2020-2021人教版數(shù)學(xué)2-3教師用書：第1章 1.2 1.2.1 第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用含解析

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-3教師用書：第1章1.21.2.1第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用含解析第2課時(shí)排列的綜合應(yīng)用學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.進(jìn)一步理解排列的概念，掌握一些排列問題的常用解決方法．(重點(diǎn)）2.能應(yīng)用排列知識解決簡單的實(shí)際問題．（難點(diǎn)）通過排列知識解決實(shí)際問題，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng)。無限制條件的排列問題【例1】(1）有5本不同的書，從中選3本送給3名同學(xué)，每人各1本，共有多少種不同的送法？（2）有5種不同的書(每種不少于3本)，要買3本送給3名同學(xué)，每人各1本,共有多少種不同的送法？［思路點(diǎn)撥］(1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，各人得到的書不同，屬于求排列數(shù)問題；(2）給每人的書均可以從5種不同的書中任選1本,各人得到哪本書相互之間沒有聯(lián)系，要用分步乘法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行計(jì)算．［解](1)從5本不同的書中選出3本分別送給3名同學(xué)，對應(yīng)于從5個(gè)不同元素中任取3個(gè)元素的一個(gè)排列，因此不同送法的種數(shù)是Aeq\o\al(3，5)＝5×4×3＝60，所以共有60種不同的送法．（2）由于有5種不同的書，送給每個(gè)同學(xué)的每本書都有5種不同的選購方法，因此送給3名同學(xué)，每人各1本書的不同方法種數(shù)是5×5×5＝125，所以共有125種不同的送法．1．沒有限制的排列問題，即對所排列的元素或所排列的位置沒有特別的限制,這一類問題相對簡單,分清元素和位置即可．2．對于不屬于排列的計(jì)數(shù)問題，注意利用計(jì)數(shù)原理求解．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練］）1．將3張電影票分給10人中的3人，每人1張,共有________種不同的分法．720[問題相當(dāng)于從10個(gè)人中選出3個(gè)人，然后進(jìn)行全排列，這是一個(gè)排列問題．故不同分法的種數(shù)為Aeq\o\al(3,10）＝10×9×8＝720。］元素“相鄰”與“不相鄰”問題【例2】3名男生、4名女生按照不同的要求排隊(duì)，求不同的排隊(duì)方法的種數(shù)．(1)全體站成一排,男、女各站在一起；(2)全體站成一排，男生必須站在一起；（3)全體站成一排，男生不能站在一起；(4)全體站成一排,男、女各不相鄰．[思路點(diǎn)撥]相鄰捆綁，不相鄰插空．[解］(1）男生必須站在一起是男生的全排列，有Aeq\o\al（3，3）種排法；女生必須站在一起是女生的全排列,有Aeq\o\al(4,4）種排法;全體男生、女生各視為一個(gè)元素，有Aeq\o\al（2,2)種排法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理知，共有Aeq\o\al(3，3）·Aeq\o\al(4，4）·Aeq\o\al(2,2）＝288種排隊(duì)方法．（2）三個(gè)男生全排列有Aeq\o\al（3，3)種方法，把所有男生視為一個(gè)元素，與4名女生組成5個(gè)元素全排列，有Aeq\o\al（5,5）種排法．故有Aeq\o\al(3，3）·Aeq\o\al（5,5）＝720種排隊(duì)方法．(3)先安排女生,共有Aeq\o\al(4,4)種排法;男生在4個(gè)女生隔成的五個(gè)空中安排，共有Aeq\o\al(3，5)種排法，故共有Aeq\o\al（4，4）·Aeq\o\al(3，5）＝1440種排法．(4）排好男生后讓女生插空,共有Aeq\o\al(3，3）·Aeq\o\al（4,4）＝144種排法．“相鄰”與“不相鄰"問題的解決方法處理元素“相鄰”“不相鄰”問題應(yīng)遵循“先整體，后局部”的原則．元素相鄰問題，一般用“捆綁法”,先把相鄰的若干個(gè)元素“捆綁”為一個(gè)大元素與其余元素全排列，然后再松綁，將這若干個(gè)元素內(nèi)部全排列．元素不相鄰問題,一般用“插空法”，先將不相鄰元素以外的“普通"元素全排列，然后在“普通"元素之間及兩端插入不相鄰元素．eq\o([跟進(jìn)訓(xùn)練］）2．5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法的種數(shù)為(）A．18B．24C．36D．48C[5人站成一排，甲、乙兩人之間恰有1人的不同站法有3Aeq\o\al(3,3）×Aeq\o\al（2，2）＝36(種）．］元素“在”與“不在"問題［探究問題］有4名男生、5名女生,全體排成一排，則甲不在中間，也不在兩端有多少種不同排法?（1）用元素分析法，以甲為研究對象，如何解答？(2）用位置分析法，以中間和兩端三個(gè)位置為研究對象，如何解答?（3)用間接法，如何解答？(4）用等機(jī)會法，如何解答?［提示](1)先排甲有6種排法，其余有Aeq\o\al(8，8)種不同排法，故共有6Aeq\o\al(8，8)＝241920種排法．(2)中間和兩端共有Aeq\o\al（3,8)種不同排法，其余6人共有Aeq\o\al(6，6）種不同排法，故共有Aeq\o\al(3,8）·Aeq\o\al（6,6）＝336×720＝241920種排法．（3）共有Aeq\o\al（9,9)－3Aeq\o\al（8,8）＝6Aeq\o\al（8,8)＝241920種排法．（4)甲排在任何一個(gè)位置都是等可能的,故甲不在中間也不在兩端的排法,共有eq\f(6,9)Aeq\o\al(9,9)＝241920種排法．【例3】（1)有語文、數(shù)學(xué)、英語、物理、化學(xué)、生物6門課程,從中選4門安排在上午的4節(jié)課中，其中化學(xué)不排在第四節(jié),共有________種不同的安排方法．(用數(shù)字回答)（2）用0，1,2,3,4,5這六個(gè)數(shù)字可以組成多少個(gè)符合下列條件的無重復(fù)數(shù)字的數(shù)？①六位數(shù)且是奇數(shù)；②個(gè)位上的數(shù)字不是5的六位數(shù)．[思路點(diǎn)撥］(1)可以用直接法或間接法求解，注意“化學(xué)”這個(gè)特別元素．(2）注意“0”這個(gè)特殊元素及個(gè)位這個(gè)特殊位置．300[（1）法一：（分類法）分兩類．第1類，化學(xué)被選上，有Aeq\o\al（1,3）Aeq\o\al(3，5）種不同的安排方法;第2類，化學(xué)不被選上,有Aeq\o\al（4,5）種不同的安排方法．故共有Aeq\o\al(1,3)Aeq\o\al(3,5)＋Aeq\o\al(4,5）＝300種不同的安排方法．法二：（分步法）第1步，第四節(jié)有Aeq\o\al(1,5)種排法；第2步,其余三節(jié)有Aeq\o\al(3，5)種排法，故共有Aeq\o\al（1，5)Aeq\o\al（3,5）＝300種不同的安排方法．法三：（間接法)從6門課程中選4門安排在上午,有Aeq\o\al(4,6)種排法，而化學(xué)排第四節(jié),有Aeq\o\al（3，5)種排法,故共有Aeq\o\al（4,6)－Aeq\o\al(3,5）＝300種不同的安排方法．]（2）［解]①法一：從特殊位置入手（直接法):第一步：排個(gè)位，從1,3,5三個(gè)數(shù)字中選1個(gè)，有Aeq\o\al(1,3）種排法；第二步：排十萬位，有Aeq\o\al(1,4)種排法;第三步：排其他位，有Aeq\o\al（4,4)種排法．故可以組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al(1,3）Aeq\o\al（1，4）Aeq\o\al(4，4)＝288（個(gè)）．法二：從特殊元素入手（直接法):0不在兩端，有Aeq\o\al(1,4）種排法；從1,3，5中任選一個(gè)排在個(gè)位上，有Aeq\o\al(1，3)種排法；其他數(shù)字全排列有Aeq\o\al(4,4）種排法．故可以組成無重復(fù)數(shù)字的六位數(shù)且是奇數(shù)的共有Aeq\o\al（1，4）Aeq\o\al(1，3）Aeq\o\al(4,4)＝288(個(gè)）．法三:（排除法）從整體上排除：6個(gè)數(shù)字的全排列數(shù)為Aeq\o\al（6,6），0，2，4在個(gè)位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al（5,5），而1，3,5在個(gè)位上,0在十萬位上的排列數(shù)為3Aeq\o\al(4，4)，故符合題意的六位數(shù)奇數(shù)共有Aeq\o\al（6，6）－3Aeq\o\al(5，5)－3Aeq\o\al(4，4)＝288(個(gè))．②法一:(排除法）6個(gè)數(shù)字的全排列有Aeq\o\al(6，6）個(gè)，0在十萬位上的排列有Aeq\o\al(5,5)個(gè)，5在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al（5，5)個(gè)，0在十萬位上且5在個(gè)位上的排列有Aeq\o\al(4,4）個(gè)，故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(6，6）－Aeq\o\al（5,5）－（Aeq\o\al(5，5)－Aeq\o\al(4,4)）＝504（個(gè)）．法二：（直接法)個(gè)位上不排5，有Aeq\o\al（1，5）種排法．但十萬位上數(shù)字的排法因個(gè)位上排0與不排0而有所不同，因此，需分兩類：第一類，當(dāng)個(gè)位上排0時(shí)，有Aeq\o\al(5，5）種排法；第二類,當(dāng)個(gè)位上不排0時(shí),有Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(1,4)·Aeq\o\al(4，4）種排法．故符合題意的六位數(shù)共有Aeq\o\al(5，5）＋Aeq\o\al(1，4)·Aeq\o\al(1，4)·Aeq\o\al(4，4)＝504(個(gè)）．1．本例(2）條件不變，能組成多少個(gè)能被5整除的五位數(shù)？[解]個(gè)位上的數(shù)字必須是0或5。若個(gè)位上是0,則有Aeq\o\al(4,5)個(gè)；若個(gè)位上是5，若不含0，則有Aeq\o\al（4，4）個(gè)；若含0，但0不作首位，則0的位置有Aeq\o\al（1，3)種排法,其余各位有Aeq\o\al（3,4)種排法,故共有Aeq\o\al(4,5)＋Aeq\o\al（4,4）＋Aeq\o\al（1，3）Aeq\o\al（3,4）＝216（個(gè))能被5整除的五位數(shù)．2．本例（2)條件不變,若所有的六位數(shù)按從小到大的順序組成一個(gè)數(shù)列｛an}，則240135是第幾項(xiàng)？［解]由于是六位數(shù),首位數(shù)字不能為0,首位數(shù)字為1有Aeq\o\al（5,5)個(gè)數(shù)，首位數(shù)字為2，萬位上為0，1,3中的一個(gè)有3Aeq\o\al(4,4）個(gè)數(shù)，所以240135的項(xiàng)數(shù)是Aeq\o\al(5，5)＋3Aeq\o\al（4，4）＋1＝193，即240135是數(shù)列的第193項(xiàng)．解排數(shù)字問題常見的解題方法1．“兩優(yōu)先排法”：特殊元素優(yōu)先排列，特殊位置優(yōu)先填充．如“0”不排“首位”．2．“分類討論法”：按照某一標(biāo)準(zhǔn)將排列分成幾類,然后按照分類加法計(jì)數(shù)原理進(jìn)行,要注意以下兩點(diǎn)：一是分類標(biāo)準(zhǔn)必須恰當(dāng)；二是分類過程要做到不重不漏．3．“排除法”：全排列數(shù)減去不符合條件的排列數(shù)．4．“位置分析法”：按位置逐步討論，把要求數(shù)字的每個(gè)數(shù)位排好．解有限制條件的排列問題的基本思路限制條件解題策略特殊元素通常采用“元素分析"法，即以元素為主，優(yōu)先考慮特殊元素的要求，再考慮其他元素特殊位置通常采用“位置分析”法，即以位置為主，優(yōu)先考慮特殊位置的要求，再考慮其他位置元素相鄰?fù)ǔ２捎谩袄?法，即把相鄰元素看作一個(gè)整體與其他元素一起排列元素不相鄰?fù)ǔ２捎谩安蹇铡狈?，即先考慮不受限制的元素的排列,再將不相鄰元素插在前面元素排列的空當(dāng)中1．6名學(xué)生排成兩排,每排3人，則不同的排法種數(shù)為()A．36 B．120C．720 D．240C［由于6人排兩排,沒有什么特殊要求的元素,故排法種數(shù)為Aeq\o\al（6,6）＝720.]2．6位選手依次演講，其中選手甲不排在第一個(gè)也不排在最后一個(gè)演講,則不同的演講次序共有（）A．240種 B．360種C．480種 D．720種C[先排甲，有4種方法，剩余5人全排列，有Aeq\o\al(5,5)＝120種，所以不同的演講次序有4×120＝480種．]3．用1,2,3，4，5，6,7這7個(gè)數(shù)字排列組成一個(gè)七位數(shù),要求在其偶數(shù)位上必須是偶數(shù)，奇數(shù)位上必須是奇數(shù),則這樣的七位數(shù)有________個(gè)．144［先排奇數(shù)位有Aeq\o\al(4，4)種，再排偶數(shù)位有Aeq\o\al（3,3）種，故共有Aeq\o\al(4,4）Aeq\o\al（3,3)＝144個(gè)．］4．從6名短跑運(yùn)動員中選出4人參加4×100m接力賽,甲不能跑第一棒和第四棒,問共有多少種參賽方案?［解］法一：從運(yùn)動員（元素）的角度考慮，優(yōu)先考慮甲，分以下兩類:第1類，甲不參賽，有Aeq\o\al(4,5）種參賽方案；第2類,甲參賽，可優(yōu)先將甲安排在第二棒或第三棒，有2種方法，然后安排其他3棒，有Aeq\o\al（3，5)種方法，此時(shí)有2Aeq\o\al（3,5)種參賽方案．由分類加法計(jì)數(shù)原理可知,甲不能跑第一棒和第四棒的參賽方案共有Aeq\o\al(4