（全國(guó)用）2023版高考物理大一輪復(fù)習(xí)第五章機(jī)械能第2講機(jī)械能守恒定律

PAGE第2講機(jī)械能守恒定律一、機(jī)械能1．重力做功與重力勢(shì)能(1)重力做功的特點(diǎn)重力做功與路徑無(wú)關(guān)，只與初、末位置的高度差有關(guān)．(2)重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系①定性關(guān)系：重力對(duì)物體做正功，重力勢(shì)能就減少；重力對(duì)物體做負(fù)功，重力勢(shì)能就增加．②定量關(guān)系：物體從位置A到位置B時(shí)，重力對(duì)物體做的功等于物體重力勢(shì)能的減少量，即WG＝－ΔEp.③重力勢(shì)能的變化量是絕對(duì)的，與參考面的選取無(wú)關(guān)．2．彈性勢(shì)能(1)定義發(fā)生彈性形變的物體的各局部之間，由于有彈力的相互作用而具有的勢(shì)能．(2)彈力做功與彈性勢(shì)能變化的關(guān)系①?gòu)椓ψ龉εc彈性勢(shì)能變化的關(guān)系類似于重力做功與重力勢(shì)能變化的關(guān)系．②對(duì)于彈性勢(shì)能，一般物體的彈性形變量越大，彈性勢(shì)能越大．[深度思考]同一根彈簧伸長(zhǎng)量和壓縮量相同時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能相同嗎？答案相同．二、機(jī)械能守恒定律1．內(nèi)容：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動(dòng)能與勢(shì)能可以互相轉(zhuǎn)化，而總的機(jī)械能保持不變．2．表達(dá)式：mgh1＋eq\f(1,2)mv12＝mgh2＋eq\f(1,2)mv22.3．機(jī)械能守恒的條件(1)系統(tǒng)只受重力或彈簧彈力的作用，不受其他外力．(2)系統(tǒng)除受重力或彈簧彈力作用外，還受其他內(nèi)力和外力，但這些力對(duì)系統(tǒng)不做功．(3)系統(tǒng)內(nèi)除重力或彈簧彈力做功外，還有其他內(nèi)力和外力做功，但這些力做功的代數(shù)和為零．(4)系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，系統(tǒng)內(nèi)外也沒(méi)有機(jī)械能與其他形式的能發(fā)生轉(zhuǎn)化．[深度思考]處理連接體的機(jī)械能守恒問(wèn)題時(shí)，一般應(yīng)用哪個(gè)公式較方便？答案ΔEp＝－ΔEk.1．(粵教版必修2P82第2題)(多項(xiàng)選擇)忽略空氣阻力，以下物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程中滿足機(jī)械能守恒的是()A．電梯勻速下降B．物體自由下落C．物體由光滑斜面頂端滑到斜面底端D．物體沿著斜面勻速下滑E．鉛球運(yùn)發(fā)動(dòng)拋出的鉛球從拋出到落地前答案BCE2.(人教版必修2P78第3題改編)(多項(xiàng)選擇)如圖1所示，在地面上以速度v0拋出質(zhì)量為m的物體，拋出后物體落到比地面低h的海平面上．假設(shè)以地面為零勢(shì)能面，而且不計(jì)空氣阻力，那么以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()圖1A．重力對(duì)物體做的功為mghB．物體在海平面上的勢(shì)能為mghC．物體在海平面上的動(dòng)能為eq\f(1,2)mv02－mghD．物體在海平面上的機(jī)械能為eq\f(1,2)mv02答案AD3．(多項(xiàng)選擇)如圖2所示，以下關(guān)于機(jī)械能是否守恒的判斷正確的選項(xiàng)是()圖2A．甲圖中，物體A將彈簧壓縮的過(guò)程中，物體A機(jī)械能守恒B．乙圖中，物體A固定，物體B沿斜面勻速下滑，物體B的機(jī)械能守恒C．丙圖中，不計(jì)任何阻力和定滑輪質(zhì)量時(shí)，A加速下落，B加速上升過(guò)程中，A、B組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．丁圖中，小球沿水平面做勻速圓錐擺運(yùn)動(dòng)時(shí)，小球的機(jī)械能守恒答案CD4．(人教版必修2P80第2題改編)如圖3所示是某公園設(shè)計(jì)的一種驚險(xiǎn)刺激的娛樂(lè)設(shè)施．管道除D點(diǎn)右側(cè)水平局部粗糙外，其余局部均光滑．假設(shè)挑戰(zhàn)者自斜管上足夠高的位置滑下，將無(wú)能量損失的連續(xù)滑入第一個(gè)、第二個(gè)圓管軌道A、B內(nèi)部(圓管A比圓管B高)．某次一挑戰(zhàn)者自斜管上某處滑下，經(jīng)過(guò)第一個(gè)圓管軌道A內(nèi)部最高位置時(shí)，對(duì)管壁恰好無(wú)壓力．那么這名挑戰(zhàn)者()圖3A．經(jīng)過(guò)管道A最高點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能大于經(jīng)過(guò)管道B最低點(diǎn)時(shí)的機(jī)械能B．經(jīng)過(guò)管道A最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能大于經(jīng)過(guò)管道B最低點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能C．經(jīng)過(guò)管道B最高點(diǎn)時(shí)對(duì)管外側(cè)壁有壓力D．不能經(jīng)過(guò)管道B的最高點(diǎn)答案C命題點(diǎn)一機(jī)械能守恒的判斷1．做功判斷法：假設(shè)物體系統(tǒng)內(nèi)只有重力和彈簧彈力做功，其他力均不做功或其他力做功的代數(shù)和為零，那么系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．2．能量轉(zhuǎn)化判斷法：假設(shè)只有系統(tǒng)內(nèi)物體間動(dòng)能和重力勢(shì)能及彈性勢(shì)能的相互轉(zhuǎn)化，系統(tǒng)跟外界沒(méi)有發(fā)生機(jī)械能的傳遞，機(jī)械能也沒(méi)有轉(zhuǎn)變成其他形式的能(如沒(méi)有內(nèi)能增加)，那么系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．3．利用機(jī)械能的定義判斷：假設(shè)物體在水平面上勻速運(yùn)動(dòng)，那么其動(dòng)能、勢(shì)能均不變，機(jī)械能守恒．假設(shè)一個(gè)物體沿斜面勻速下滑，那么其動(dòng)能不變，重力勢(shì)能減少，機(jī)械能減少．例1(多項(xiàng)選擇)如圖4，輕彈簧豎立在地面上，正上方有一鋼球，從A處自由下落，落到B處時(shí)開(kāi)始與彈簧接觸，此時(shí)向下壓縮彈簧．小球運(yùn)動(dòng)到C處時(shí)，彈簧對(duì)小球的彈力與小球的重力平衡．小球運(yùn)動(dòng)到D處時(shí)，到達(dá)最低點(diǎn)．不計(jì)空氣阻力，以下描述正確的有()圖4A．小球由A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，處于完全失重狀態(tài)，小球的機(jī)械能減少B．小球由B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，處于失重狀態(tài)，小球的機(jī)械能減少C．小球由B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，處于超重狀態(tài)，小球的動(dòng)能增加D．小球由C向D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，處于超重狀態(tài)，小球的機(jī)械能減少關(guān)鍵位置C、D處受力特點(diǎn)．答案BD解析小球由A向B運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，做自由落體運(yùn)動(dòng)，加速度等于豎直向下的重力加速度g，處于完全失重狀態(tài)，此過(guò)程中只有重力做功，小球的機(jī)械能守恒，A錯(cuò)誤；小球由B向C運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，重力大于彈簧的彈力，加速度向下，小球處于失重狀態(tài)，小球和彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，彈簧的彈性勢(shì)能增加，小球的重力勢(shì)能減少，由于小球向下加速運(yùn)動(dòng)，小球的動(dòng)能還是增大的，B正確，C錯(cuò)誤；小球由C向D運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，彈簧的彈力大于小球的重力，加速度方向向上，處于超重狀態(tài)，彈簧繼續(xù)被壓縮，彈性勢(shì)能繼續(xù)增大，小球的機(jī)械能繼續(xù)減小，D正確．故答案為B、D.1．以下關(guān)于機(jī)械能守恒的說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()A．做勻速運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能一定守恒B．物體只受重力，機(jī)械能才守恒C．做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的物體，其機(jī)械能一定守恒D．除重力做功外，其他力不做功，物體的機(jī)械能一定守恒答案D解析勻速運(yùn)動(dòng)所受合外力為零，但除重力外可能有其他力做功，如物體在阻力作用下勻速向下運(yùn)動(dòng)，其機(jī)械能減少，A錯(cuò)．物體除受重力或彈力也可受其他力，只要其他力不做功或做功的代數(shù)和為零，機(jī)械能也守恒，B錯(cuò)．勻速圓周運(yùn)動(dòng)物體的動(dòng)能不變，但勢(shì)能可能變化，故C錯(cuò)．由機(jī)械能守恒條件知，選項(xiàng)D正確．2.如圖5所示，固定的傾斜光滑桿上套有一個(gè)質(zhì)量為m的圓環(huán)，圓環(huán)與一橡皮繩相連，橡皮繩的另一端固定在地面上的A點(diǎn)，橡皮繩豎直時(shí)處于原長(zhǎng)h.讓圓環(huán)沿桿滑下，滑到桿的底端時(shí)速度為零．那么在圓環(huán)下滑過(guò)程中()圖5A．圓環(huán)機(jī)械能守恒B．橡皮繩的彈性勢(shì)能一直增大C．橡皮繩的彈性勢(shì)能增加了mghD．橡皮繩再次到達(dá)原長(zhǎng)時(shí)圓環(huán)動(dòng)能最大答案C解析圓環(huán)沿桿滑下，滑到桿的底端的過(guò)程中有兩個(gè)力對(duì)圓環(huán)做功，即環(huán)的重力和橡皮繩的拉力，所以圓環(huán)的機(jī)械能不守恒，如果把圓環(huán)和橡皮繩組成的系統(tǒng)作為研究對(duì)象，那么系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，故A錯(cuò)誤；橡皮繩的彈性勢(shì)能隨橡皮繩的形變量的變化而變化，由圖知橡皮繩先縮短后伸長(zhǎng)，故橡皮繩的彈性勢(shì)能先不變?cè)僭龃?，故B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，圓環(huán)的機(jī)械能減少了mgh，那么圓環(huán)的機(jī)械能的減少量等于橡皮繩的彈性勢(shì)能增大量，為mgh，故C正確；在圓環(huán)下滑過(guò)程中，橡皮繩再次到達(dá)原長(zhǎng)時(shí)，該過(guò)程中動(dòng)能一直增大，但不是最大，沿桿方向合力為零的時(shí)刻，圓環(huán)的動(dòng)能最大，故D錯(cuò)誤．命題點(diǎn)二單個(gè)物體的機(jī)械能守恒機(jī)械能守恒定律的表達(dá)式例2(2022·全國(guó)Ⅲ卷·24)如圖6，在豎直平面內(nèi)有由eq\f(1,4)圓弧AB和eq\f(1,2)圓弧BC組成的光滑固定軌道，兩者在最低點(diǎn)B平滑連接．AB弧的半徑為R，BC弧的半徑為eq\f(R,2).一小球在A點(diǎn)正上方與A相距eq\f(R,4)處由靜止開(kāi)始自由下落，經(jīng)A點(diǎn)沿圓弧軌道運(yùn)動(dòng)．圖6(1)求小球在B、A兩點(diǎn)的動(dòng)能之比；(2)通過(guò)計(jì)算判斷小球能否沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．①光滑固定軌道；②由靜止開(kāi)始自由下落．答案(1)5∶1(2)能，理由見(jiàn)解析解析(1)設(shè)小球的質(zhì)量為m，小球在A點(diǎn)的動(dòng)能為EkA，由機(jī)械能守恒得EkA＝mg·eq\f(R,4) ①設(shè)小球在B點(diǎn)的動(dòng)能為EkB，同理有EkB＝mg·eq\f(5R,4) ②由①②式得eq\f(EkB,EkA)＝5 ③(2)假設(shè)小球能沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)，小球在C點(diǎn)所受軌道的正壓力FN應(yīng)滿足FN≥0 ④設(shè)小球在C點(diǎn)的速度大小為vC，由牛頓第二定律和向心加速度公式有FN＋mg＝meq\f(v\o\al(2,C),\f(R,2)) ⑤由④⑤式得mg≤meq\f(2v\o\al(2,C),R) ⑥vC≥eq\r(\f(Rg,2)) ⑦全程應(yīng)用機(jī)械能守恒定律得mg·eq\f(R,4)＝eq\f(1,2)mvC′2 ⑧由⑦⑧式可知，vC＝vC′，即小球恰好可以沿軌道運(yùn)動(dòng)到C點(diǎn)．機(jī)械能守恒定律公式的選用技巧1．在處理單個(gè)物體機(jī)械能守恒問(wèn)題時(shí)通常應(yīng)用守恒觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)，轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)不用選取零勢(shì)能面．2．在處理連接體問(wèn)題時(shí)，通常應(yīng)用轉(zhuǎn)化觀點(diǎn)和轉(zhuǎn)移觀點(diǎn)，都不用選取零勢(shì)能面．3．(2022·新課標(biāo)Ⅱ·15)取水平地面為重力勢(shì)能零點(diǎn)．一物塊從某一高度水平拋出，在拋出點(diǎn)其動(dòng)能與重力勢(shì)能恰好相等．不計(jì)空氣阻力．該物塊落地時(shí)的速度方向與水平方向的夾角為()A.eq\f(π,6) B.eq\f(π,4) C.eq\f(π,3) D.eq\f(5π,12)答案B解析設(shè)物塊水平拋出的初速度為v0，高度為h，由題意知eq\f(1,2)mv02＝mgh，即v0＝eq\r(2gh).物塊在豎直方向上的運(yùn)動(dòng)是自由落體運(yùn)動(dòng)，落地時(shí)的豎直分速度vy＝eq\r(2gh)＝vx＝v0，那么該物塊落地時(shí)的速度方向與水平方向的夾角θ＝eq\f(π,4)，應(yīng)選項(xiàng)B正確，選項(xiàng)A、C、D錯(cuò)誤．4.(2022·安徽·15)如圖7所示，有一內(nèi)壁光滑的閉合橢圓形管道，置于豎直平面內(nèi)，MN是通過(guò)橢圓中心O點(diǎn)的水平線．一小球從M點(diǎn)出發(fā)，初速率為v0，沿管道MPN運(yùn)動(dòng)，到N點(diǎn)的速率為v1，所需時(shí)間為t1；假設(shè)該小球仍由M點(diǎn)以初速率v0出發(fā)，而沿管道MQN運(yùn)動(dòng)，到N點(diǎn)的速率為v2，所需時(shí)間為t2，那么()圖7A．v1＝v2，t1>t2 B．v1<v2，t1>t2C．v1＝v2，t1<t2 D．v1<v2，t1<t2答案A解析根據(jù)機(jī)械能守恒定律可知v1＝v2，再根據(jù)速率變化特點(diǎn)知，小球由M到P再到N，速率先減小至最小，再增大到原速率．小球由M到Q再到N，速率先增大至最大，再減小到原速率．由兩球運(yùn)動(dòng)速率特點(diǎn)以及兩條路徑的路程相等可畫出如下圖圖象，由圖象可知小球沿MQN路徑運(yùn)動(dòng)的平均速率大，所以t1>t2，應(yīng)選項(xiàng)A正確．命題點(diǎn)三用機(jī)械能守恒定律解決連接體問(wèn)題1．首先分析多個(gè)物體組成的系統(tǒng)所受的外力是否只有重力或彈力做功，內(nèi)力是否造成了機(jī)械能與其他形式能的轉(zhuǎn)化，從而判斷系統(tǒng)機(jī)械能是否守恒．2．假設(shè)系統(tǒng)機(jī)械能守恒，那么機(jī)械能從一個(gè)物體轉(zhuǎn)移到另一個(gè)物體，ΔE1＝－ΔE2，一個(gè)物體機(jī)械能增加，那么一定有另一個(gè)物體機(jī)械能減少．例3如圖8所示，左側(cè)為一個(gè)半徑為R的半球形的碗固定在水平桌面上，碗口水平，O點(diǎn)為球心，碗的內(nèi)外表及碗口光滑．右側(cè)是一個(gè)固定光滑斜面，斜面足夠長(zhǎng)，傾角θ＝30°.一根不可伸長(zhǎng)的不計(jì)質(zhì)量的細(xì)繩跨在碗口及光滑斜面頂端的光滑定滑輪兩端上，繩的兩端分別系有可視為質(zhì)點(diǎn)的小球m1和m2，且m1＞m2.開(kāi)始時(shí)m1恰在碗口水平直徑右端A處，m2在斜面上且距離斜面頂端足夠遠(yuǎn)，此時(shí)連接兩球的細(xì)繩與斜面平行且恰好伸直．當(dāng)m1由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到圓心O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷開(kāi)，不計(jì)細(xì)繩斷開(kāi)瞬間的能量損失．圖8(1)求小球m2沿斜面上升的最大距離s；(2)假設(shè)細(xì)繩斷開(kāi)后小球m1沿碗的內(nèi)側(cè)上升的最大高度為eq\f(R,2)，求eq\f(m1,m2).(結(jié)果保存兩位有效數(shù)字)當(dāng)m1由靜止釋放運(yùn)動(dòng)到圓心O的正下方B點(diǎn)時(shí)細(xì)繩突然斷開(kāi)．答案(1)eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R(2)1.9解析(1)設(shè)重力加速度為g，小球m1到達(dá)最低點(diǎn)B時(shí)，m1、m2速度大小分別為v1、v2如下圖，由運(yùn)動(dòng)的合成與分解得v1＝eq\r(2)v2對(duì)m1、m2組成的系統(tǒng)由機(jī)械能守恒定律得m1gR－m2gh＝eq\f(1,2)m1v12＋eq\f(1,2)m2v22h＝eq\r(2)Rsin30°聯(lián)立以上三式得v1＝eq\r(2\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)，v2＝eq\r(\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)gR)設(shè)細(xì)繩斷開(kāi)后m2沿斜面上升的距離為s′，對(duì)m2由機(jī)械能守恒定律得m2gs′sin30°＝eq\f(1,2)m2v22小球m2沿斜面上升的最大距離s＝eq\r(2)R＋s′聯(lián)立以上兩式并代入v2得s＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\r(2)＋\f(2m1－\r(2)m2,2m1＋m2)))R＝eq\f(2\r(2)＋1m1,2m1＋m2)R(2)對(duì)m1由機(jī)械能守恒定律得：eq\f(1,2)m1v12＝m1geq\f(R,2)代入v1得eq\f(m1,m2)＝eq\f(2\r(2)＋1,2)≈1.9.連接體機(jī)械能守恒問(wèn)題的分析技巧1．對(duì)連接體，一般用“轉(zhuǎn)化法〞和“轉(zhuǎn)移法〞來(lái)判斷其機(jī)械能是否守恒．2．注意尋找用繩或桿相連接的物體間的速度關(guān)系和位移關(guān)系．3．列機(jī)械能守恒方程時(shí)，可選用ΔEk＝－ΔEp的形式．5.如圖9，可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A、B用不可伸長(zhǎng)的細(xì)軟輕線連接，跨過(guò)固定在地面上、半徑為R的光滑圓柱，A的質(zhì)量為B的兩倍．當(dāng)B位于地面時(shí)，A恰與圓柱軸心等高．將A由靜止釋放，B上升的最大高度是()圖9A．2R B.eq\f(5R,3)C.eq\f(4R,3) D.eq\f(2R,3)答案C解析設(shè)A球剛落地時(shí)兩球速度大小為v，根據(jù)機(jī)械能守恒定律2mgR－mgR＝eq\f(1,2)(2m＋m)v2得v2＝eq\f(2,3)gR，B球繼續(xù)上升的高度h＝eq\f(v2,2g)＝eq\f(R,3)，B球上升的最大高度為h＋R＝eq\f(4,3)R.6．(多項(xiàng)選擇)(2022·新課標(biāo)全國(guó)Ⅱ·21)如圖10，滑塊a、b的質(zhì)量均為m，a套在固定豎直桿上，與光滑水平地面相距h，b放在地面上．a(chǎn)、b通過(guò)鉸鏈用剛性輕桿連接，由靜止開(kāi)始運(yùn)動(dòng)．不計(jì)摩擦，a、b可視為質(zhì)點(diǎn)，重力加速度大小為g.那么()圖10A．a(chǎn)落地前，輕桿對(duì)b一直做正功B．a(chǎn)落地時(shí)速度大小為eq\r(2gh)C．a(chǎn)下落過(guò)程中，其加速度大小始終不大于gD．a(chǎn)落地前，當(dāng)a的機(jī)械能最小時(shí)，b對(duì)地面的壓力大小為mg答案BD解析滑塊b的初速度為零，末速度也為零，所以輕桿對(duì)b先做正功，后做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；以滑塊a、b及輕桿為研究對(duì)象，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，當(dāng)a剛落地時(shí)，b的速度為零，那么mgh＝eq\f(1,2)mva2＋0，即va＝eq\r(2gh)，選項(xiàng)B正確；a、b的先后受力分析如圖甲、乙所示．由a的受力情況可知，a下落過(guò)程中，其加速度大小先小于g后大于g，選項(xiàng)C錯(cuò)誤；當(dāng)a落地前b的加速度為零(即輕桿對(duì)b的作用力為零)時(shí)，b的機(jī)械能最大，a的機(jī)械能最小，這時(shí)b受重力、支持力，且FNb＝mg，由牛頓第三定律可知，b對(duì)地面的壓力大小為mg，選項(xiàng)D正確．命題點(diǎn)四含彈簧類機(jī)械能守恒問(wèn)題1．由于彈簧的形變會(huì)具有彈性勢(shì)能，系統(tǒng)的總動(dòng)能將發(fā)生變化，假設(shè)系統(tǒng)所受的外力和除彈簧彈力以外的內(nèi)力不做功，系統(tǒng)機(jī)械能守恒．2．在相互作用過(guò)程特征方面，彈簧兩端物體把彈簧拉伸至最長(zhǎng)(或壓縮至最短)時(shí)，兩端的物體具有相同的速度，彈性勢(shì)能最大．3．如果系統(tǒng)每個(gè)物體除彈簧彈力外所受合力為零，當(dāng)彈簧為自然長(zhǎng)度時(shí)，系統(tǒng)內(nèi)彈簧某一端的物體具有最大速度(如繃緊的彈簧由靜止釋放)．例4(2022·全國(guó)Ⅱ·25)輕質(zhì)彈簧原長(zhǎng)為2l，將彈簧豎直放置在地面上，在其頂端將一質(zhì)量為5m的物體由靜止釋放，當(dāng)彈簧被壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l.現(xiàn)將該彈簧水平放置，一端固定在A點(diǎn)，另一端與物塊P接觸但不連接．AB是長(zhǎng)度為5l的水平軌道，B端與半徑為l的光滑半圓軌道BCD相切，半圓的直徑BD豎直，如圖11所示．物塊P與AB間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ＝0.5.用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l，然后放開(kāi)，P開(kāi)始沿軌道運(yùn)動(dòng)，重力加速度大小為g.圖11(1)假設(shè)P的質(zhì)量為m，求P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)速度的大小，以及它離開(kāi)圓軌道后落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離；(2)假設(shè)P能滑上圓軌道，且仍能沿圓軌道滑下，求P的質(zhì)量的取值范圍．①當(dāng)彈簧壓縮到最短時(shí)，彈簧長(zhǎng)度為l；②用外力推動(dòng)物塊P，將彈簧壓縮至長(zhǎng)度l.答案(1)eq\r(6gl)2eq\r(2)l(2)eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m解析(1)依題意，當(dāng)彈簧豎直放置，長(zhǎng)度被壓縮至l時(shí)，質(zhì)量為5m的物體的動(dòng)能為零，其重力勢(shì)能轉(zhuǎn)化為彈簧的彈性勢(shì)能．由機(jī)械能守恒定律知，彈簧長(zhǎng)度為l時(shí)的彈性勢(shì)能為Ep＝5mgl ①設(shè)P到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度大小為vB，由能量守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mvB2＋μmg(5l－l) ②聯(lián)立①②式，并代入題給數(shù)據(jù)得vB＝eq\r(6gl) ③假設(shè)P能沿圓軌道運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，其到達(dá)D點(diǎn)時(shí)的向心力不能小于重力，即P此時(shí)的速度大小v應(yīng)滿足eq\f(mv2,l)－mg≥0 ④設(shè)P滑到D點(diǎn)時(shí)的速度為vD，由機(jī)械能守恒定律得eq\f(1,2)mvB2＝eq\f(1,2)mvD2＋mg·2l ⑤聯(lián)立③⑤式得vD＝eq\r(2gl) ⑥vD滿足④式要求，故P能運(yùn)動(dòng)到D點(diǎn)，并從D點(diǎn)以速度vD水平射出．設(shè)P落回到軌道AB所需的時(shí)間為t，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得2l＝eq\f(1,2)gt2 ⑦P落回到AB上的位置與B點(diǎn)之間的距離為s＝vDt ⑧聯(lián)立⑥⑦⑧式得s＝2eq\r(2)l ⑨(2)設(shè)P的質(zhì)量為M，為使P能滑上圓軌道，它到達(dá)B點(diǎn)時(shí)的速度不能小于零．由①②式可知5mgl>μMg·4l ⑩要使P仍能沿圓軌道滑回，P在圓軌道的上升高度不能超過(guò)半圓軌道的中點(diǎn)C.由機(jī)械能守恒定律有eq\f(1,2)MvB′2≤Mgl ?Ep＝eq\f(1,2)MvB′2＋μMg·4l ?聯(lián)立①⑩??式得eq\f(5,3)m≤M<eq\f(5,2)m.7．(多項(xiàng)選擇)(2022·全國(guó)Ⅱ·21)如圖12，小球套在光滑的豎直桿上，輕彈簧一端固定于O點(diǎn)，另一端與小球相連．現(xiàn)將小球從M點(diǎn)由靜止釋放，它在下降的過(guò)程中經(jīng)過(guò)了N點(diǎn)．在M、N兩點(diǎn)處，彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2).在小球從M點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到N點(diǎn)的過(guò)程中()圖12A．彈力對(duì)小球先做正功后做負(fù)功B．有兩個(gè)時(shí)刻小球的加速度等于重力加速度C．彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，彈力對(duì)小球做功的功率為零D．小球到達(dá)N點(diǎn)時(shí)的動(dòng)能等于其在M、N兩點(diǎn)的重力勢(shì)能差答案BCD解析因M和N兩點(diǎn)處彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，且∠ONM<∠OMN<eq\f(π,2)，知M處的彈簧處于壓縮狀態(tài)，N處的彈簧處于伸長(zhǎng)狀態(tài)，那么彈簧的彈力對(duì)小球先做負(fù)功后做正功再做負(fù)功，選項(xiàng)A錯(cuò)誤；當(dāng)彈簧水平時(shí)，豎直方向的力只有重力，加速度為g；當(dāng)彈簧處于原長(zhǎng)位置時(shí)，小球只受重力，加速度為g，那么有兩個(gè)時(shí)刻的加速度大小等于g，選項(xiàng)B正確；彈簧長(zhǎng)度最短時(shí)，即彈簧水平，彈力方向與速度方向垂直，彈力對(duì)小球做功的功率為零，選項(xiàng)C正確；由動(dòng)能定理得，WF＋WG＝ΔEk，因M和N兩點(diǎn)處彈簧對(duì)小球的彈力大小相等，彈性勢(shì)能相等，那么由彈力做功特點(diǎn)知WF＝0，即WG＝ΔEk，選項(xiàng)D正確．8．(2022·天津理綜·5)如圖13所示，固定的豎直光滑長(zhǎng)桿上套有質(zhì)量為m的小圓環(huán)，圓環(huán)與水平狀態(tài)的輕質(zhì)彈簧一端連接，彈簧的另一端連接在墻上，且處于原長(zhǎng)狀態(tài)．現(xiàn)讓圓環(huán)由靜止開(kāi)始下滑，彈簧原長(zhǎng)為L(zhǎng)，圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)彈簧的長(zhǎng)度變?yōu)?L(未超過(guò)彈性限度)，那么在圓環(huán)下滑到最大距離的過(guò)程中()圖13A．圓環(huán)的機(jī)械能守恒B．彈簧彈性勢(shì)能變化了eq\r(3)mgLC．圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)，所受合力為零D．圓環(huán)重力勢(shì)能與彈簧彈性勢(shì)能之和保持不變答案B解析圓環(huán)在下落過(guò)程中彈簧的彈性勢(shì)能增加，由能量守恒定律可知圓環(huán)的機(jī)械能減少，而圓環(huán)與彈簧組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，故A、D錯(cuò)誤；圓環(huán)下滑到最大距離時(shí)速度為零，但是加速度不為零，即合外力不為零，故C錯(cuò)誤；圓環(huán)重力勢(shì)能減少了eq\r(3)mgL，由能量守恒定律知彈簧彈性勢(shì)能增加了eq\r(3)mgL，故B正確．9．如圖14所示，半徑為R的光滑半圓形軌道CDE在豎直平面內(nèi)與光滑水平軌道AC相切于C點(diǎn)，水平軌道AC上有一輕質(zhì)彈簧，彈簧左端連接在固定的擋板上，彈簧自由端B與軌道最低點(diǎn)C的距離為4R，現(xiàn)用一個(gè)小球壓縮彈簧(不拴接)，當(dāng)彈簧的壓縮量為l時(shí)，釋放小球，小球在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好通過(guò)半圓形軌道的最高點(diǎn)E；之后再次從B點(diǎn)用該小球壓縮彈簧，釋放后小球經(jīng)過(guò)BCDE軌道拋出后恰好落在B點(diǎn)，彈簧壓縮時(shí)彈性勢(shì)能與壓縮量的二次方成正比，彈簧始終處在彈性限度內(nèi)，求第二次壓縮時(shí)彈簧的壓縮量．圖14答案eq\f(2\r(10),5)l解析設(shè)第一次壓縮量為l時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能為Ep.釋放小球后彈簧的彈性勢(shì)能轉(zhuǎn)化為小球的動(dòng)能，設(shè)小球離開(kāi)彈簧時(shí)速度為v1由機(jī)械能守恒定律得Ep＝eq\f(1,2)mv12設(shè)小球在最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v2，由臨界條件可知mg＝meq\f(v\o\al(2,2),R)，v2＝eq\r(gR)由機(jī)械能守恒定律可得eq\f(1,2)mv12＝mg·2R＋eq\f(1,2)mv22以上幾式聯(lián)立解得Ep＝eq\f(5,2)mgR設(shè)第二次壓縮時(shí)彈簧的壓縮量為x，此時(shí)彈簧的彈性勢(shì)能為Ep′小球通過(guò)最高點(diǎn)E時(shí)的速度為v3，由機(jī)械能守恒定律可得：Ep′＝mg·2R＋eq\f(1,2)mv32小球從E點(diǎn)開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，由平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律得4R＝v3t,2R＝eq\f(1,2)gt2，解得v3＝2eq\r(gR)，故Ep′＝4mgR由條件可得eq\f(Ep′,Ep)＝eq\f(x2,l2)，代入數(shù)據(jù)解得x＝eq\f(2\r(10),5)l.機(jī)械能守恒中的輕桿模型1．模型構(gòu)建：輕桿兩端(或兩處)各固定一個(gè)物體，整個(gè)系統(tǒng)一起沿斜面運(yùn)動(dòng)或繞某點(diǎn)轉(zhuǎn)動(dòng)，該系統(tǒng)即為機(jī)械能守恒中的輕桿模型．2．模型特點(diǎn)：(1)忽略空氣阻力和各種摩擦．(2)平動(dòng)時(shí)兩物體線速度相等，轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)兩物體角速度相等．(3)桿對(duì)物體的作用力并不總是指向桿的方向，桿能對(duì)物體做功，單個(gè)物體機(jī)械能不守恒．(4)對(duì)于桿和物體組成的系統(tǒng)，沒(méi)有外力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的總機(jī)械能守恒．3．注意問(wèn)題：(1)明確輕桿轉(zhuǎn)軸的位置，從而確定兩物體的線速度是否相等．(2)桿對(duì)物體的作用力方向不再沿著桿，故單個(gè)物體的機(jī)械能不守恒．(3)桿對(duì)物體做正功，使其機(jī)械能增加，同時(shí)桿對(duì)另一物體做負(fù)功，使其機(jī)械能減少，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒．典例如圖15所示，在長(zhǎng)為L(zhǎng)的輕桿中點(diǎn)A和端點(diǎn)B處各固定一質(zhì)量為m的球，桿可繞無(wú)摩擦的軸O轉(zhuǎn)動(dòng)，使桿從水平位置無(wú)初速度釋放擺下．求當(dāng)桿轉(zhuǎn)到豎直位置時(shí)，輕桿對(duì)A、B兩球分別做了多少功？圖15【思維流程】答案－0.2mgL0.2mgL解析A、B和桿組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒，以B的最低點(diǎn)為零重力勢(shì)能參考平面，可得2mgL＝eq\f(1,2)mvA2＋eq\f(1,2)mvB2＋eq\f(1,2)mgL.又因A球與B球在各個(gè)時(shí)刻對(duì)應(yīng)的角速度相同，故vB＝2vA由以上兩式得vA＝eq\r(\f(3gL,5))，vB＝eq\r(\f(12gL,5))根據(jù)動(dòng)能定理，對(duì)于A球有WA＋mgeq\f(L,2)＝eq\f(1,2)mvA2－0，所以WA＝－0.2mgL對(duì)于B球有WB＋mgL＝eq\f(1,2)mvB2－0，所以WB＝0.2mgL.題組1單物體機(jī)械能守恒的判斷和應(yīng)用1．在如圖1所示的物理過(guò)程示意圖中，甲圖為一端固定有小球的輕桿，從右偏上30°角釋放后繞光滑支點(diǎn)擺動(dòng)；乙圖為末端固定有小球的輕質(zhì)直角架，釋放后繞通過(guò)直角頂點(diǎn)的固定軸O無(wú)摩擦轉(zhuǎn)動(dòng)；丙圖為置于光滑水平面上的A、B兩小車，B靜止，A獲得一向右的初速度后向右運(yùn)動(dòng)，某時(shí)刻連接兩車的細(xì)繩繃緊，然后帶動(dòng)B車運(yùn)動(dòng)；丁圖為置于光滑水平面上的帶有豎直支架的小車，把用細(xì)繩懸掛的小球從圖示位置釋放，小球開(kāi)始擺動(dòng)．那么關(guān)于這幾個(gè)物理過(guò)程(空氣阻力忽略不計(jì))，以下判斷中正確的選項(xiàng)是()圖1A．甲圖中小球機(jī)械能守恒B．乙圖中小球A的機(jī)械能守恒C．丙圖中兩車組成的系統(tǒng)機(jī)械能守恒D．丁圖中小球的機(jī)械能守恒答案A解析甲圖過(guò)程中輕桿對(duì)小球不做功，小球的機(jī)械能守恒；乙圖過(guò)程中A、B兩球通過(guò)桿相互影響(例如開(kāi)始時(shí)A球帶動(dòng)B球轉(zhuǎn)動(dòng))，輕桿對(duì)A的彈力不沿桿的方向，會(huì)對(duì)小球做功，所以每個(gè)小球的機(jī)械能不守恒，但把兩個(gè)小球作為一個(gè)系統(tǒng)時(shí)機(jī)械能守恒；丙圖中繩子繃緊的過(guò)程雖然只有彈力作為內(nèi)力做功，但彈力突變有內(nèi)能轉(zhuǎn)化，機(jī)械能不守恒；丁圖過(guò)程中細(xì)繩也會(huì)拉動(dòng)小車運(yùn)動(dòng)，取地面為參考系，小球的軌跡不是圓弧，細(xì)繩會(huì)對(duì)小球做功，小球的機(jī)械能不守恒，把小球和小車當(dāng)作一個(gè)系統(tǒng)，機(jī)械能才守恒．2．如圖2甲所示，豎直平面內(nèi)的光滑軌道由傾斜直軌道AB和圓軌道BCD組成，AB和BCD相切于B點(diǎn)，CD連線是圓軌道豎直方向的直徑(C、D為圓軌道的最低點(diǎn)和最高點(diǎn))，∠BOC＝30°.可視為質(zhì)點(diǎn)的小滑塊從軌道AB上高H處的某點(diǎn)由靜止滑下，用力傳感器測(cè)出小滑塊經(jīng)過(guò)圓軌道最高點(diǎn)D時(shí)對(duì)軌道的壓力為F，并得到如圖乙所示的壓力F與高度H的關(guān)系圖象，取g＝10m/s2.求：圖2(1)小滑塊的質(zhì)量和圓軌道的半徑；(2)是否存在某個(gè)H值，使得小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)．假設(shè)存在，請(qǐng)求出H值；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．答案(1)0.1kg0.2m(2)存在0.6m解析(1)設(shè)小滑塊的質(zhì)量為m，圓軌道的半徑為Rmg(H－2R)＝eq\f(1,2)mvD2，F(xiàn)＋mg＝eq\f(mv\o\al(2,D),R)得：F＝eq\f(2mgH－2R,R)－mg取點(diǎn)(0.50m,0)和(1.00m,5.0N)代入上式得：m＝0.1kg，R＝0.2m(2)假設(shè)小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的E點(diǎn)(如下圖)由幾何關(guān)系可得OE＝eq\f(R,sin30°)設(shè)小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D時(shí)的速度為vD由題意可知，小滑塊從D運(yùn)動(dòng)到E，水平方向的位移為OE，豎直方向上的位移為R，那么OE＝vDt，R＝eq\f(1,2)gt2得到：vD＝2m/s而小滑塊過(guò)D點(diǎn)的臨界速度vD′＝eq\r(gR)＝eq\r(2)m/s由于vD＞vD′，所以存在一個(gè)H值，使得小滑塊經(jīng)過(guò)最高點(diǎn)D后能直接落到直軌道AB上與圓心等高的點(diǎn)mg(H－2R)＝eq\f(1,2)mvD2得到：H＝0.6m.題組2連接體的機(jī)械能守恒問(wèn)題3.如圖3所示，在傾角θ＝30°的光滑固定斜面上，放有兩個(gè)質(zhì)量分別為1kg和2kg的可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A和B，兩球之間用一根長(zhǎng)L＝0.2m的輕桿相連，小球B距水平面的高度h＝0.1m．兩球由靜止開(kāi)始下滑到光滑地面上，不計(jì)球與地面碰撞時(shí)的機(jī)械能損失，g取10m/s2.那么以下說(shuō)法中正確的選項(xiàng)是()圖3A．整個(gè)下滑過(guò)程中A球機(jī)械能守恒B．整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能守恒C．整個(gè)下滑過(guò)程中A球機(jī)械能的增加量為eq\f(2,3)JD．整個(gè)下滑過(guò)程中B球機(jī)械能的增加量為eq\f(2,3)J答案D解析在下滑的整個(gè)過(guò)程中，只有重力對(duì)系統(tǒng)做功，系統(tǒng)的機(jī)械能守恒，但在B球沿水平面滑行，而A沿斜面滑行時(shí)，桿的彈力對(duì)A、B球做功，所以A、B球各自機(jī)械能不守恒，故A、B錯(cuò)誤；根據(jù)系統(tǒng)機(jī)械能守恒得：mAg(h＋Lsinθ)＋mBgh＝eq\f(1,2)(mA＋mB)v2，解得：v＝eq\f(2,3)eq\r(6)m/s，系統(tǒng)下滑的整個(gè)過(guò)程中B球機(jī)械能的增加量為eq\f(1,2)mBv2－mBgh＝eq\f(2,3)J，故D正確；A球的機(jī)械能減少量為eq\f(2,3)J，C錯(cuò)誤．4．如圖4所示，傾角為α的斜面A被固定在水平面上，細(xì)線的一端固定于墻面，另一端跨過(guò)斜面頂端的小滑輪與物塊B相連，B靜止在斜面上．滑輪左側(cè)的細(xì)線水平，右側(cè)的細(xì)線與斜面平行．A、B的質(zhì)量均為m，撤去固定A的裝置后，A、B均做直線運(yùn)動(dòng)，不計(jì)一切摩擦，重力加速度為g.求：圖4(1)A固定不動(dòng)時(shí)，A對(duì)B支持力的大小N；(2)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)，B的位移大小s；(3)A滑動(dòng)的位移為x時(shí)的速度大小vA.答案(1)mgcosα(2)eq\r(21－cosα)·x(3)eq\r(\f(2gxsinα,3－2cosα))解析(1)支持力的大小N＝mgcosα(2)如下圖，根據(jù)幾何關(guān)系sx＝x·(1－cosα)，sy＝x·sinα且s＝eq\r(s\o\al(2,x)＋s\o\al(2,y))解得s＝eq\r(21－cosα)·x(3)B的下降高度sy＝x·sinα根據(jù)機(jī)械能守恒定律mgsy＝eq\f(1,2)mvA2＋eq