向量的線性表示

第一節(jié)向量的線性表示在平面內(nèi)選擇兩個不共線的向量組成一組基地線性表示出該平面內(nèi)任意一個向量的過程稱為向量的線性表示，即（其中為基底），向量的線性表示是學(xué)習(xí)向量的入門級知識，必須熟練掌握.平面向量基本定理告訴我們這一過程是完全可以實(shí)現(xiàn)的，那么具體有哪些方法呢？這就是本節(jié)我們要學(xué)習(xí)的知識.方法一、平行四邊形法則與三角形法則【例1】已知平行四邊形的對角線分別為，，且，點(diǎn)是上靠近的四等分點(diǎn)，設(shè)，用表示.【解析】在平行四邊形中.點(diǎn)評綜合使用向量的加、減、數(shù)乘運(yùn)算的幾何意義，將目標(biāo)向量朝著基底方向推進(jìn).【變式1】如圖，在平行四邊形中，為邊的中點(diǎn)，與對角線交于點(diǎn)，設(shè)，用表示.【變式2】如圖，在中，設(shè)，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，的中點(diǎn)為，若，則.【例2】如圖所示，在中，點(diǎn)是邊上，且，點(diǎn)在邊上，且與相交于點(diǎn)，設(shè)，用表示.【解析】已知，根據(jù)梅涅勞斯定理：即故所以又.【知識拓展】梅涅勞斯定理:如圖所示，已知分別是直線與的三邊所在直線的交點(diǎn)，則.證明：過點(diǎn)作交于點(diǎn)，則，故.說明在應(yīng)用梅涅勞斯定理時一定要認(rèn)真觀察“哪條直線截哪個三角形”.【變式1】如圖，在中，分別為邊上的點(diǎn)，且，相交于點(diǎn)，若，，則（）B．C．D．方法二、交叉法則【例3】在中，點(diǎn)滿足若，則【解析】已知，則，故因此；.【知識拓展】一般地，在中，為上一點(diǎn)，且則從結(jié)果上看式子中向量，的系數(shù)就是線段與在線段中的比例系數(shù)的一個交換，因此我們稱該法則為交叉法則.適當(dāng)記住該結(jié)論可以提高線性表示的效率.【變式1】（2022全國=2\*ROMANII卷）在中，點(diǎn)在上，平分．若，，，則（）A.B.C.D.【變式2】在正方形中，分別為邊的中點(diǎn)，為線段的交點(diǎn)，設(shè)，則方法三、坐標(biāo)法【例4】如圖，在平面四邊形中，，，，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)．若()，則的值為_______．【解析】以為原點(diǎn)，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則，，，因?yàn)椋此越獾靡虼?點(diǎn)評：利用坐標(biāo)法進(jìn)行向量線性表示實(shí)質(zhì)是將問題轉(zhuǎn)化為解二元一次方程組.【變式