＝eq\f(8\r(3),3)y B．x2＝eq\f(16\r(3),3)yC．x2＝8y D．x2＝16y答案D解析∵eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的離心率為2，∴eq\f(c,a)＝2，即eq\f(c2,a2)＝eq\f(a2＋b2,a2)＝4，∴eq\f(b2,a2)＝3，eq\f(b,a)＝eq\r(3).x2＝2py(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(p,2)))，eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1的漸近線方程為y＝±eq\f(b,a)x，即y＝±eq\r(3)x.由題意得eq\f(\f(p,2),\r(1＋\r(3)2))＝2，∴p＝8.故C2的方程為x2＝16y.命題點(diǎn)2拋物線的幾何性質(zhì)例3拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是過(guò)F的直線與拋物線的兩個(gè)交點(diǎn)，求證：(1)y1y2＝－p2，x1x2＝eq\f(p2,4)；(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)為定值；(3)以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．證明(1)由得拋物線焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)．由題意可設(shè)直線方程為x＝my＋eq\f(p,2)，代入y2＝2px，得y2＝2peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(my＋\f(p,2)))，即y2－2pmy－p2＝0.(*)那么y1，y2是方程(*)的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以y1y2＝－p2.因?yàn)閥eq\o\al(2,1)＝2px1，yeq\o\al(2,2)＝2px2，所以yeq\o\al(2,1)yeq\o\al(2,2)＝4p2x1x2，所以x1x2＝eq\f(y\o\al(2,1)y\o\al(2,2),4p2)＝eq\f(p4,4p2)＝eq\f(p2,4).(2)eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(1,x1＋\f(p,2))＋eq\f(1,x2＋\f(p,2))＝eq\f(x1＋x2＋p,x1x2＋\f(p,2)x1＋x2＋\f(p2,4)).因?yàn)閤1x2＝eq\f(p2,4)，x1＋x2＝|AB|－p，代入上式，得eq\f(1,|AF|)＋eq\f(1,|BF|)＝eq\f(|AB|,\f(p2,4)＋\f(p,2)|AB|－p＋\f(p2,4))＝eq\f(2,p)(定值)．(3)設(shè)AB的中點(diǎn)為M(x0，y0)，分別過(guò)A，B作準(zhǔn)線的垂線，垂足為C，D，過(guò)M作準(zhǔn)線的垂線，垂足為N，那么|MN|＝eq\f(1,2)(|AC|＋|BD|)＝eq\f(1,2)(|AF|＋|BF|)＝eq\f(1,2)|AB|.所以以AB為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切．思維升華(1)求拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的常用方法是待定系數(shù)法，其關(guān)鍵是判斷焦點(diǎn)位置、開(kāi)口方向，在方程的類型已經(jīng)確定的前提下，由于標(biāo)準(zhǔn)方程只有一個(gè)參數(shù)p，只需一個(gè)條件就可以確定拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程．(2)在解決與拋物線的性質(zhì)有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，要注意利用幾何圖形的形象、直觀的特點(diǎn)來(lái)解題，特別是涉及焦點(diǎn)、頂點(diǎn)、準(zhǔn)線的問(wèn)題更是如此．(1)(2022·全國(guó)乙卷)以拋物線C的頂點(diǎn)為圓心的圓交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于D，E兩點(diǎn)．|AB|＝4eq\r(2)，|DE|＝2eq\r(5)，那么C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為()A．2B．4C．6D．8(2)假設(shè)拋物線y2＝4x上一點(diǎn)P到其焦點(diǎn)F的距離為3，延長(zhǎng)PF交拋物線于Q，假設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，那么S△OPQ＝________.答案(1)B(2)eq\f(3,2)eq\r(2)解析(1)不妨設(shè)拋物線C：y2＝2px(p>0)，那么圓的方程可設(shè)為x2＋y2＝r2(r>0)，如圖，又可設(shè)A(x0,2eq\r(2))，Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))，點(diǎn)A(x0,2eq\r(2))在拋物線y2＝2px上，∴8＝2px0，①點(diǎn)A(x0,2eq\r(2))在圓x2＋y2＝r2上，∴xeq\o\al(2,0)＋8＝r2，②點(diǎn)Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(p,2)，\r(5)))在圓x2＋y2＝r2上，∴5＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(p,2)))2＝r2，③聯(lián)立①②③，解得p＝4，即C的焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為p＝4，應(yīng)選B.(2)如下圖，由題意知，拋物線的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)．又|PF|＝3，由拋物線定義知：點(diǎn)P到準(zhǔn)線x＝－1的距離為3，∴點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為2.將x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，由圖知點(diǎn)P的縱坐標(biāo)y＝2eq\r(2)，∴P(2,2eq\r(2))，∴直線PF的方程為y＝2eq\r(2)(x－1)．方法一聯(lián)立直線與拋物線的方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2\r(2)x－1，,y2＝4x，))解之得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝\f(1,2)，,y＝－\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2\r(2).))由圖知Q(eq\f(1,2)，－eq\r(2))，∴S△OPQ＝eq\f(1,2)|OF|·|yP－yQ|＝eq\f(1,2)×1×|2eq\r(2)＋eq\r(2)|＝eq\f(3,2)eq\r(2).方法二將y＝2eq\r(2)(x－1)代入y2＝4x，得2x2－5x＋2＝0，∴x1＋x2＝eq\f(5,2)，∴|PQ|＝x1＋x2＋p＝eq\f(9,2)，O到PQ的距離d＝eq\f(2\r(2),3)，∴S△OPQ＝eq\f(1,2)×|PQ|×d＝eq\f(1,2)×eq\f(9,2)×eq\f(2\r(2),3)＝eq\f(3,2)eq\r(2).題型三直線與拋物線的綜合問(wèn)題命題點(diǎn)1直線與拋物線的交點(diǎn)問(wèn)題例4拋物線C：y2＝8x與點(diǎn)M(－2,2)，過(guò)C的焦點(diǎn)且斜率為k的直線與C交于A、B兩點(diǎn)．假設(shè)eq\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝0，那么k＝________.答案2解析拋物線C的焦點(diǎn)為F(2,0)，那么直線方程為y＝k(x－2)，與拋物線方程聯(lián)立，消去y化簡(jiǎn)得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.設(shè)點(diǎn)A(x1，y1)，B(x2，y2)．那么x1＋x2＝4＋eq\f(8,k2)，x1x2＝4，所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝eq\f(8,k)，y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.因?yàn)閑q\o(MA,\s\up6(→))·eq\o(MB,\s\up6(→))＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，將上面各個(gè)量代入，化簡(jiǎn)得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.命題點(diǎn)2與拋物線弦的中點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題例5(2022·全國(guó)丙卷)拋物線C：y2＝2x的焦點(diǎn)為F，平行于x軸的兩條直線l1，l2分別交C于A，B兩點(diǎn)，交C的準(zhǔn)線于P，Q兩點(diǎn)．(1)假設(shè)F在線段AB上，R是PQ的中點(diǎn)，證明：AR∥FQ；(2)假設(shè)△PQF的面積是△ABF的面積的兩倍，求AB中點(diǎn)的軌跡方程．(1)證明由題意知，F(xiàn)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，0))，設(shè)l1：y＝a，l2：y＝b，那么ab≠0，且Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a2,2)，a))，Beq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(b2,2)，b))，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，a))，Qeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，b))，Req\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，\f(a＋b,2))).記過(guò)A，B兩點(diǎn)的直線為l，那么l的方程為2x－(a＋b)y＋ab＝0.由于F在線段AB上，故1＋ab＝0.記AR的斜率為k1，F(xiàn)Q的斜率為k2，那么k1＝eq\f(a－b,1＋a2)＝eq\f(a－b,a2－ab)＝eq\f(1,a)＝－eq\f(ab,a)＝－b＝eq\f(b－0,－\f(1,2)－\f(1,2))＝k2.所以AR∥FQ.(2)解設(shè)過(guò)AB的直線為l，設(shè)l與x軸的交點(diǎn)為D(x1,0)，那么S△ABF＝eq\f(1,2)|b－a||FD|＝eq\f(1,2)|b－a|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))，S△PQF＝eq\f(|a－b|,2).由題意可得|b－a|eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(x1－\f(1,2)))＝eq\f(|a－b|,2)，所以x1＝1，x1＝0(舍去)．設(shè)滿足條件的AB的中點(diǎn)為E(x，y)．當(dāng)AB與x軸不垂直時(shí)，由kAB＝kDE可得eq\f(2,a＋b)＝eq\f(y,x－1)(x≠1)．而eq\f(a＋b,2)＝y(tǒng)，所以y2＝x－1(x≠1)．當(dāng)AB與x軸垂直時(shí)，E與D重合，此時(shí)E點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，所以，所求軌跡方程為y2＝x－1(x≠1)．思維升華(1)直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系．(2)有關(guān)直線與拋物線的弦長(zhǎng)問(wèn)題，要注意直線是否過(guò)拋物線的焦點(diǎn)．假設(shè)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，假設(shè)不過(guò)焦點(diǎn)，那么必須用一般弦長(zhǎng)公式．(3)涉及拋物線的弦長(zhǎng)、中點(diǎn)、距離等相關(guān)問(wèn)題時(shí)，一般利用根與系數(shù)的關(guān)系采用“設(shè)而不求〞、“整體代入〞等解法．提醒：涉及弦的中點(diǎn)、斜率時(shí)一般用“點(diǎn)差法〞求解．(2022·天津模擬)拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，直線l過(guò)點(diǎn)M(4,0)．(1)假設(shè)點(diǎn)F到直線l的距離為eq\r(3)，求直線l的斜率；(2)設(shè)A，B為拋物線上兩點(diǎn)，且AB不垂直于x軸，假設(shè)線段AB的垂直平分線恰過(guò)點(diǎn)M，求證：線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值．(1)解由，得x＝4不合題意，設(shè)直線l的方程為y＝k(x－4)，由，得拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)，因?yàn)辄c(diǎn)F到直線l的距離為eq\r(3)，所以eq\f(|3k|,\r(1＋k2))＝eq\r(3)，解得k＝±eq\f(\r(2),2)，所以直線l的斜率為±eq\f(\r(2),2).(2)證明設(shè)線段AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，因?yàn)锳B不垂直于x軸，那么直線MN的斜率為eq\f(y0,x0－4)，直線AB的斜率為eq\f(4－x0,y0)，直線AB的方程為y－y0＝eq\f(4－x0,y0)(x－x0)，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－y0＝\f(4－x0,y0)x－x0，,y2＝4x，))消去x得(1－eq\f(x0,4))y2－y0y＋yeq\o\al(2,0)＋x0(x0－4)＝0，所以y1＋y2＝eq\f(4y0,4－x0)，因?yàn)镹是AB中點(diǎn)，所以eq\f(y1＋y2,2)＝y(tǒng)0，即eq\f(2y0,4－x0)＝y(tǒng)0，所以x0＝2，即線段AB中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為定值2.6．直線與圓錐曲線問(wèn)題的求解策略典例(12分)拋物線C：y＝mx2(m>0)，焦點(diǎn)為F，直線2x－y＋2＝0交拋物線C于A，B兩點(diǎn)，P是線段AB的中點(diǎn)，過(guò)P作x軸的垂線交拋物線C于點(diǎn)Q.(1)求拋物線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)；(2)假設(shè)拋物線C上有一點(diǎn)R(xR,2)到焦點(diǎn)F的距離為3，求此時(shí)m的值；(3)是否存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形？假設(shè)存在，求出m的值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．思維點(diǎn)撥(3)中證明eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝0.標(biāo)準(zhǔn)解答解(1)∵拋物線C：x2＝eq\f(1,m)y，∴它的焦點(diǎn)F(0，eq\f(1,4m))．[2分](2)∵|RF|＝y(tǒng)R＋eq\f(1,4m)，∴2＋eq\f(1,4m)＝3，得m＝eq\f(1,4).[4分](3)存在，聯(lián)立方程eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝mx2，,2x－y＋2＝0，))消去y得mx2－2x－2＝0，依題意，有Δ＝(－2)2－4×m×(－2)>0?m>－eq\f(1,2).[6分]設(shè)A(x1，mxeq\o\al(2,1))，B(x2，mxeq\o\al(2,2))，那么eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x1＋x2＝\f(2,m)，,x1·x2＝－\f(2,m).))(*)∵P是線段AB的中點(diǎn)，∴P(eq\f(x1＋x2,2)，eq\f(mx\o\al(2,1)＋mx\o\al(2,2),2))，即P(eq\f(1,m)，yP)，∴Q(eq\f(1,m)，eq\f(1,m))．[8分]得eq\o(QA,\s\up6(→))＝(x1－eq\f(1,m)，mxeq\o\al(2,1)－eq\f(1,m))，eq\o(QB,\s\up6(→))＝(x2－eq\f(1,m)，mxeq\o\al(2,2)－eq\f(1,m))，假設(shè)存在實(shí)數(shù)m，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形，那么eq\o(QA,\s\up6(→))·eq\o(QB,\s\up6(→))＝0，即(x1－eq\f(1,m))·(x2－eq\f(1,m))＋(mxeq\o\al(2,1)－eq\f(1,m))(mxeq\o\al(2,2)－eq\f(1,m))＝0，[10分]結(jié)合(*)化簡(jiǎn)得－eq\f(4,m2)－eq\f(6,m)＋4＝0，即2m2－3m－2＝0，∴m＝2或m＝－eq\f(1,2)，而2∈(－eq\f(1,2)，＋∞)，－eq\f(1,2)?(－eq\f(1,2)，＋∞)．∴存在實(shí)數(shù)m＝2，使△ABQ是以Q為直角頂點(diǎn)的直角三角形．[12分]解決直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的一般步驟：第一步：聯(lián)立方程，得關(guān)于x或y的一元二次方程；第二步：寫出根與系數(shù)的關(guān)系，并求出Δ>0時(shí)參數(shù)范圍(或指出直線過(guò)曲線內(nèi)一點(diǎn))；第三步：根據(jù)題目要求列出關(guān)于x1x2，x1＋x2(或y1y2，y1＋y2)的關(guān)系式，求得結(jié)果；第四步：反思回憶，查看有無(wú)忽略特殊情況．1．(2022·太原質(zhì)檢)假設(shè)拋物線y＝ax2的焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，那么a等于()A．1B.eq\f(1,2)C．2D.eq\f(1,4)答案D解析因?yàn)閽佄锞€的標(biāo)準(zhǔn)方程為x2＝eq\f(1,a)y，所以其焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，eq\f(1,4a))，那么有eq\f(1,4a)＝1，a＝eq\f(1,4)，應(yīng)選D.2．拋物線y2＝2px(p>0)，過(guò)其焦點(diǎn)且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點(diǎn)，假設(shè)線段AB的中點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2，那么該拋物線的準(zhǔn)線方程為()A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2答案B解析∵y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(eq\f(p,2)，0)，∴過(guò)焦點(diǎn)且斜率為1的直線方程為y＝x－eq\f(p,2)，即x＝y(tǒng)＋eq\f(p,2)，將其代入y2＝2px，得y2＝2py＋p2，即y2－2py－p2＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么y1＋y2＝2p，∴eq\f(y1＋y2,2)＝p＝2，∴拋物線的方程為y2＝4x，其準(zhǔn)線方程為x＝－1.3．(2022·綿陽(yáng)模擬)直線l1：4x－3y＋6＝0和直線l2：x＝－1，拋物線y2＝4x上一動(dòng)點(diǎn)P到直線l1和l2的距離之和的最小值為()A.eq\f(37,16)B.eq\f(11,5)C．3D．2答案D解析直線l2：x＝－1是拋物線y2＝4x的準(zhǔn)線，拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F(1,0)，那么點(diǎn)P到直線l2：x＝－1的距離等于|PF|，過(guò)點(diǎn)F作直線l1：4x－3y＋6＝0的垂線，和拋物線的交點(diǎn)就是點(diǎn)P，所以點(diǎn)P到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離和直線l2：x＝－1的距離之和的最小值就是點(diǎn)F(1,0)到直線l1：4x－3y＋6＝0的距離，所以最小值為eq\f(|4－0＋6|,\r(32＋42))＝2，應(yīng)選D.4．拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)弦AB的兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么eq\f(y1y2,x1x2)的值一定等于()A．－4B．4C．p2D．－p2答案A解析①假設(shè)焦點(diǎn)弦AB⊥x軸，那么x1＝x2＝eq\f(p,2)，∴x1x2＝eq\f(p2,4)；∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2，∴eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.②假設(shè)焦點(diǎn)弦AB不垂直于x軸，可設(shè)AB的直線方程為y＝k(x－eq\f(p,2))，聯(lián)立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋eq\f(p2k2,4)＝0，那么x1x2＝eq\f(p2,4).∴y1y2＝－p2.故eq\f(y1y2,x1x2)＝－4.5．(2022·九江一模)過(guò)拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，交拋物線的準(zhǔn)線于點(diǎn)C，假設(shè)|AF|＝6，eq\o(BC,\s\up6(→))＝λeq\o(FB,\s\up6(→))，那么λ的值為()A.eq\f(3,4)B.eq\f(3,2)C.eq\r(3)D．3答案D解析設(shè)A(x1，y1)(y1>0)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，那么x1＋2＝6，解得x1＝4，那么y1＝4eq\r(2)，那么直線AB的方程為y＝2eq\r(2)(x－2)，令x＝－2，得C(－2，－8eq\r(2))，聯(lián)立eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y2＝8x，,y＝2\r(2)x－2，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝4，,y＝4\r(2)))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝－2\r(2)，))那么B(1，－2eq\r(2))，∴|BF|＝1＋2＝3，|BC|＝9，∴λ＝3，應(yīng)選D.6.(2022·濟(jì)南模擬)直線y＝k(x＋2)(k>0)與拋物線C：y2＝8x相交于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為C的焦點(diǎn)，假設(shè)|FA|＝2|FB|，那么k的值為()A.eq\f(1,3)B.eq\f(\r(2),3)C.eq\f(2\r(2),3)D.eq\f(2,3)答案C解析拋物線C的準(zhǔn)線為l：x＝－2，直線y＝k(x＋2)恒過(guò)定點(diǎn)P(－2，0)，如圖，過(guò)A，B分別作AM⊥l于M，BN⊥l于N，由|FA|＝2|FB|，得|AM|＝2|BN|，從而點(diǎn)B為AP的中點(diǎn)，連接OB，那么|OB|＝eq\f(1,2)|AF|，所以|OB|＝|BF|，從而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為1，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1,2eq\r(2))，所以k＝eq\f(2\r(2)－0,1－－2)＝eq\f(2\r(2),3)，應(yīng)選C.7．設(shè)F為拋物線C：y2＝3x的焦點(diǎn)，過(guò)F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點(diǎn)，那么|AB|＝________.答案12解析焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,4)，0))，方法一直線AB的斜率為eq\f(\r(3),3)，所以直線AB的方程為y＝eq\f(\r(3),3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,4)))，即y＝eq\f(\r(3),3)x－eq\f(\r(3),4)，代入y2＝3x，得eq\f(1,3)x2－eq\f(7,2)x＋eq\f(3,16)＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1＋x2＝eq\f(21,2)，所以|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(21,2)＋eq\f(3,2)＝12.方法二由拋物線焦點(diǎn)弦的性質(zhì)可得|AB|＝eq\f(2p,sin2θ)＝eq\f(3,sin230°)＝12.8．拋物線C：y2＝2px(p>0)的準(zhǔn)線為l，過(guò)M(1,0)且斜率為eq\r(3)的直線與l相交于點(diǎn)A，與C的一個(gè)交點(diǎn)為B，假設(shè)eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，那么p＝________.答案2解析如圖，由AB的斜率為eq\r(3)，知∠α＝60°，又eq\o(AM,\s\up6(→))＝eq\o(MB,\s\up6(→))，∴M為AB的中點(diǎn)．過(guò)點(diǎn)B作BP垂直準(zhǔn)線l于點(diǎn)P，那么∠ABP＝60°，∴∠BAP＝30°，∴|BP|＝eq\f(1,2)|AB|＝|BM|.∴M為焦點(diǎn)，即eq\f(p,2)＝1，∴p＝2.9．橢圓E的中心在坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率為eq\f(1,2)，E的右焦點(diǎn)與拋物線C：y2＝8x的焦點(diǎn)重合，A，B是C的準(zhǔn)線與E的兩個(gè)交點(diǎn)，那么|AB|＝________.答案6解析拋物線y2＝8x的焦點(diǎn)為(2,0)，準(zhǔn)線方程為x＝－2.設(shè)橢圓方程為eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)，由題意，c＝2，eq\f(c,a)＝eq\f(1,2)，可得a＝4，b2＝16－4＝12.故橢圓方程為eq\f(x2,16)＋eq\f(y2,12)＝1.把x＝－2代入橢圓方程，解得y＝±3.從而|AB|＝6.10．(2022·大連模擬)拋物線C：y2＝4x的焦點(diǎn)為F，準(zhǔn)線為l，過(guò)拋物線C上的點(diǎn)A作準(zhǔn)線l的垂線，垂足為M，假設(shè)△AMF與△AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1，那么點(diǎn)A的坐標(biāo)為_(kāi)_________．答案(2，±2eq\r(2))解析如下圖，由題意，可得|OF|＝1，由拋物線的定義，得|AF|＝|AM|，∵△AMF與△AOF(其中O為坐標(biāo)原點(diǎn))的面積之比為3∶1，∴eq\f(S△AMF,S△AOF)＝eq\f(\f(1,2)×|AF|×|AM|×sin∠MAF,\f(1,2)×|OF|×|AF|×sinπ－∠MAF)＝3，∴|AF|＝|AM|＝3，設(shè)Aeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(y\o\al(2,0),4)，y0))，∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＋1＝3，∴eq\f(y\o\al(2,0),4)＝2，y0＝±2eq\r(2)，∴點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2，±2eq\r(2))．11．(2022·沈陽(yáng)模擬)過(guò)拋物線y2＝2px(p>0)的焦點(diǎn)，斜率為2eq\r(2)的直線交拋物線于A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1<x2)兩點(diǎn)，且|AB|＝9.(1)求該拋物線的方程；(2)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，C為拋物線上一點(diǎn)，假設(shè)eq\o(OC,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(OB,\s\up6(→))，求λ的值．解(1)直線AB的方程是y＝2eq\r(2)(x－eq\f(p,2))，與y2＝2px聯(lián)立，從而有4x2－5px＋p2＝0.所以x1＋x2＝eq\f(5p,4)，由拋物線定義得|AB|＝x1＋x2＋p＝eq\f(5p,4)＋p＝9，所以p＝4，從而拋物線方程為y2＝8x.(2)由于p＝4，那么4x2－5px＋p2＝0，即x2－5x＋4＝0，從而x1＝1，x2＝4，于是y1＝－2eq\r(2)，y2＝4eq\r(2)，從而B(niǎo)(4,4eq\r(2))．設(shè)C(x3，y3)，那么eq\o(OC,\s\up6(→))＝(x3，y3)＝(1，－2eq\r(2))＋λ(4,4eq\r(2))＝(4λ＋1,4eq\r(2)λ－2eq\r(2))．又yeq\o\al(2,3)＝8x3，即[2eq\r(2)(2λ－1)]2＝8(4λ＋1)，整理得(2λ－1)2＝4λ＋1，解得λ＝0或λ＝2.12．拋物線y2＝4x的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)．(1)假設(shè)eq\o(AF,\s\up6(→))＝2eq\o(FB,\s\up6(→))，求直線AB的斜率；(2)設(shè)點(diǎn)M在線段AB上運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)O關(guān)于點(diǎn)M的對(duì)稱點(diǎn)為C，求四邊形OACB面積的最小值．解(1)依題意知F(1,0)，設(shè)直線AB的方程為x＝my＋1.將直線AB的方程與拋物線的方程聯(lián)立，消去x得y2－4my－4＝0.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以y1＋y2＝4m，y1y2＝－4